Bộ Đề thi thử đại học Môn Toán

Trường Lương Thế Vinh –Hà Nội. Đề thi thử ĐH lần I năm 2010. Môn Toán (180’)
 Phần bắt buộc.
Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất .
CÂU 2. (2 điểm). 
Giải phương trình : .
Tìm giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất :
CÂU 3 . (1điểm) Tính tích phân: .
CÂU 4. (1 điểm). Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và . Gọi C’ và D’ lần lượt là hình chiếu của điểm B trên AC và AD. Tính thể tích tích tứ diện ABC’D’.
CÂU 5. (1 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , tìm giá trị bé nhất của biểu thức:
 .
 Phần tự chọn (thí sinh chỉ làm một trong hai phần : A hoặc B )
 Phần A
CÂU 6A. (2 điểm). 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với , đỉnh C nằm trên đường thẳng , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng . Tính diện tích tam giác ABC.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : và d’ : .
Chứng minh rằng hai đường thẳng đó vuông góc với nhau. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với d’
CÂU7A. (1 điểm) Tính tổng : 
 Phần B.
CÂU 6B. (2 điểm) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với , trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : và d’ : .
 Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và tạo với d’ một góc 
CÂU7B. (1 điểm) Tính tổng : 
 Đáp án môn Toán.
Câu 1. 1. Tập xác định : .
 , ,
Bảng biến thiên:
 Tiệm cận đứng : , tiệm cận ngang 
2. Nếu thì tiếp tuyến tại M có phương trình hay 
 . Khoảng cách từ tới tiếp tuyến là . Theo bất đẳng thức Côsi , vây . Khoảng cách d lớn nhất bằng khi 
.
 Vậy có hai điểm M : hoặc 
CÂU 2. 
1) .
 . Vậy hoặc .
Với ta có hoặc 
Với ta có , suy ra 
 hoặc 
2) 
Xét hàm số ta có , khi , do đó nghịch biến trong khoảng ,. Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất khi 
CÂU 3. Đặt thì , khi thì , khi thì , vậy:
CÂU 4. Vì nên và do đó 
.Vì nên . 
Suy ra nếu V là thể tích tứ diện ABC’D’ thì . 
Vì tam giác ABC vuông cân nên . 
Ta có nên . Vì BD’ là đường cao của tam giác vuông ABD nên , Vậy . Ta có . Vậy 
CÂU 5. =.
 .
Vì nên , dấu bằng xẩy ra khi hay . Nhưng , dấu bằng xẩy ra khi hay A = 
Tóm lại : S có giá trị bé nhất bằng -1 khi ABC là tam giác đều. 
Phần A (tự chọn)
CÂU 6A.
 1. Ta có . Khi đó tọa độ G là . Điểm G nằm trên đường thẳng nên , vậy , tức là
. Ta có , vậy , , .
Diện tích tam giác ABC là =
2.Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương 
 Đường thẳng d’ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương 
Ta có , , do đó vậy d và d’ chéo nhau.
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là nên có phương trình: hay 
CÂU 7A. Ta có , suy ra
 .
 Lấy đạo hàm cả hai vế ta có :
 Thay vào đẳng thức trên ta được S.
Phần B (tự chọn)
CÂU 6B.
 1. Vì G nằm trên đường thẳng nên G có tọa độ . Khi đó , Vậy diện tích tam giác ABG là =
 Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng . Vậy , suy ra hoặc . Vậy có hai điểm G : . Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên và . 
Với ta có , với ta có 
2.Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương 
 Đường thẳng d’ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .
Mp phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến vuông góc với và . Bởi vậy nếu đặt thì ta phải có :
Ta có . Vậy hoặc .
Nếu ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó , tức là và có phương trình 
 hay 
Nếu ta có thể chọn , khi đó , tức là và có phương trình hay 
CÂU 7B. Ta có , suy ra
 .
 Lấy đạo hàm cả hai vế ta có :
 Thay vào đẳng thức trên ta được S.
