Các phương pháp chứng minh hình học phẳng

GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 
1 
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG 
GV. Lê Anh Tuấn, Tổ Toán, Trường Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 
Lời nói đầu: Người ta nói: “ Phương Pháp là thầy của các thầy ”. Điều này thật 
đúng. Đặc biệt trong chứng minh hình học, học sinh luôn gặp khó khăn trong việc 
tìm hướng chứng minh bài toán. Hy vọng rằng, những tổng kết qua bài viết này sẽ 
giúp ích cho việc dạy cũng như học hình học phẳng. 
1. Chứng minh : Hai đoạn thẳng bằng nhau 
Cách 1: Chứng minh 2 đoạn thẳng này cùng bằng một đoạn thứ ba. 
Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai đoạn 
thẳng đó. 
Cách 3: Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là 2 cạnh bên của một tam giác cân hay là hai 
cạnh của 1 tam giác đều. 
Cách 4 : Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là các cạnh đối của hình bình hành, hình chữ 
nhật, hình thoi hay hình vuông. 
2. Chứng minh : Hai góc bằng nhau 
Cách 1: Hai góc cùng bằng góc thứ ba. 
Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai góc 
đó. 
Cách 3: Chứng minh có hai tam giác đồng dạng mà hai tam giác này chứa hai góc 
đó. 
Cách 4 : Chứng minh hai góc (nhọn) này là các góc có cạnh tương ứng song song 
hoặc vuông góc. 
Cách 5: Chứng minh 2 góc này là các góc đáy của tam giác cân, hình thang cân hay 
là các góc của tam giác đều. 
Cách 6: Chứng minh 2 góc là các góc đối của hình bình hành, hình thoi. 
Cách 7 : Dùng các tính chất bằng nhau của cặp góc đối đỉnh, so le, đồng vị. 
a
b
c
2
1
1A
B
Chẳng hạn: Nếu a // b , c là 1 cát tuyến cắt a và b thì: 
 A1 = A2 : đối đỉnh 
 A1 = B1 : đồng vị 
 A2 = B1 : so le trong ... 
GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 
2 
3. Chứng minh : 2 đường thẳng song song 
Cách 1: Hai đt cùng song song với đt thứ ba thì song song. 
Cách 2: Hai đt cùng vuông góc với đt thứ ba thì song song. 
Cách 3: Nếu 2 đt định trên một cát tuyến những góc so le bằng nhau, hay góc đồng 
vị bằng nhau thì chúng song song với nhau. 
a
b
c
2
1
1A
B
 Chẳng hạn : Nếu có 
   2 1 1 1 hay A B A B= = thì a // b 
Cách 4: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác hay hình thang. 
Cách 5: Sử dụng định lý Talet đảo 
Cách 6: Các cạnh đối diện của hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, 
hình vuông. 
4. Chứng minh : ba điểm thẳng hàng 
Để Cm 3 điểm A, B, C thẳng hàng làm như sau 
Cách 1: Chứng minh A thuộc BC 
Cách 2: 
A CB
 chứng minh  0180ABC = 
Cách 3: 
a
A CB
Chứng minh : AB // a và AC // a 
Cách 4: 
d
A CB
chứng minh : AB và AC cùng vuông góc với d 
GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 
3 
5. Chứng minh : các đường thẳng đồng qui 
a
b
c
I
Cách 1: Gọi I là giao điểm của a và b. Chứng minh I thuộc c( hay c đi qua I) 
Cách 2: chứng minh 3 đường thẳng a, b, c là 3 đường cao hay 3 đường trung tuyến, 
trung trực hay phân giác của một tam giác. 
6. Chứng minh : Tam giác vuông 
H
CMB
A
Cách 1: Tam giác có 1 góc vuông hay 2 góc phụ nhau 
Cách 2: Khi một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng 
 ( AM = BC/2 = MB = MC) 
Cách 3: Khi tam giác nội tiếp đường tròn đường kính BC 
Cách 4 : Khi một trong các hệ thức sau đây được nghiệm đúng 
AB2 + AC2 = BC2 ( Pitago đảo) 
AH2 = HB.HC ; AB2 = BC.BH ; AC2 = BC.CH 
** Chứng minh : Tam giác vuông cân 
Tam giác ABC vuông tại A có một trong các yếu tố: 
+ Góc B hay góc C bằng 450 
+ AB = AC 
+ 2BC AB= 
GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 
4 
7. Chứng minh : Tam giác cân 
H
B C
A
Cách 1: Hai cạnh bằng nhau AB = AC 
Cách 2: Hai góc bằng nhau :  B C= 
Cách 3 : Đường cao AH cũng là đường phân giác góc A ( hay đường trung tuyến) 
8. Chứng minh : Tam giác đều 
Cách 1 : Ta giác có 3 cạnh bằng nhau 
Cách 2: Tam giác cân có một góc bằng 600. 
