Bài tập ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Bài tập phần rút gọn (Có lời giải)

BAØI TAÄP PHAÀN RUÙT GOÏN 
Baøi 1 : 
1) §¬n gi¶n biÓu thøc : P = 14 6 5 14 6 5   . 
2) Cho biÓu thøc : Q = 
x 2 x 2 x 1
.
x 1x 2 x 1 x
   
    
a) Ruùt goïn bieåu thöùc Q. 
b) T×m x ®Ó Q > - Q. 
c) T×m sè nguyªn x ®Ó Q cã gi¸ trÞ nguyªn. 
H­íng dÉn : 
1. P = 6 
2. a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiÓu thøc rót gän : Q = 
1
2
x
. 
b) Q > - Q  x > 1. 
c) x =  3;2 th× Q  Z 
Baøi 2 : Cho biÓu thøc P = 1 x
x 1 x x

 
a) Rót gän biÓu thøc sau P. 
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = 
1
2
. 
H­íng dÉn : 
a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiÓu thøc rót gän : P = 
x
x


1
1
. 
b) Víi x = 
1
2
 th× P = - 3 – 2 2 . 
Baøi 3 : Cho biÓu thøc : A = 
1
1
1
1





x
x
x
xx
a) Rót gän biÓu thøc sau A. 
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 
4
1
c) T×m x ®Ó A < 0. 
d) T×m x ®Ó A = A. 
H­íng dÉn : 
a) §KX§ : x  0, x  1. BiÓu thøc rót gän : A = 
1x
x
. 
b) Víi x = 
4
1
 th× A = - 1. 
c) Víi 0  x < 1 th× A < 0. 
d) Víi x > 1 th× A = A. 
Baøi 4 : Cho biÓu thøc : A = 1 1 31
a 3 a 3 a
   
      
a) Rót gän biÓu thøc sau A. 
b) X¸c ®Þnh a ®Ó biÓu thøc A > 
2
1
. 
H­íng dÉn : 
a) §KX§ : a > 0 vµ a 9. BiÓu thøc rót gän : A = 
3
2
a
. 
b) Víi 0 
2
1
. 
Baøi 5 : Cho biÓu thøc: A = 
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x
     
     
. 
1) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi x ®Ó biÓu thøc cã nghÜa. 
2) Rót gän A. 
3) Víi x  Z ? ®Ó A  Z ? 
H­íng dÉn : 
a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠  1. 
b) BiÓu thøc rót gän : A = 
x
x 2003
 víi x ≠ 0 ; x ≠  1. 
c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z . 
Baøi 6 : Cho biÓu thøc: A = 
 2 x 2 x 1x x 1 x x 1
:
x 1x x x x
   
     
. 
a) Rót gän A. 
b) T×m x ®Ó A < 0. 
c) T×m x nguyªn ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. 
H­íng dÉn : 
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = 
1
1


x
x
. 
b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0. 
c) x =  9;4 th× A  Z. 
Baøi 7 : Cho biÓu thøc: A = x 2 x 1 x 1:
2x x 1 x x 1 1 x
  
       
a) Rót gän biÓu thøc A. 
b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2. 
H­íng dÉn : 
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = 
1
2
 xx
b) Ta xÐt hai tr­êng hîp : 
+) A > 0  
1
2
 xx
 > 0 lu«n ®óng víi x > 0 ; x ≠ 1 (1) 
+) A < 2  
1
2
 xx
 2  xx  > 0 ®óng v× theo gt th× x > 0. (2) 
Tõ (1) vµ (2) suy ra 0 < A < 2(®pcm). 
Baøi 8 : Cho biÓu thøc: P = a 3 a 1 4 a 4
4 aa 2 a 2
  
 
 
 (a  0; a  4) 
a) Rót gän P. 
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9. 
H­íng dÉn : 
a) §KX§ : a  0, a  4. BiÓu thøc rót gän : P = 
2
4
a
b) Ta thÊy a = 9  §KX§ . Suy ra P = 4 
Baøi 9 : Cho biÓu thøc: N = a a a a1 1
a 1 a 1
   
