Đại số 9 - Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

 Hậ́ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Thõ̀y giáo: Lờ Viờ́t Phòng
I. Các kháI niệm: 
Phương trình bậc nhất hai ẩn:
+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(hoặc 
+ Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c 
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: .
‚ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: + Dạng: 
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
 *Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm
 *Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.
 ƒHệ phương trình tương đương:
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
Ii.Phương pháp giảI hệ phương trình:
ŒGiải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Quy tắc thế: 
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
Ví dụ: xét hệ phương trình:
+ Bước 1: Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có: 
 Thay vào phương trình (2) ta được: 
+ Bước 2: Thế phương trình vào phương trình hai của hệ ta có:
 b) Giải hệ : 
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
 a)Quy tắc cộng đại số: 
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia). Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
 Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
 Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)
Bài tập:ÔGiải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 
  ‚ ƒ „ … † ‡ ˆ ‰ 
 ÔGiải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Œ  Ž   ‘ ’ “ ” 
ÔĐặt ẩn phụ rồi giải các hệ phương trình sau
  ‚ ƒ 
Các bài tập tự luyện
 Bài 1 Giải các hệ phương trình sau :
a) b) c) d) 
 e) 	 f) 
Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau :
a) 	b) c) 
Bài 3 : Cho hệ phương trình 
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 4 : Cho hệ phương trình 
a) Giải hệ phương trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phương trình vô nghiệm
Bài 5 : Cho hệ phương trình 
a) Giải hệ phương trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
d) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên.
Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phương trình: (I)
Trong trường hợp hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1 
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
A- Lí thuyết cần nắm :
Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta có 3 bước :
Bước 1: - Chọn ẩn ; đặt đk cho ẩn 
- Biểu thị các đại lượng liên quan qua ẩn 
- Lập hệ PT nhờ mối quan hệ giửa các đại lượng 
Bước 2: Giải hệ phương trình 
Bước 3: Đối chiếu đkiện của bài toán và trả lời 
B- Bài tập vận dụng :
Bài 1: Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gắp 3 lần tuỏi con. Hỏi năm nay mỗi nguời bao nhiêu tuổi ?
Giải: Gọi số tuổi năm nay của mẹ là x
Gọi số tuổi năm nay của con là y ( x,y ẻN*)Vì bảy năm truớc tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có:
 (x-7) = 5 (y-7) + 4 (1)
 Năm nay mẹ gấp 3 lần tuổi con nên:
 x = 3y (2)
Ta có hệ PT 
Thay (2) vào (1) ta có:
 3y-7=5y-35+4
 2y = 24 ị y=12. TMBT
 x =3.12=36 ị x=36. TMBT.
vậy tuổi mẹ năm nay là 36 ; còn tuổi con là 12 
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng hai lần chữ số hàng đơn vị cộng thêm 2 và tổng của hai chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có hai chữ số 
Hướng dẫn giải : Gọi số phải tìm là ab ( a;b ẻ N ; 1≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 )
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
Giải hệ này ta tìm được : a = 8 ; b = 3 
Vậy số phải tìm là : 83 
Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có tổng nữa chu vi và chiều dài bằng 66m ; có nửa tổng chu vi và 2 lần chiều rộng là 48 m . Tính diện tích khu vườn ?
Giải:Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật ; Gọi y (m) là chiều dài hình chữ nhật 
( ĐK: 0<x< y ) 
Chú ý : nữa chu vi là : x +y 
Ta có hệ PT: 
Giải hệ ra ta có : x = 6 ; y = 30 
Vậy chiều rộng là 6 m ; chiều dài là 30 m 
Diện tích Hình chữ nhật đó là : 6 . 30 = 180 m2 
Bài 4: Một người đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An . Nếu đi với V= 45 km /h thì đên nơi sớm hơn dự định 13phút 20 giây . Nêú đi với V= 35km/h thì đến nơi chậm hơn so với dự định là 2/7 h . Tính quảng đường Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ? 
Giải:
GV: Thông thường các bài toán giải bằng cách lập hệ PT có hai điều kiện ; mổi đkiện giúp ta lập được một PT . Trong các bài toán về chuyển động cần nhớ công thức liên hệ giữa quảng đường ; vận tốc và thời gian : S = vt ; chú ý đến đơn vị của mỗi đại lượng .
Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phương trình 
Điều kiện 
Quảng đường 
Vận tốc 
Thời gian 
Quan hệ 
Dự định 
 y
y/x
x
x- y/45=2/9
y/35- x =2/7
Điều kiện 1
 y
45
y/45
Điều kiện 2
 y
35
y/35
Ta có hệ PT :
 Giải hệ ra ta được : x = 2 ; y = 80 (thoã mãn bài toán) 
Vậy quảng đường ChuLai - Hội An là 80 km ; và thời gian dự định là 2 giờ .
Bài 5: Nếu hai đội công nhân cùng làm chung sẽ hoàn hành công việc trong 8 h ; nếu đội thứ nhất chỉ làm trong 3 h rồi đội thứ hai cùng làm tiếp trong 4 h nữa thì chỉ xong được 0,8 công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc ?
Giải:GV hướng dẫn HS làm như sau :
Gọi thời gian đội 1 làm 1 mình xong việc là x giờ 
Thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y giờ ( x;y > 8 ) 
Mỗi giờ đội 1 làm được 1/x ( công việc ) 
- - - 2 làm được 1/y (--- ) 
Mổi giờ cả hai đội làm được 1/8 (công vịêc) 
Ta có PT: 1/x + 1/ y = 1/8 
Mặt khác nếu đội 1 làm trong 3 h ; đội 2cùng làm tiếp 4 h thì chỉ xong 0,8 công việc nên ta có PT: 3. 1/x + 4. 1/8 = 0,8 
Ta có hệ PT: Ta đặt 1/x = a ; 1/y = b 
Ta có hệ mới : Giải ra ta có : a= 1/10 ; b= 1/40 
Suy ra : x = 10 ; y = 40 ( thoã mãn bài toán) 
Vậy nếu đội 1 làm 1 mình thì sau 10 h mới xong công việc 
 ... 2 ... 40 h ... 
- Làm thêm bài tập 40; 42 ;45; 47 ( SBT trang 10-11) 
I. Dạng toán chuyển động.
Bài 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự 
định lúc đầu
Bài 2 : Hai người ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau, gặp nhau ở vị trí cách một trong hai địa điểm khởi hành 2 km. Nếu vận tốc không đổi nhưng người đi chậm xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc ở mỗi người.
Bài 3 : Quãng đường AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trước ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 4 : Một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 90 km. Vì có việc gấp phải đến B trước dự định là 45 phút nên người ấy phải tăng vận tốc mỗi giờ là 10 km. Hãy tính vận tốc dự định của người đó. 
Bài 5 : Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Lúc từ B về A, người đó có công việc bận cần đi theo con đường khác dễ đi nhưng dài hơn lúc đi là 5 km. Do vận tốc lúc về là 30 km/h. Lên thời gian về ít hơn thời gian đi là 40 phút. Tính quãng đường lúc đi.
II. Dạng toán chung - riêng 
Bài 2 : An và Bình cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu An làm trong 5 giờ và Bình làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình làm công việc đó thì trong mấy giờ xong.
Bài 3 : Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 thì bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao nhiêu lâu mới đầy bể.
Bài 4 : Hai vòi nước nếu cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu vòi thứ hai chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 5 : Hai lớp 9A và 9B cùng tu sửa khu vườn thực nghiệm của nhà trường trong 4 ngày xong. Nếu mỗi lớp tu sửa một mình muốn hành thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp 9B là 6 ngày. Hỏi mỗi lớp làm một mình thì trong bao lâu hoàn thành công việc. 
IV. Toán hình học :
Bài 1 : Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác.
Bài 2 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m, người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính các kích thước của vườn.
Bài 3 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m và chiều dài tăng thêm 3 m thì diện tích sẽ tăng thêm 195 m2. Tính các kích thước của miếng đất.
Bài 5 : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dài 10 m . Thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200m2. Tính chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu.
II. Tăng năng xuất :
Bài 1 : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi người còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ lúc đầu (năng suất mỗi người như nhau).