9. Chứng minh : Tứ giác là hình thang 
D C
A B
Cách CM: Chứng minh tứ giác có 2 cạnh đối song song ( AB // CD) 
**Chứng minh : Tứ giác là hình thang cân 
Tứ giác ABCD là hình thang và có một trong các yếu tố sau đây: 
+ Hai góc đáy bằng nhau ( góc C = góc D hay góc A = góc B) 
+ Hai đường chéo bằng nhau ( AC = BD) 
+ ABCD nội tiếp một đường tròn. 
10. Chứng minh : Tứ giác là hình bình hành 
O
C
A
D
B
Cách 1: Các cặp cạnh đối song song đôi một ( AB//CD và BC // AD) 
Cách 2: Hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau( AB //CD và AB = CD) 
Cách 3: Các cặp cạnh đối bằng nhau đôi một ( AB = CD và BC = AD) 
Cách 4 : Các góc đối bằng nhau đôi một (    ,A C B D= = ) 
Cách 5 : Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 
 ( OA = OC và OB = OD). 
GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 
5 
11. Chứng minh : Tứ giác là hình chữ nhật 
B
D C
A
Cách 1: Tứ giác có 3 góc vuông ( A = B = C = 900) 
Cách 2: Hình bình hành có 1 góc vuông. 
Cách 3 : Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau (AC = BD) 
12. Chứng minh : Tứ giác là hình thoi 
C
A B
D
Cách 1: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau 
Cách 2 : Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau ( chẳng hạn AB = BC) 
Cách 3 : Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc ( AC vuông BD) 
Cách 4 : Hình bình hành có 1 đường chéo là phân giác của góc hợp bởi hai cạnh. 
13. Chứng minh : Tứ giác là hình vuông 
D C
BA
Cách 1: Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau. 
Cách 2: Hình thoi có 1 góc vuông. 
14. Chứng minh : Tứ giác nội tiếp 
Cách 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 
O
A
D
C
B
Chứng minh :    0 0180 hay 180DAB DCB ADC ABC+ = + = 
GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 
6 
• Đặc biệt 1 
D
O B
A
C
A,C nhìn đường kính DB dưới 1 góc vuông thì ABCD nội tiếp đường tròn đường 
kính BC. 
• Đặc biệt 2 
Tứ giác có 1 góc bằng góc ngoài của góc đối 
Cách 2: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm O cho trước. 
Cách 3 : Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới góc bằng nhau 
O
A B
D
C
Chẳng hạn ta chứng minh được :  DAC DBC= thì suy ra được ABCD nội tiếp. 
Đặc biệt: Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới một góc vuông. 
D
O
A
B
C
GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 
7 
Chẳng hạn : 
B, C nhìn AD dưới góc 900 thì ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD 
15. Chứng minh : một đường thẳng là trung trực của một đoạn thẳng 
a
MA B
D
E
Cách 1: khi đt đó vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm( MA = MB và a vuông 
góc AB tại M) 
Cách 2: Khi 2 điểm của đt cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng ( DA = DB và EA = 
EB) 
Cách 3: Khi đt đó là đường phân giác, đường cao hay đường trung tuyến của một 
tam giác cân đã biết. 
Cách 4: Khi đt là đường chéo của một hình thoi hay một hình vuông đã biết. 
Cách 5: khi đt nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau. 
16. Chứng minh : một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn 
d
O
A
Chứng minh (d) là tiếp tuyến của đường tròn (O,R) tại A. Ta chứng minh: 
Cách 1: A thuộc (O,R) và d vuông góc OA tại A 
Cách 2: d vuông góc OA tại A và OA = R 
17. Chứng minh: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
Cách 1: chứng minh OA = OB = OC 
Cách 2: chứng minh O là giao điểm của 2 đường trung trực của 2 cạnh tam giác 
ABC. 
GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 
8 
18. Chứng minh: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 
Cách làm : chứng minh I là giao điểm của 2 tia phân giác trong 2 góc của tam giác. 
19. Chứng minh: H là trực tâm tam giác ABC 
Cách làm : chứng minh H là giao điểm của 2 đường cao của tam giác này. 
20. Chứng minh: các đẳng thức và bất đẳng thức về độ dài 
Cách làm: Thông thường ta sử dụng các kết quả về 
a) Hệ thức lượng trong tam giác vuông 
b) Tỉ số đồng dạng của tam giác. 
c) Công thức tính chu vi và diện tích các hình. 
d) Định lý Talet 
e) Bất đẳng thức về cạnh trong tam giác.