TRƯỜNG ĐAI HỌC VINH Đề thi thử đại học năm học 2009-2010
 Trường THPT chuyên MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút
 ------------------------- -----------------------------------------------
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I. (2,0 điểm) Cho hàm số , với là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đó cho ứng với .
2. Xác định để hàm số đó cho đạt cực trị tại sao cho .
Cõu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: .
2. Giải phương trình: .
Cõu III. (1,0 điểm) Tính tích phân .
Cõu IV. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều có Tìm biết rằng góc giữa hai đường thẳng và bằng .
Cõu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
.
B. PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b).
a. Theo chương trình Chuẩn:
Cõu VIa. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho tam giác có , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh lần lượt là và . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác .
2. Trong không gian với hệ toạ độ cho hình vuông có . Tìm toạ độ đỉnh biết rằng đỉnh nằm trong mặt phẳng 
Cõu VIIa. (1,0 điểm) Cho tập . Từ các chữ số của tập lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
b. Theo chương trình Nâng cao:
Cõu VIb. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ xột elớp đi qua điểm và có phương trình một đường chuẩn là Viết phương trình chính tắc của 
2. Trong không gian với hệ toạ độ cho các điểm và mặt phẳng Tìm toạ độ của điểm biết rằng cách đều các điểm và mặt phẳng 
Cõu VIIb. (1,0 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức thu được đa thức . Tớnh hệ số biết rằng là số nguyên dương thoả mãn.
------------------------------------ Hết -------------------------------------
.
Đáp án đề khảo sát chất lượng lớp 12 Lần 1 - 2009
Môn Toán, khối A
Trường đại học Vinh
 Khối THPT chuyên 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 1 – NĂM 2009
Câõu
Đáp áỏn
Điểm
I
(2,0 điểm)
1. (1,25 điểm)
Với ta có .
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên 
· Chiều biến thiên: 
Ta có , .
Do đó:
 + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và .
 + Hàm số nghịch biến trên khoảng
0,5
· Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại và ; đạt cực tiểu tại và .
· Giới hạn: .
0,25
x
y’
y
3
-1
0
0
3
1
· Bảng biến thiên:
0,25
* Đồ thị: 
Đồ thị cắt trục tung tại điểm .
0,25
2. (0,75 điểm)
Ta có 
+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 
 phương trình có hai nghiệm pb là 
 Pt có hai nghiệm phân biệt là .
0,25
+) Theo định lý Viet ta có Khi đó
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là và 
0,5
II
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Điều kiện: 
Pt đã cho trở thành 
+) 
0,5
+) 
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là 
; 
0,5
2. (1,0 điểm)
Điều kiện (*)
Với đk trên, pt đã cho 
0,5
Đối chiếu điều kiện (*), ta có nghiệm của pt là 
0,5
III
(1,0 điểm)
Đặt . 
Khi thì t = 2, và khi x = 5 thì t = 4.
Suy ra 
0,5
0,5
IV
(1,0 điểm)
- Kẻ 
 hoặc 
0,5
- Nếu 
 Vì lăng trụ đều nên 
áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có
A
C
C’
B’
B
A’
m
D
1
1
 và 
Kết hợp ta suy ra đều. 
Do đó 
- Nếu 
 áp dụng định lý cosin cho suy ra (loại).
Vậy 
* Chú ý: - Nếu HS chỉ xét trường hợp góc thì chỉ cho 0,5đ khi giải đúng.
 - HS có thể giải bằng phương pháp vectơ hoặc toạ độ với nhận xét: 
.
0,5
V
(1,0 điểm)
Đặt .
Ta có nên vì 
Khi đó 
0,5
Xét hàm số 
Ta có vì 
Suy ra đồng biến trên . Do đó 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Vậy GTLN của A là , đạt được khi 
0,5
VIa.
(2,0 điểm)
1. (1 điểm)
M(6; 5)
A(4; 6)
C(-7; -1)
B(8; 4)
H
- Gọi đường cao và trung tuyến kẻ từ C là CH và CM. Khi đó
 CH có phương trình ,
 CM có phương trình 
- Từ hệ 
-
 .