        
1) Rót gän biÓu thøc N. 
2) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó N = -2004. 
H­íng dÉn : 
a) §KX§ : a  0, a  1. BiÓu thøc rót gän : N = 1 – a . 
b) Ta thÊy a = - 2004  §KX§ . Suy ra N = 2005. 
Baøi 10 : Cho biÓu thøc 
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P







 
a. Rót gän P. 
b. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi 347x  
c. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. 
H­íng dÉn : 
a ) §KX§ : x  0, x  1. BiÓu thøc rót gän : 
3x
16x
P


 
b) Ta thÊy 347x   §KX§ . Suy ra 
22
33103
P

 
c) Pmin=4 khi x=4. 
Baøi 11 : Cho biÓu thøc 























 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P 
 a. Rót gän P. b. T×m x ®Ó 
2
1
P  c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. 
H­íng dÉn : 
a. ) §KX§ : x  0, x  9. BiÓu thøc rót gän : 
3x
3
P


 
b. Víi 9x0  th× 
2
1
P  
c. Pmin= -1 khi x = 0 
 Bµi 12: Cho A= 
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a
    
          
 víi x>0 ,x 1 
a. Rót gän A 
 b. TÝnh A víi a =      4 15 . 10 6 . 4 15   
 ( KQ : A= 4a ) 
Bµi 13: Cho A= 
3 9 3 2
1 :
9 6 2 3
x x x x x
x x x x x
      
               
 víi x 0 , x 9, x 4 . 
a. Rót gän A. 
b. x= ? Th× A < 1. 
c. T×m x Z ®Ó A Z 
 (KQ : A= 
3
2x 
) 
Bµi 14: Cho A = 
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
  
 
   
 víi x 0 , x 1. 
a. Rót gän A. 
b. T×m GTLN cña A. 
c. T×m x ®Ó A = 
1
2
d. CMR : A 
2
3
 . (KQ: A = 
2 5
3
x
x


 ) 
Bµi 15: Cho A = 
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
 
 
   
 víi x 0 , x 1. 
a . Rót gän A. 
b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A = 
1
x
x x 
 ) 
Bµi 16: Cho A = 
1 3 2
1 1 1x x x x x
 
   
 víi x 0 , x 1. 
a . Rót gän A. 
b. CMR : 0 1A  ( KQ : A = 
1
x
x x 
) 
Bµi 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25 2 15 5 3
x x x x x
x x x x x
      
               
 a. Rót gän A. 
 b. T×m x Z ®Ó A Z 
 ( KQ : A = 
5
3x 
) 
Bµi 18: Cho A = 
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
  
 
   
 víi a  0 , a 9 , a 4. 
 a. Rót gän A. 
 b. T×m a ®Ó A < 1 
 c. T×m a Z ®Ó A Z ( KQ : A = 
1
3
a
a


) 
 Bµi 19: Cho A= 
7 1 2 2 2
:
4 42 2 2
x x x x x
x xx x x
      
              
 víi x > 0 , x 4. 
a. Rót gän A. 
b. So s¸nh A víi 
1
A
 ( KQ : A = 
9
6
x
x

 ) 
Bµi20: Cho A =
 23 3
:
x y xyx yx y
y xx y x y
    
   
 víi x 0 , y 0, x y 
a. Rót gän A. 
b. CMR : A  0 ( KQ : A = 
xy
x xy y 
 ) 
Bµi 21 : Cho A = 
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
     
