Đề cương ôn tập học kì II Toán Lớp 9

 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM
 CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a 0)
 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Hàm số y = ax2(a 0): 
 Hàm số y = ax2(a 0) có những tính chất sau:
 • Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
 • Nếu a 0.
 Đồ thị của hàm số y = ax2(a 0):
 • Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
 • Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
 • Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
 Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0):
 • Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
 • Dựa và bảng giá trị vẽ (P).
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (D): y = ax + b:
 • Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng 
 nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
 • Giải pt hoành độ giao điểm:
 + Nếu > 0 pt có 2 nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
 + Nếu = 0 pt có nghiệm kép (D) và (P) tiếp xúc nhau.
 + Nếu < 0 pt vô nghiệm (D) và (P) không giao nhau.
 2
3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax (a 0) và (Dm) theo tham số m:
 • Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng 
 nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
 • Lập (hoặc ' ) của pt hoành độ giao điểm.
 • Biện luận:
 + (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt tìm m.
 + (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt tìm m.
 + (Dm) và (P) không giao nhau khi < 0 giải bất pt tìm m.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho hàm số y 5x2
 1 1
a) Lập bảng tính giá trị của y với các giá trị của x lần lượt bằng: -2; -1; ; 0; ; 1; 2
 2 2
b) Với giá trị nào của x thì hàm số nhận giá trị tường ứng bằng: 0; -7,5; -0,05; 50; -120
 LG
a) Bảng các giá trị tương ứng của x và y là:
 1 1
 x -2 -1 0 1 2
 2 2
 y 5x2 5 5
 -20 -5 0 -5 -20
 4 4
b)
+ Với y = 0 ta có: 5x2 0 x2 0 x 0
+ Với y = -7,5 ta có: 5x2 7,5 x2 1,5 x 1,5
+ Với y = -0,05 ta có: 5x2 0,05 x2 0,01 x 0,1
+ Với y = -7,5 ta có: 5x2 50 x2 10 pt vô nghiệm
 1 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
+ Với y = -7,5 ta có: 5x2 120 x2 24 x 2 6
Bài 2: Cho hàm số y m2 m x2 . Tìm giá trị của m để:
a) Hàm số đồng biến với mọi x > 0
b) Hàm số nghịch biến với mọi x > 0
 LG
Ta có: a m2 m m. m 1 
 m 0 m 0
 m 1 0 m 1 m 1
a) Hàm số đồng biến với mọi x > 0 a 0 m. m 1 0 
 m 0 m 0 m 0
 m 1 0 m 1
vậy m > 1 hoặc m 0
b) Hàm số nghịch biến với mọi x > 0 
 m 0 m 0
 m 1 0 m 1 0 m 1
 a 0 m. m 1 0 0 m 1
 m 0 m 0 không  m
 m 1 0 m 1
Bài 3: Cho hàm số y ax2 . Xác định hệ số a trong các trường hợp sau:
a) Đồ thị của nó đi qua điểm A(3; 12)
b) Đồ thị của nó đi qua điểm B(-2; 3)
 LG
 4
a) Vì đồ thị hs đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có: 12 a.32 a 
 3
 2 3
b) Vì đồ thị hs đi qua điểm B nên tọa độ điểm B thỏa mãn hs, ta có: 3 a. 2 a 
 4
Bài 4: Cho hàm số y ax2
a) Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 2)
b) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị của a vừa tìm được
 LG
 1
a) Vì đồ thị hs đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có: 2 a.22 a 
 2
 1
b) Với a = ½ ta có hàm số sau: y x2
 2
 2 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 14
 12
 10
 1
 8
 f x = x2
 2 
 6
 4
 2
 -15 -10 -5 5 10 15
 -2
Bài 5: Cho hàm số y 0,4x2 . Các điểm sau đây, điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không 
thuộc đồ thị hàm số: A(-2; 1,6), B(3; 3,5), C( 5 ; 0,2)
LG
PP: muốn kiểm tra xem 1 điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hs ta làm như sau: thay hoành độ 
của điểm đó vào hàm số, nếu giá trị của hs bằng với tung độ của nó thì điểm đó thuộc đồ thị hs; 
nếu giá trị của hs không bằng với tung độ của nó thì điểm đó không thuộc đồ thị hs.
- Điểm A(-2; 1,6)
Thay x = -2 vào hàm số ta có: y 0,4 2 2 1,6 , do đó điểm A thuộc đồ thị hs
- Điểm B(3; 3,5)
Thay x = 3 vào hs ta có: y 0,4.32 3,6 3,5 do đó điểm B không thuộc đồ thị hs
- Điểm C( 5 ; 0,2)
 2
Thay x = 5 vào hs ta có: y 0,4. 5 2 0,2 do đó điểm C không thuộc đồ thị hs
 1
Bài 6: Cho 2 hàm số y x2 và y = 2x – 2
 2
a) Vẽ đồ thị 2 hàm số trên trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị
 LG
a) Vẽ đồ thị
 14
 12
 10
 8
 1
 2
 f x = x g x = 2x-2
 2 
 6
 4
 2
 -15 -10 -5 5 10 15
 -2
 3 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 1
b) pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: x2 2x 2 x x 2
 2 1 2
thay x = 2 vào 1 trong 2 hs ta được: y = 2.2 – 2 = 2. Vậy tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là M(2; 2)
Bài 7: Cho hàm số y ax2
a) Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -3x + 4 tại điểm A có hoành độ bằng -
2.
b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ
c) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị
 LG
a) tung độ của điểm A là: y = -3.(-2) + 4 = 10. Vậy tọa độ điểm A(-2; 10)
 2 5
vì đồ thị hs y ax2 đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có: 10 a 2 a . Khi 
 2
 5
đó hs có dạng: y x2
 2
b) vẽ đồ thị 2 hs trên cùng mặt phẳng tọa độ
 10
 8
 6
 5
 h x = x2
 2 
 4
 2
 q x = -3x+4
 -10 -5 5 10 15 20
 -2
 -4
 -6
 5 4
c) pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: x2 3x 4 x ; x 2
 2 1 5 2
 4 4 8 4 8
+ Với x y 3. 4 tọa độ điểm A( ; )
 1 5 1 5 5 5 5
+ Với x1 2 y1 3. 2 4 10 tọa độ điểm B(-2; 10)
Bài 8: Cho hàm số y ax2
a) Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm A có hoành độ bằng 1.
b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ
c) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị.