 Bài 2 : Hai đội thuỷ lợi gồm 5 người đào đắp một con mương. Đội 1 đào được 45 m3 đất, đội hai đào được 40 m3 . Biết mỗi công nhân đội 2 đào được nhiều hơn ccông nhân đội 1 là 1m3 . Tính số đất mỗi công nhân đội 1 đào được.
Bài 3 : Một máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội máy kéo cày được 52 ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định.
Bài 4 : Một tổ dệt khăn mặt, mỗi ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhưng thực tế mỗi ngày đã dệt thêm được 60 chiếc, cho nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trước 3 ngày mà còn dệt thêm được 1200 khăn mặt so vơí kế hoạch . Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc đầu.
Bài 5 : Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong 1 thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm 10 m3 . Sau khi bơm được dung tích của bể chứa, người công nhân vận hành  ...  xúc với AB tại A, cắt CI tại H
Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác ABC.
Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua AC. Chứng minh rằng B’ cũng thuộc đường tròn (O).
Chứng minh ngược lại rằng : nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC tiếp xúc với AB.
Bài 7 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một dây cung thay đổi MN=R (M nằm ở giữa cung AN) AM cắt BN ở C ; AN cắt BM ở D.
Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp một đường tròn tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN.
Chứng minh rằng CD vuông góc với AB.
Chứng minh rằng OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN
Chứng minh rằng CD =AB và CD song song với một đường thẳng cố định.
Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự là A, B, C. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và BC ( vẽ cùng một phía của AC). trên đường thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm D sao cho góc ADC = 900 .gọi giao điểm của DA và DC với 2 nửa đường trònl à E và F .Chứng minh rằng
EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn
Tứ giác AEFC nội tiếp một đường tròn
Xác định vị trí của điểm B trên đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF là hình vuông.
Bài 9 : Cho tam giác ABC nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn (O,R) H là giao điểm của các đường cao AM ; BN ; CP còn Q là điểm đối xứng của H qua trung điểm E của cạnh BC. Chứng minh các góc PNB = BNM = CBQ
Chứng minh rằng : Q thuộc đường tròn tâm (O)
Từ A kẻ đường thẳng xy song song với NP đường thẳng này cắt đường thẳng BC ở K. Chứng minh rằng xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) và AK2 = KB. BC
Gọi I là điểm đối xứng của O qua BC, tính HI theo R.
IV.Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vuông góc
Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH cắt đường tròn (O) ở D, kẻ đường kính AOE
Chứng minh rằng : DE song song với BC.
Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.
Tính bán kính của đường tròn (O) biết BC = 24 cm ; IM = 8cm
Bài 2 : 
Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi S là trung điểm của AO, vẽ đường tròn tâm S đi qua A.
Chứng minh rằng các đường tròn (O) và (S) tiếp xúc với nhau tại A
Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (S) tại M và đường tròn (O) tại P
Chứng minh rằng : 1. SM // OP
 2. M là trung điểm của AP và OM //BP
Bài 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B, vẽ một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) ở C cắt đường tròn (O’) ở D (A nằm giữa C và D), vẽ một đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) ở E, cắt đường tròn (O’) với F (B nằm giữa E, F). hai đường thẳng CD và EF không cắt nhau ở bên trong hai đường tròn. Chứng minh rằng CE // DE.
Bài 4 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn này kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh rằng 
MN // AC
CD. MN= CM. BD
Bài 5 :Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) các đường phân giác trong của các góc B, C lần lượt cắt đường tròn tại E, F. Dây cung EF cắt AC, AB lần lượt tại H, I.
a) Chứng minh các tam giác FKB và EAK cân
b) Chứng minh tứ giác FIKN nội tiếp. Từ đó suy ra IK // AC
c) Có nhận xét gì về tứ giác AIKH ?
Bài 6 : cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O;R) hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau ở T.
Chứng minh rằng OT// AB
Chứng minh rằng : ba điểm O,C,T thẳng hàng 
tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R 
Bài 7: Trong đường tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Chứng minh rằng :
a) Khoảng cách từ O tới AB bằng nửa độ dài CD.
b) Đường thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuông góc với AD.