             
 Víi x > 0 , x 1. 
 a. Rót gän A. 
 b. T×m x ®Ó A = 6 ( KQ : A = 
 2 1x x
x
 
 ) 
Bµi 22 : Cho A = 
 
4 3 2
:
2 22
x x x
x x xx x
             
 víi x > 0 , x 4. 
 a. Rót gän A 
 b. TÝnh A víi x = 6 2 5 (KQ: A = 1 x ) 
Bµi 23 : Cho A= 
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
   
           
 víi x > 0 , x 1. 
 a. Rót gän A 
 b. TÝnh A víi x = 6 2 5 (KQ: A = 
3
2 x
) 
Bµi 24 : Cho A= 3
2 1 1 4
: 1
1 11
x x
x x xx
   
         
 víi x 0 , x 1. 
 a. Rót gän A. 
 b. T×m x Z ®Ó A Z (KQ: A = 
3
x
x 
) 
Bµi 25: Cho A= 
1 2 2 1 2
:
11 1 1
x
xx x x x x x
   
            
 víi x 0 , x 1. 
 a. Rót gän A. 
 b. T×m x Z ®Ó A Z 
 c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN . (KQ: A = 
1
1
x
x


) 
Bµi 26 : Cho A = 
2 3 3 2 2
: 1
93 3 3
x x x x
xx x x
    
             
 víi x 0 , x 9 
. a. Rót gän A. 
 b. T×m x ®Ó A < -
1
2
 ( KQ : A = 
3
3a


) 
Bµi 27 : Cho A = 
1 1 8 3 1
:
1 11 1 1
x x x x x
x xx x x
      
              
 víi x 0 , x 1. 
 a. Rót gän A 
 b. TÝnh A víi x = 6 2 5 (KQ: A = 
4
4
x
x 
) 
 c . CMR : A 1 
Bµi 28 : Cho A = 
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
 
     
 víi x > 0 , x 1. 
 a. Rót gän A (KQ: A = 
1x
x

) 
 b.So s¸nh A víi 1 
Bµi 29 : Cho A = 
1 1 8 3 2
: 1
9 13 1 3 1 3 1
x x x
xx x x
    
             
 Víi 
1
0,
9
x x  
 a. Rót gän A. 
 b. T×m x ®Ó A =
6
5
 c. T×m x ®Ó A < 1. 
 ( KQ : A = 
3 1
x x
x


) 
Bµi30 : Cho A = 
22 2 2 1
.
1 22 1
x x x x
x x x
    
     
 víi x 0 , x 1. 
 a. Rót gän A. 
 b. CMR nÕu 0 0 
 c. TÝnh A khi x =3+2 2 
 d. T×m GTLN cña A (KQ: A = (1 )x x ) 
Bµi 31 : Cho A = 
2 1 1
:
21 1 1
x x x
x x x x x
  
       
 víi x 0 , x 1. 
 a. Rót gän A. 
 b. CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > 0 , (KQ: A = 
2
1x x 
) 
Bµi 32 : Cho A = 
4 1 2
1 :
1 11
x x
x xx
 
    
 víi x > 0 , x 1, x 4. 
 a. Rót gän 
 b. T×m x ®Ó A = 
1
2
Bµi 33 : Cho A = 
1 2 3 3 2
:
1 11 1
x x x x
x xx x
     
         
 víi x 0 , x 1. 
 a. Rót gän A. 
 b. TÝnh A khi x= 0,36 
 c. T×m x Z ®Ó A Z 
Bµi 34 : Cho A= 
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x
     
               
 víi x  0 , x 9 , x 4. 
 a. Rót gän A. 
 b. T×m x Z ®Ó A Z 
 c. T×m x ®Ó A < 0 (KQ: A = 
2
1
x
x


) 
BAØI TAÄP PHAÀN HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT 
Baøi 1 : 
1) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4). 
2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng trªn víi trôc tung vµ trôc hoµnh. 
H­íng dÉn : 
1) Gäi pt ®­êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b. 
Do ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hÖ pt : 





ba
ba
4
2






1
3
b
a
VËy pt ®­êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 3x – 1 
2) §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng -1 ; §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 
3
1
. 
Baøi 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. 
1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn. 
2) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3. 
3) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè trªn vµ c¸c ®å thÞ cña c¸c hµm sè y = -x + 2 ; y = 2x – 1 ®ång quy. 
H­íng dÉn : 
1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3  m – 2 < 0  m < 2. 
2) Do ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 
Thay x= 3 ; y = 0 vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta ®­îc m = 
4
3
. 
3) Giao ®iÓm cña hai ®å thÞ y = -x + 2 ; y = 2x – 1 lµ nghiÖm cña hÖ pt : 





