Bài tập "Vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông" môn Toán - Lớp 9

Bài tập
"Vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông"
Môn Toán - Lớp 9
I. Mục tiêu:
- Củng cố, khắc sâu các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
- Rèn kĩ năng vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để giải các tam giác vuông, giải các bài toán thực tế như xác định chiều cao hoặc khoảng cách.
- Hạn chế các sai lầm khi vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
II. Tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9; Nâng cao và phát triển toán 9; Ôn kiến thức, luyện kĩ năng hình học 9.
III. Nội dung:
 	 1. Lí thuyết:
	Chúng ta đã biết trong một tam giác vuông nếu biết hai yếu tố về độ dài của tam giác vuông thì có thể tính được độ dài của các yếu tố còn lại theo định lí Pi ta go. Bây giờ nhờ có khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có thêm các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác vuông.
	Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề (1)
Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề (2)
c
a
b
C
B
A
b = a sin B = a cos C
c = a sin C = a cos B
b = c tan B = c cotC
c = b tanC = b cot B
 Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông được vận dụng trong nhiều bài tập:
Biết độ dài một cạnh và biết số đo một góc, tính độ dài cạnh còn lại.
Giải các tam giác vuông tức là trong một tam giác vuông nếu biết độ dài hai cạnh hoặc độ dài một cạnh và số đo một góc, tính độ dài các cạnh còn lại và số đo các góc còn lại.
Giải các bài toán thực tế như xác định chiều cao hoặc khoảng cách.
	2. Bài tập:
1,2
2
D
C
B
H
A
50
°
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có , . Biết AB = 2, AD = 1,2. Tính diện tích hình thang ABCD.
Giải: Vẽ BH CD ta có ABHD là hình chữ nhật 
nên BH = AD = 1,2, DH = AB = 2.
Xét tam giác vuông HBC, , ta có:
	HC = HB .cotC = 1,2 .cot 500 1,0.
	CD = CH + HD 1 + 2 = 3
Diện tích hình thang ABCD là: (đvdt)
Chú ý: Việc kẻ BH CD là để tạo ra một tam giác vuông biết độ dài một cạnh và biết số đo một góc, từ đó tính được độ dài CH và CD, do đó tính được diện tích hình thang.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BC = a và . Hãy tính AH, BH và CH theo a và .
Giải:
A
4
3,5
C
B
H
40
°
b
C
B
H
A
a
Tam giác ABC vuông tại A (GT) nên AB = a cos , AC = a sin .
Tam giác ABH vuông tại H ta có 
	AH = AB. sinB = a cos . sin 
	BH = AB. Cos B = a cos . cos = a cos 2 
	CH = AC. cosC = AC .sinB = a sin . sin = a sin2 . 
4
A
3,5
C
B
H
140
°
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai trường hợp:
	a) = 400;
	b) = 1400.
Giải:
a) Vẽ đường cao CH, ta có = 400 (nhọn) thì
 H và B nằm cùng phía đối với A.
Xét tam giác HAC vuông tại H, ta có 
CH = AC. sinHAC = 3,5 .sin 400 2,2
Diện tích của tam giác ABC là:
	 (đvdt).
b) Trường hợp = 1400
Vẽ đường cao CH, ta có = 1400 (tù) thì
 H và B nằm khác phía đối với A.
Xét tam giác HAC vuông tại H, ta có 
CH = AC. sinHAC = 3,5 .sin 400 2,2
Diện tích của tam giác ABC là: (đvdt).
Lưu ý: Một cách tổng quát, ta chứng minh được rằng: Diện tích tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh đó.
Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, , đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.
Giải: Tam giác ABC cân tại A nên .
H
A
C
B
D
Xét tam giác vuông HBC vuông tại H có:
Vẽ AD BC khi đó DB = DC = 2,0.
Xét tam giác ABD vuông tại D, có 
	AB = 
Do đó AC 4,7.
Chú ý: Việc vẽ thêm đường cao AD là để tạo ra một tam giác vuông biết một cạnh góc vuông và một góc nhọn, từ đó sẽ tính được cạnh huyền AB, AC.
E
H
a
A
C
B
D
Bài tập 2: Vì kèo của một mái nhà có dạng tam giác cân (hình vẽ). Biết đáy BC = 4,2 m, chiều cao AH = 1,7 m. Hãy tính:
Độ dốc của mái nhà.
Độ dài của các thanh đỡ HD, HE.
Giải:
AH là đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân 
ABC nên:
HB = HC = 4,2 : 2 = 2,1 (m)
Xét tam giác ABH vuông tại H có tan = = 400.
Xét tam giác DBH vuông tại H có HD = HB. Sin B 2,1. 0,643 1,3 (m) 
Suy ra HE 1,3 (m).
Bài tập 3: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết = 700; AC = 5,3 cm; BD = 4,0 cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Tìm hướng giải: Diện tích tứ giác ABCD bằng tổng diện tích của các tam giác ABC và ADC. Đã biết AC, cần biết thêm chiều cao tương ứng với AC. Do đó cần vẽ DKAC, DKAC
Giải: Vẽ BH AC, DK AC.
K
H
A
C
B
D
1
O
2
Xét tam giác HOB vuông tại H ta có BH = OB sinO2
Xét tam giác KOD vuông tại K ta có DK = OD sin O1
Mà (đối đỉnh)
 SABCD = SABC + SADC = AC (BH + DK) 
= AC(OB + OD) sin O1 = AC.BD sin O1
= .5,3 . 4. sin 700 . 5,3 . 4 . 0,9397 10,0 (cm2).
Nhận xét: Nếu tứ giác có độ dài hai đường chéo là m và n, góc nhọn xen giữa hai đường chéo là thì diện tích của tứ giác là : S = .m.n .sin .
Bài tập 4: Cho tam giác nhọn ABC, , đường cao AH và đường trung tuyến AM.
Chứng minh rằng HC - HB = 2 HM.
Gọi là góc tạo bởi đường cao và trung tuyến. Chứng minh rằng: 
M
H
a
A
C
B
Giải: 
a) Ta có HC – HB = (HM + MC) – (MB – HM) = 2HM.
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có HC = AH.cotC
Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có HB = AH.cotB
 HC – HB = AH(cot C – cotB) 
hay 2HM = AH(cot C – cotB) (1)
Xét tam giác vuông AHM vuông tại H ta có: 
HM = AH. tan 2HM = 2AH. tan (2)
Từ (1) và (2) AH(cot C – cotB) = 2AH. tan hay tan = 
IV. Hướng dẫn HS tự học ở nhà:
Học thuộc các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, nắm chắc phương pháp giải tam giác.
Xem kĩ các bài tập trong buổi học, tham khảo các ví dụ trong các tài liệu nâng cao.
Bài tập về nhà: Cho tam giác nhọn ABC, , AB = 30 mm, BC = 35 mm, hãy giải tam giác ABC.