Bài 8: 
Cho đường tròn đường kính BC. Một điểm P ở ngoài đường tròn có hình chiếu trên BC là một điểm A ở ngoài đường tròn. Giao của PB, với PC với đường tròn lần lượt là M, N, giao của AN với đường tròn là E. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm A, B, N, P nằm trên một đường tròn
b) EM vuông góc với BC.
Bài 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong một đường tròn (O), ngoài ra ACB = 450. Các đường cao AH, BH của tam giác cắt đường tròn lần lượt tại P, Q. Hai đường thẳng AQ và BP giao nhau tại S.
a) Chứng minh PQ là đường kính của đường tròn (O).
b) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là hình bình hành
c) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là bằng nhau
d) Nếu tam giác ABC có góc B tù thì các kết quả trên còn đúng hay không ? chứng minh các điều đó.
Bài 10: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Các đường phân giác trong của các góc B,và C lần lượt cắt đường tròn tại E& F.Dây cung è cắt AC,AB lần lượt tại H; I .CMR: 
MN//AC.
CD.MN = CM.BD
Bài 11:Trong đường tròn (O) cho 12 dây cung AC và BD vuông góc với nhau tại I .CMR 
 a)Khoảng cách từ O tơí AB bằng nửa độ dài CD
	b)Đường thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuong góc với AD.
Bài 12: Cho đường tròn đường kính BC.Một điểm P nằm ngoài đường tròn có hình chiếu trên BC là một điểm trên A ở ngoài đường tròn .Giao điểm của PB và PC với đường tròn lần lượt là M&N .Gọi giao điểm của AN với đường tròn là E .CMR:
	a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm trên đường tròn.	
	b)EN vuông góc với BC.
Bài 13:Tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O),ngoài ra góc ACB =450. Các đường cao AH,BH của tam giác cắt đườn tròn lần lượt tại P,Q .Hai đường thẳng AQ ,BP giao nhau tại S. CMR:
a)PQ là đường kính của đường tròn(O).
	b) ACBS là hình bình hành
	c)Các ASH và APQ là bằng nhau:
 d) Nếu ABC có góc B tù thì các kết quả trên còn đúng hay không?Chứng minh điều đó.
II. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài 1cho hai đường tròn tâm O và O’cắt nhau tại Avà B. từ B kẻ các đường kính BOC và BO’D 
chứng minh rằng: ba điểm C,A,D thẳng hàng. suy ra CD = 2OO’
gọi M là trung điểm của dây cung chung AB. CMR ba điêmt O,M,O’ thẳng hàng 
 biết OO’= 5cm ; O’B= 3cm ; OB= 4cm . tính AB,AC và diện tích OBO’
Bài 3: 
Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O). Các điểm C, D di động trên đường tròn sao cho AD//BC và C, D ở về cùng một phía với dây AB ; M là giao điểm của AC, BD các tiếp tuyến với đường tròn tại A và D cắt nhau tại I. Chứng minh 
a. Ba điểm I, O, M thẳng hàng
b. Chứng minh bốn điểm A, B, M, P cùng thuộc một đường tròn
c. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC là hình số.
Bài 4: Cho M là một điểm di động trên nửa đường tròn đường kính AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại K. 
Các tia AH, BM cắt nhau tại S.
a. Chứng minh tam giác ABS cân.Từ đó chứng minh S nằm trên một đường tròn cố định.
b. Chứng minh KS là tiếp tuyến của đường tròn (B, BA)
c. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt đường tròn (B, BA) tại N. Chứng minh rằng M, N, A thẳng hàng.
Bài 5 : 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đường tròn ở E. Kẻ đường kính AOF.
a. Chứng minh tam giác BCEF là hình thang cân
b. Chứng minh BAE = CAF
c. Gọi I là trung điểm của BC. chứng minh H, I, F thẳng hàng.
VI. Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Bài 1: Hai đường tròn (O) ; (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C, D. Các đường thẳng CA, DA cắt (O’), (O) theo thứ tự tại E, F. Chứng minh
a) Tứ giác CFED nội tiếp
b) AB là phân giác góc FBE
c) Các đường thẳng CF, DE, AB nội tiếp.