12
2
xy
xy
 (x;y) = (1;1). 
§Ó 3 ®å thÞ y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 vµ y = 2x – 1 ®ång quy cÇn : 
(x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + 3. 
Víi (x;y) = (1;1)  m = 
2
1
Baøi 3 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. 
1) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1. 
2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1 ; -4). 
3) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi m. 
H­íng dÉn : 
1) §Ó hai ®å thÞ cña hµm sè song song víi nhau cÇn : m – 1 = - 2  m = -1. 
VËy víi m = -1 ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1. 
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta ®­îc : m = -3. 
VËy víi m = -3 th× ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1 ; -4). 
3) Gäi ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ lu«n ®i qua lµ M(x0 ;y0). Ta cã 
 y0 = (m – 1)x0 + m + 3  (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0  





2
1
0
0
y
x
VËy víi mäi m th× ®å thÞ lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh (1;2). 
Baøi4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 
1) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB. 
2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®­êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®­êng th¼ng 
AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2). 
H­íng dÉn : 
1) Gäi pt ®­êng th¼ng AB cã d¹ng : y = ax + b. 
Do ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 1) vµ (2 ;-1) ta cã hÖ pt : 





ba
ba
21
1






3
2
b
a
VËy pt ®­êng th¼ng cÇn t×m lµ y = - 2x + 3. 
2) § ... yx  cho 0,25 ®iÓm 
023 22  yxyx (*) cho 0,25 ®iÓm 
- NÕu y = 0 ta ®­îc :






2
2
1
2
2
x
x
 hÖ nµy v« nghiÖm cho 0,25 ®iÓm 
- NÕu y ≠ 0 ta cã : (*)  3 02
2






y
x
y
x
 cho 0,25 ®iÓm 
 








3
2
1
y
x
y
x
 cho 0,5 ®iÓm 
VËy hÖ ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi 
 




12 22 yx
yx
 hay 






12
3
2
22 yx
yx
 cho 0,25 ®iÓm 
Gi¶i hÖ ®Çu ta ®­îc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) cho 0,25 ®iÓm 
HÖ sau v« nghiÖm cho 0,25 ®iÓm 
VËy hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = y = 1 hoÆc x = y = -1 cho 0,25 ®iÓm 
b) §iÒu kiÖn - 4  x  1 cho 0,25 ®iÓm 
Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi : (v× c¶ 2 vÕ ®Òu kh«ng ©m) 
 93425 2  xx cho 0,25 ®iÓm 
  234 2  xx cho 0,25 ®iÓm 
  4- 3x - x2 = 4 cho 0,25 ®iÓm 
  x2 +3x = 0 cho 0,25 ®iÓm 
  x(x + 3) = 0 cho 0,25 ®iÓm 
  x = 0 hoÆc x = -3 cho 0,25 ®iÓm 
VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x = 0 hoÆc x = -3 cho 0,25 ®iÓm 
Bµi 3 : (3®iÓm) 
Ta cã víi n  1 th× 
  