- Từ hệ 
0,5
- Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp 
Vì A, B, C thuộc đường tròn nên .
Suy ra pt đường tròn: hay 
0,5
2. (1 điểm)
- Giả sử . Vì 
- MNPQ là hình vuông vuông cân tại N 
0,5
- Từ (1) và (2) suy ra . Thay vào (3) ta được 
 hay .
- Gọi I là tâm hình vuông I là trung điểm MP và NQ .
 Nếu thì 
 Nếu thì 
0,5
VIIa.
(1,0 điểm)
Giả sử là số thoả mãn ycbt. Suy ra .
+) Số cách sắp xếp là 
+) Số cách sắp xếp là 
0,5
+) Với hoặc kết quả giống như trường hợp 
Do đó ta có số các số lập được là 
0,5
VIb.
(2,0 điểm)
1. (1 điểm)
- Gọi phương trình .
- Giả thiết 
Ta có 
Thay vào (1) ta được . 
0,5
* Nếu thì 
* Nếu thì 
0,5
2. (1 điểm)
 Giả sử . Khi đó từ giả thiết suy ra
0,5
Từ (1) và (2) suy ra . 
Thay vào (3) ta được 
0,5
VIIb.
(1,0 điểm)
Ta có 
0,5
Suy ra là hệ số của trong biểu thức 
Đó là 
0,5
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – THÁNG 2/2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ
Môn thi: TOÁN HỌC – Khối A, B
Thời gian: 180 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu I:
Cho hàm số 
1. Khảo sát và vẽ 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến đi qua điểm 
Câu II:
1. Giải phương trình: .
2. Giải hệ phương trình: 
Câu III:
Tính 
Câu IV:
Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng 2. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?
Câu V:
Cho Chứng minh rằng:
Câu VI:
1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm và đường thẳng . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.
2. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:
Câu VII:
Tính: 	
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN 2 – KHỐI D
Câu I:
1. a) TXĐ: 
b) Sự biến thiên của hàm số:
-) Giới hạn, tiệm cận:
 +) là tiệm cận đứng.
 +) là tiệm cận ngang.
-) Bảng biến thiên :
c) Đồ thị :
-) Đồ thị cắt Ox tại , cắt Oy tại , nhận là tâm đối xứng. 
2. Phương trình đường thẳng đi qua là .
(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
Suy ra có 2 tiếp tuyến là : 
Câu II:
Câu III:
Đặt 
Câu IV:
Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có:
Câu V:
Ta có:
Tương tự suy ra OK!
Câu VI:
1. Giả sử 
2. Gọi 
Câu VII:
Ta có:
 Së GD-§T phó thä
Tr­êng T.H.p.t long ch©u sa ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC lÇn ii 
 NĂM häc: 2009-2010
 Môn thi : TOÁN
 lµm bµi:180 phótThêi gian (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số)
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
 2. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E 
 sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. 
Câu II:(2 điểm) 
 1. Giải hệ phương trình: 
 2. T×m tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh: cotx – 1 = .
Câu III: (2 điểm)
 1. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x £ a).
 Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a.
 a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
 b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt
 2. Tính tích phân: I = .
Câu IV: (1 điểm) : Cho c¸c sè thùc d­¬ng a,b,c thay ®æi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1.
Chứng minh rằng : 
 PHẦN RIÊNG (3 điểm) ( Chó ý!:ThÝ sinh chØ ®­îc chän bµi lµm ë mét phÇn)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu Va :1.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng vµ träng t©m thuéc ®­êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
 2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1;4;2),B(-1;2;4) 
 vµ ®­êng th¼ng : .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn sao cho:
Câu VIa : Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb: 1. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d víi
 d : .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, 
 cắt và vuông góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d
 Câu VIb: Giải hệ phương trình 
  ....Hết.