Bài 2:Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến CBA. Gọi IJ là đường kính vuông góc với AB. Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại M và N.
a) Chứng minh rằng IN, IM và AB đồng quy tại một điểm D.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M và N đi qua trung điểm E của CD
Bài 3: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’ , R’) tiếp xúc ngoài tại A(R>R’). Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại B và C(B và C khác A). EF là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, BC cắt đường tròn (O’) tại D.
VII. Toán tổng hợp và toán khác
Bài 1: cho hình vuông ABCD có cạnh 4 cm. điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3 cm . vẽ đường tròn tâm O có đường kính BM đường tròn nay cắt AC ở E ( khác A )
tính bán kính đường tròn (O)
CMR: DC là tiềp tuyến của đường tròn (O)
CMR: tam giác BEM là tam giác vuông cân 
tiếp tuyến Bx của đường tròn (O) cắt DC ở K . CMR: M,E,K là ba điểm thẳng hàng
Bài 2: cho hai đường tròn bằng nhau (O) và(O’) cắt nhau tại hia điểm Avà B . đường thẳng vuông góc với AB kẻ qua B cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai C và D Lấy điểm M trên xung nhỏ CB với đường tròn tâm (O) . Gọi giao điểm thứ hai của 2 đường thẳng CMvới đường tròn tâm (O’) là N và giao điểm của hai đường thẳng CM và DN là P
tam giàc AMN là tam giác gì ? tại sao? 
CMR: tứ giác ACPD nội tiếp . từ dó suy ra P luôn thuộc đường tròn 
Gọi giao điểm thứ hai của AP với đường tròn (O’) là Q tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao ? 
Gọi giao điểm của AP và CD là E CMR: khi M di động trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiềp tam giác CED luôn thuộc 1 đường thẳng cố định 
Bài 3: cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB. K là điểm chính giữa của cung AB. M là điểm bất kì trên cung AK. Trên tia BM lấy điểm N sao cho BN =AM 
chứng minh rằng: tam giác AMK = tam giác BNK
tam giac MNK vuông cân và MK là tia phân giác góc AMN
khi M chuyển động trên cung AK thì đường vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một điểm cố định 
Bài 4: cho đường tròn (O) đường kính AB. I và K thuộc AB sao cho OI= OK M thuộc (O). MO,MI ,MK cắt (O) lần lượt tại E,C,D . đường thẳng CD cắ AB tại F . EI cắt DE tại N. MI cắt EF tại H 
CMR: FA.FB = FC.FD b. M? thì MI =IH 
c. CM: tứ giác ENCH nội tiếp d. CMR: EF là tiếp tuyến của tâm (O)
Bài 5.Cho đường tròn tâm O ,dây AB , C nằm ngoài (O) , C thuộc tia AB . P là điểm nằm chính giữa cung lớn AB , kẻ đường kính PQ cắt dây AB tại D ,tia CP cắt đường ròn tại I , AB cắt QI tại K.
 1. Chứng minh rằng tứ giác PDKI nội tiếp .
 2. Chứng minh QB2 = QK.QI
 3. Chứng minh CI.CP = CK.CD 
 4. Chứng minh IC là phân giác góc ngoài đỉnh I của tam giác AIB.
 5. chứng minh CK.CD = CA.CB.
Bài 6. Cho (O;R) tiếp xúc ngoài (O'; r) (R > r) tại C. AC,BC là hai đường kính của (O) và (O'). DE là dây của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB; đường thẳng DC cắt (O') tại F .Chứng minh rằng:
 1. Tứ giác AEBD là hình gì?
 2 . 3 điểm B,E,F thẳng hàng .
 3. Tứ giác MDBF nội tiếp .
 4. DB cắt (O') tại G . Chứng minh DF,EG,AD đồng quy.
 5.DE = 2 MF. và MF là tiếp tuyến (O'). 
Bài 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ,P là điểm chính giữa cung AB không chứa C và D . Hai dây PC ,PD cắt dây AB tại E,F ; các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC, PD kéo dài ncắt nhau tại K.
 1. So sánh hai góc CID và CKD .
 2. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp .
 3. Chứng minh IK song song với AB.
 4. Chứng minh AP là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 3 điểm A,F,D.
=================================================================================