 
144
12
112
2
2 


 nn
nn
nnn
 cho 0,5 ®iÓm 
 < 
 
  1
11
12
12




nnnn
nn
 cho 0,5 ®iÓm 
Tõ ®ã ta cã : 
Sn =       112
2
325
1
213
1




 nnn
 
< 1- 
44
2
1
44
2
1
1
1
2 



 nnnn
 cho 0,75 ®iÓm 
= 1-
22
2


 n
n
n
 cho 0,5 ®iÓm 
VËy Sn < 
2n
n
 cho 0,25 ®iÓm 
¸p dông cho n = 2007 ta cã S2007 < 
2009
2007
 lµ ®iÒu ph¶i chøng minh ( 0,5 ®iÓm) 
Bµi 4 : H×nh vÏ ®óng cho 0,25 ®iÓm 
a) Chøng minh AEF ®ång d¹ng  ABC. 
Cã E, F cïng nh×n BC d­íi mét gãc vu«ng nªn E, F cïng thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC 
Cho 0,25 ®iÓm 
 gãc AFE = gãc ACB (cïng bï gãc BFE) cho 0,25 ®iÓm 
  AEF ®ång d¹ng  ABC (g.g) cho 0,25 ®iÓm 
b) VÏ ®­êng kÝnh AK 
 Cã BE AC (gt) 
 KC  AC (V× gãc ACK = 90 0 ) cho 0,25 ®iÓm 
  BE // KC cho 0,25 ®iÓm 
 T­¬ng tù CH // BK cho 0,25 ®iÓm 
 Do ®ã tø gi¸c BHCK lµ h×nh b×nh hµnh cho 0,25 ®iÓm 
 HK lµ ®­êng chÐo nªn ®i qua trung ®iÓm A' cña ®­êng chÐo BC.  H, A', K th¼ng hµng. 
cho 0,25 ®iÓm 
 XÐt tam gi¸c AHK cã A'H = A'K 
 OA = OK cho 0,25 ®iÓm 
 Nªn OA' lµ ®­êng trung b×nh 
  AH = 2 A'O cho 0,25 ®iÓm 
c, ¸p dông tÝnh chÊt: nÕu 2 tam g¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn t­¬ng øng, tØ sè gi÷a 2 b¸n kÝnh c¸c 
®­êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng nªn ta cã: 
 cho 0,25 ®iÓm 
  AEF ®ång d¹ng  ABC  
'R
R
 = 
1
'
AA
AA
 cho 0,25 ®iÓm 
 Trong ®ã R lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn t©m O 
 R' lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp  AEF cho 0,25 ®iÓm 
 còng lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AEHF cho 0,25 ®iÓm 
  R. AA1 = R'. AA' = 2
AH
.AA' cho 0,5 ®iÓm 
 = AA'. 
2
'2OA
 = AA'. OA' cho 0,25 ®iÓm 
 VËy R.AA1 = AA'. OA' cho 0,25 ®iÓm 
d, Tr­íc hÕt ta chøng minh OA  EF 
 vÏ tiÕp tuyÕn Ax cña ®­êng trßn t©m O 
 Ta cã OA  Ax cho 0,25 ®iÓm 
 V× gãc xAB = Gãc BCA 
 mµ gãc BCA = gãc EFA (cmt) 
  gãc EFA = gãc xAB cho 0,25 ®iÓm 
  EF// Ax cho 0,25 ®iÓm 
  OA  EF cho 0,25 ®iÓm 
 Chøng minh t­¬ng tù cã OB  DF vµ OC  ED 
 Ta cã S ABC = S OEAF + S OFBD +S ODCE 
K 
C 
B 
A 
E F 
D 
x 
O H 
A' 
A1 
 = 
2
1
OA. EF + 
2
1
OB. FD + 
2
1
OC.DE cho 0,25 ®iÓm 
 = 
2
1
R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R) 
  R (EF + FD + DE) = 2 S ABC cho 0,25 ®iÓm 
  EF + FD + DE = 
R
S ABC2 
 Nªn EF + FD + DE lín nhÊt  S ABC lín nhÊt cho 0,25 ®iÓm 
 L¹i cã S ABC = 2
1
BC.h (h lµ ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A ®Õn BC)  S ABC lín nhÊt  h lín nhÊt  
ABC lµ tam gi¸c c©n  A lµ ®iÓm chÝnh gi­· cña cung AB lín. 
cho 0,25 ®iÓm 
Bµi 5: (3 ®iÓm) 
V× a, b, c lµ 3 c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi lµ 2 nªn ta cã: 0 < a; b, c 1 
 (cho 0,25 ®iÓm) 
 a - 1  0 ; b - 1  0; c-1  0 cho 0,25 ®iÓm 
 ( a -1) (b -1) (c -1)  0 
 ( ab - a - b +1) ( c -1)  0 cho 0,25 ®iÓm 
 abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - 1  0 cho 0,25 ®iÓm 
 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c)  2 cho 0,25 ®iÓm 
 2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2  2 cho 0,25 ®iÓm 
 2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c) 2  2 cho 0,5 ®iÓm 
 2abc - 2(ab + ac + bc) + a 2 + b 2 + c 2 +2(ab + ac + bc)  2 (cho 0,25 ®iÓm) 
 2abc + a 2 + b 2 + c 2  2 (®pcm) cho 0,25 ®iÓm 
 Chó ý: ®èi víi c¸c bµi nÕu cã c¸ch gi¶i kh¸c mµ lµm ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. 
 - §èi víi bµi h×nh häc sinh cã thÓ sö dông nhiÒu h×nh vÏ kh¸c nhau cho c¸c ý vµ ë ý 4 cã thÓ sö 
dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c cã 2 ®­êng chÐo vu«ng gãc mµ kh«ng cÇn chøng minh l¹i. 
§Ò thi : vµo líp 10 chuyªn l­¬ng v¨n tuþ 
 M· ký hiÖu: N¨m häc : 2008-2009 
 §02T- 08 - TS10 CT M«n thi : To¸n 
 Thêi gian lµm bµi :150 phó 
Bµi 1: 
a, Chøng minh r»ng nÕu ab  0 th× ta lu«n lu«n cã 
ab
ba
ab
ba