 (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm)
 H­íng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u 
 ý
 Néi Dung
§iÓm
 I
 2
 1
 Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iÓm)
 1
y = x3 + 3x2 + mx + 1	(Cm)
1. m = 3 : y = x3 + 3x2 + 3x + 1 	(C3)
+ TXÑ: D = R
+ Giới hạn: 
0,25
+ y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 ³ 0; "x
 hµm sè ®ång biÕn trªn R
0,25
Baûng bieán thieân:
0,25
 + y” = 6x + 6 = 6(x + 1)
 y” = 0 Û x = –1 tâm đối xứng U(-1;0)
* Ñoà thò (C3):
Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1)
0,25
 2
1
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø ñöôøng thaúng y = 1 laø: 
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 Û x(x2 + 3x + m) = 0 Û 
0,25
	* (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi C(0;1), D, E phaân bieät:
Û Phöông trình (2) coù 2 nghieäm xD, xE ¹ 0.
Û(*)
0,25
Luùc ñoù tieáp tuyeán taïi D, E coù heä soá goùc laàn löôït laø:
 kD=y’(xD)=
 kE=y’(xE)= 
Caùc tieáp tuyeán taïi D, E vuoâng goùc khi vaø chæ khi: kDkE = –1
0,25
(3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1
 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
Û 9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo ñònh lý Vi-ét). Û 4m2 – 9m + 1 = 0 Û 
 So s¸nhÑk (*): m = 
0,25
 II
 2
 1
 1
 1. §k:
(1) 
0,5
 Û x = 4y Thay vµo (2) cã 
0,25
 V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 
0,25
 2
 1
 ®K: 
 PT 
0,25
0,25
0,25
 tanx = 1 (tm®k)
 Do 
0,25
 III
 2
 1
 1
Do 
Lai cã 
 0,25
Ta cã
O,5
 Tõ biÓu thøc trªn ta cã: 
 M trïng víi D
 0,25
 2
 1
I = 
 0,25
TÝnh I1
®Æt 
0,25
TÝnh I2
0,25
 VËy I= 
0,25
 IV
 1
 1
 .Ta cã :VT =	
 0,25
0,25
 0,25
Tõ ®ã tacã VT
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1/3
0,25
 V.a
 2
 1
 1
Ta cã: AB = , trung ®iÓm M ( ), 
pt (AB): x – y – 5 = 0
 0,25
 S= d(C, AB).AB = d(C, AB)= 
Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= 
 0,25
 d(G, AB)= =t = 1 hoÆc t = 2
G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)
 0,25
Mµ C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1)
0,25
 2
1
0,5
Ta cã: 
0,25
 Tõ ®ã suy ra : M (-1 ;0 ;4) 
0,25
VI.a
1
1
Bpt 
0,25
 BPTTT : 
 (tm)
0,25
Khi ®ã : 
0,25
0,25
V.b
 2
VIb
 1
 1
. (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M Î Oy Þ M(0;m)
 Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
 Vậy Vì MI là phân giác của 
 (1) Û = 300 Û MI = 2R Û
 (2) Û = 600 Û MI = R Û Vô nghiệm
 Vậy có hai điểm M1(0;) và M2(0;-)
0,5
0,5
 2
 1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d.
d có phương trình tham số là: 
Vì H Î d nên tọa độ H (1 + 2t ; - 1 + t ; - t).Suy ra := (2t - 1 ; - 2 + t ; - t)
0,25
Vì MH ^ d và d có một vectơ chỉ phương là = (2 ; 1 ; -1), nên :
2.(2t – 1) + 1.(- 2 + t) + (- 1).(-t) = 0 Û t = . Vì thế, = 
0,25
Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: 
0,25
Theo trªn cã mµ H lµ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é M’
0,25
ĐK: x>0 , y>0 
 (1) Û 
0,5
 Ûlog3xy = 1 Û xy = 3Ûy= 
(2)Û log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) Û x2+ 2y2 = 9
0,25
Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( ;) hoặc (; )
0,25
A
M
D
 S
H
B
C