22
 = ba  
b, Ph©n tÝch ®a thøc M = a 1510 a thµnh nh©n tö 
Bµi 2: 
a, Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh  





1)(
2.)(
22
2
yxyxyx
yyx
 b, cho x, y  0 vµ x + y = 1 
Chøng minh 8(x 4 + y 4 ) + 5
1

xy
Bµi 3: Cho ®a thøc f(x) = ax dcxbx  23 
a) Chøng minh nÕu f(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x th× 4 sè 6a; 2b; a + b + c ; d ®Òu lµ c¸c sè nguyªn. 
b, §¶o l¹i nÕu c¶ 4 sè 6a; 2b; a + b + c ; d ®Òu lµ c¸c sè nguyªn th× ®a thøc f(x) cã nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi bÊt 
kú gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x kh«ng? t¹i sao? 
Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, D lµ ®iÓm trªn c¹nh huyÒn BC, E lµ ®iÓm ®«Ý xøng víi D qua AB, G 
lµgiao ®iÓm cña AB víi DE, tõ giao diÓm H cña AB víi CE h¹ HI vu«ng gãc víi BC t¹i I c¸c tia CH, IG c¾t 
nhau t¹i K. Chøng minh KC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc IKA. 
Bµi 5: Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh 
 x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 - x + 
4
3
 = 0 
 V« nghiÖm trªn tËp hîp c¸c sè thùc. 
 ..HÕt.. 
M· ký hiÖu: H­íng dÉn chÊm 
HD02T- 08 - TS10 §Ò thi : vµo líp 10 chuyªn l­¬ng v¨n tuþ 
Bµi 1: (3 ®iÓm) 
a, V× 2 vÕ ®Òu kh«ng ©m nªn b×nh ph­¬ng vÕ tr¸i ta cã: 
 ( ab
ba


2
 + ab
ba


2
) 2 = 
 = (
2
ba 
) 2 + ab + (a + b) ab + (
2
ba 
) 2 + ab - (a + b) ab +2 ab
ba

 2)
2
( 
 Cho 0,25 ®iÓm 
 = 2(
2
ba 
) 2 + 2ab + 2(
2
ba 
) 2 - 2ab Cho 0,25 ®iÓm 
 ( v× (
2
ba 
) 2  ab) Cho 0,25 ®iÓm 
 = 4( 
2
ba 
) 2 = (a + b) 2 = ( a + b ) 2 Cho 0,5 ®iÓm 
 (v× ab  0  a; b cïng dÊu) 
  ab
ba


2
 + ab
ba


2
 = a + b Cho 0,25 ®iÓm 
 (Víi ab  0) 
b, Ta cã A = a10 + a 5 + 1 
 = a10 - a + a 5 - a 2 + a 2 + a + 1 
 = a(a 3 - 1)(a 6 + a 3 + 1) + a 2 (a 3 - 1) + a 2 + a + 1 Cho 0,25 ®iÓm 
 = a(a - 1)( a 2 + a + 1)( a 6 + a 3 + 1) + 
 + a 2 (a - 1)(a 2 + a + 1) + a 2 + a + 1 Cho 0,25 ®iÓm 
 = (a 2 + a + 1) a(a - 1)(a 6 + a 3 + 1) + a 2 (a - 1) + 1) Cho 0,25 ®iÓm 
 = (a 2 + a + 1)(a 8 - a 7 + a 5 - a 4 + a 3 - a + 1) Cho 0, 5 ®iÓm 
Bµi 2: (5 ®iÓm) 
a, NÕu x = 0 thay vµo ta cã






1.
2
2
3
yy
y
 v« lý Cho 0,25 ®iÓm 
 VËy x≠ 0 §Æt y = tx Cho 0,25 ®iÓm 
 Ta cã  





1)(
2)(
2222
2
xttxxtxx
txtxx
 Cho 0,25 ®iÓm 
   2
2
1)1(
.)1(
ttt
tt


 = 
1
2
 Cho 0,25 ®iÓm 
 ( v× t ≠ -1 hÖ míi cã nghiÖm) Cho 0,25 ®iÓm 
  
21
)1(
tt
tt


 = 2 Cho 0,25 ®iÓm 
  t + t 2 = 2 - 2t + 2t 2 Cho 0,25 ®iÓm 
  t 2 - 3t + 2 = 0 Cho 0,25 ®iÓm 
  




2
1
t
t
 Cho 0,25 ®iÓm 
 * NÕu t = 1  y = x  4x 3 = 2 
  x = y = 
3 2
1
 Cho 0,25 ®iÓm 
 * nÕu t = 2  y = 2x 
  18x 3 = 2 Cho 0,25 ®iÓm 
  








3
3
9
2
9
1
y
x
 Tãm l¹i hÖ cã 2 nghiÖm 
 x = y = 
3 2
1
 HoÆc ( x = 
3 9
1
; y = 
3 9
2
) Cho 0,25 ®iÓm 
b, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc 
2
22 ba 
  (
2
ba 
) 2 Víi mäi a, b Cho 0,25 ®iÓm 
 ta cã 
2
44 yx 
  (
2
22 yx 
) 2  
2
2)
2
( 


  yx
 Cho 0,25 ®iÓm 
  
2
44 yx 
 (
2
yx 
) 4 = 
16
1
 Cho 0,5 ®iÓm 
  8( x 4 + y 4 )  1 Cho 0,25 ®iÓm 
 l¹i cã xy  (
2
yx 
) 2 = 
4
1
 Cho 0,25 ®iÓm 
  
xy
1
  4 Cho 0,25 ®iÓm 
 VËy 8( x 4 + y 4 ) +
xy
1
 1 + 4 = 5 Cho 0,25 ®iÓm 
Bµi 3: ( 4 ®iÓm) 
a, Ta cã f(0) = d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
 f(1) = a + b + c + d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
  f(1) - f(0) = a + b + c còng lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
 f( -1) =- a + b - c + d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
 f(2) = 8a + 4b + 2c + d còng lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
 VËy f(1) + f( -1) = 2b + 2d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
  2b lµ sè nguyªn ( v× 2d lµ sè nguyªn) Cho 0,25 ®iÓm 
 f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
 Mµ 




 
d
b
cba
2 lµ c¸c sè nguyªn 
 Nªn 6a lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
 Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
b, §¶o l¹i: 
 f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 
 = (ax 3 - ax) + (bx 2 - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 ®iÓm 
 = a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iÓm 
 = 
6
)1()1(6  xxxa
 + 
2
)1(2 xbx
 + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iÓm 
 = 6a
6
)1()1(  xxx
 + 2b
2
)1( xx
 + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iÓm 
V× (x - 1)x( x + 1) lµ tÝch 3 sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 6 
  6a
6
)1()1(  xxx
 lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
 x(x -1) lµ tÝch 2 sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 2 
 nªn 2b
2
)1( xx
 lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
 Vµ (a + b + c)x lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm 
 d lµ sè nguyªn 
 f(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi 4sè 6a; 2b; a + b + c; d lµ c¸c sè nguyªn 
Cho 0,25 ®iÓm 
Bµi 4: ( 6 ®iÓm) 
 (VÏ h×nh ®óng 0,5 ®iÓm) 
Ta cã G vµ I cïng nh×n HD d­íi 1 gãc vu«ng nªn HGID lµ tø gi¸c néi tiÕp 
E 
B 
I 
D 
C A 
H 
G 
K 
1 
2 
1 
 Cho 0,5 ®iÓm 
 Gãc GHD = gãc GIB (cïng bï víi gãc GID) Cho 0,5 ®iÓm 
Hay gãc GHD = gãc KIB Cho 0,5 ®iÓm 
l¹i cã gãc GHD = gãc GHK ( do E vµ I ®èi xøng qua AB) Cho 0,5 ®iÓm 
 gãc KIB = gãc KHB ( cïng = gãc GHD) Cho 0,25 ®iÓm 
Nªn KHIB lµ tø gi¸c néi tiÕp Cho 0,5 ®iÓm 
V× gãc HIB = 90 0  gãc HKB = 90 0 Cho 0,5 ®iÓm 
Ta cã gãc B 1 = gãc K1 (Do KHIB lµ tø gi¸c néi tiÕp) Cho 0,5 ®iÓm 
L¹i cã K vµ A cïng nh×n BC d­íi mét gãc vu«ng nªn AKBC lµ tø gi¸c néi tiÕp 
 Cho 0,5 ®iÓm 
 gãc K 2 = gãc B 1 Cho 0,5 ®iÓm 
Tõ ®ã ta cã KC lµ ph©n gi¸c cña gãc IKA Cho 0,5 ®iÓm 
Chó ý khi häc sinh vÏ h×nh cã thÓ kh¸c còng cho ®iÓm t­¬ng tù. 
Bµi 5: (2 ®iÓm) 
 * NÕu x 0 th× vÕ ph¶i nhËn gi¸ trÞ d­¬ng nªn ë kho¶ng nµy ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm 
Cho 0,5 ®iÓm 
* NÕu 0 < x < 1 
 Ta cã vÕ tr¸i = 5222436
4
1
4
1
4
1
xxxxxxxx  Cho 0,25 ®iÓm 
 =  32
22
2
2
3 1
2
1
2
1
2
1
xxxxx 




 




 




  Cho 0,25 ®iÓm 
còng lu«n d­¬ng nªn ë kho¶ng nµy ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm 
* NÕu x  1 ta cã 
 VÕ tr¸i = x 5 (x - 1) + x 3 (x - 1) + x(x - 1) + 
4
3
 Cho 0,25 ®iÓm 
Còng lµ sè d­¬ng nªn ë kho¶ng nµy ph­¬ng tr×nh v« ngiÖm Cho 0,25 ®iÓm 
Tãm l¹i ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm trªn tËp hîp c¸c sè thùc R 
 (Cho 0,25 ®iÓm) 
Chó ý khi chÊm: nÕu häc sinh lµm c¸c bµi theo c¸ch kh¸c nh­ng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a