 LG
a) tung độ của điểm A là: y = -2.1 + 3 = 1, do đó tọa độ của điểm A là A(1; 1)
vì đồ thị hs y ax2 đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có: 1 a.12 a 1. Khi đó hs 
có dạng: y x2
b) vẽ đồ thị 2 hs trên cùng mặt phẳng tọa độ
 4 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 14
 12
 10
 8
 6
 g x = -2x+3
 4
 f x = x2
 2
 -15 -10 -5 5 10 15
 -2
 2
c) pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: x 2x 3 x1 1; x2 3
+ Với x1 1 y1 2.1 3 1 tọa độ điểm A(1; 1)
+ Với x1 3 y1 2. 3 3 9 tọa độ điểm B(-3; 9)
Bài 9: Cho 2 hàm số (P): y x2 và (d): y = 2x + 1.
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ đồ thị 2 hàm số trên
b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm hàm số (d1): y = ax + b biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(-2; -1) và song song với (d).
 LG
a) vẽ đồ thị 2 hs
 6
 4
 2
 q x = 2x+1
 -15 -10 -5 5 10 15
 -2
 -4
 h x = -x2
 -6
 -8
 -10
 2
b) pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: x 2x 1 x1 x2 1
 2
+ Với x1 1 y1 1 1 tọa độ điểm A(-1; -1)
c) vì (d1) // (d) nên a = 2. khi đó (d1) có dạng: y = 2x + b
mặt khác (d1) đi qua A nên tọa độ của A thỏa mãn (d1), ta có: -1 = 2.(-2) + b => b = 3
vậy hàm số (d1): y = 2x + 3
Bài 10: Trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ, cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y x 2
a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm hàm số (d1): y = ax + b biết rằng đồ thị của nó song song với (d) và cắt (P) tại điểm M có 
hoành độ bằng 2
 LG
 5 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
a) vẽ đồ thị
 14
 12
 10
 8
 6
 4
 r x = x2
 2
 s x = -x+2
 -15 -10 -5 5 10 15
 -2
 2
b) pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: x x 2 x1 1; x2 2
 2
+ Với x1 1 y1 1 1 tọa độ điểm A(1; 1)
 2
+ Với x1 2 y1 2 4 tọa độ điểm A(-2; 4)
c) vì d1 // d nên a = -1, do đó d1 có dạng: y = -x + b
+ tung độ của điểm M là: y = 22 = 4. Tọa độ điểm M(2; 4)
+ mặt khác d1 đi qua M nên ta có: 4 = -2 + b => b = 6
Vậy pt d1: y = -x + 6
 --------------------------------------------------------------------------------------------
 CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Định nghĩa: pt bậc hai một ẩn là pt có dạng: ax2 bx c 0 a 0 (1), trong đó x là ẩn; a, b, c 
là các số cho trước.
II. Cách giải
 x 0
 x 0
 2 
1) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành: ax bx 0 x ax b 0 b
 ax b 0 x 
 a
 c
2) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành: ax2 c 0 ax2 c x2 (2)
 a
 c
- nếu 0 thì pt (2) vô nghiệm, suy ra pt (1) cung vô nghiệm
 a
 c c
- nếu 0 x 
 a a
3) đầy đủ: ax2 bx c 0 a 0 
Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
 a) Nhẩm nghiệm:
 x1 1
 • a + b +c = 0 pt (1) có 2 nghiệm: c .
 x 
 2 a
 6 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 x1 1
 • a – b +c = 0 pt (1) có 2 nghiệm: c .
 x 
 2 a
 b) Giải với ' : 
 b
 Nếu b = 2b’ b’ = ' = (b’)2 – ac.
 2
 b' ' b' '
 • Nếu ' > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x ; x 
 1 a 2 a
 b'
 • Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x x .
 1 2 a
 • Nếu ' < 0 phương trình vô nghiệm.
 c) Giải với :
 Tính : = b2 – 4ac.
 b b 
 • Nếu > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x ; x 
 1 2a 2 2a
 b
 • Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x x .
 1 2 2a
 • Nếu < 0 phương trình vô nghiệm.
III. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
 2
 a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) thì ta có:
 b
 S x x 
 1 2 a
 .
 c
 P x x 
 1 2 a
 u v S
 b) Định lý đảo: Nếu 
 u.v P
 u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P 0).
1 Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
 2 2 2 2
 • Tổng bình phương các nghiệm: x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 = S – 2P.
 2 2
 • Bình phương của một hiệu (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 =
 1 1 x x S
 • Tổng nghịch đảo các nghiệm: 1 2 .
 x1 x2 x1x2 P
 2 2 2
 1 1 x1 x2 S 2P
 • Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: 2 2 2 2 .
 x1 x2 (x1x2 ) P
 2 2 2
 • Bình phương của hiệu các nghiệm: (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 = S – 4P.
 3 3 3 3
 • Tổng lập phương các nghiệm: x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) = S – 3PS
2) Cho pt: ax2 bx c 0 a 0 . Điều kiện để phương trình:
- Vô nghiệm: 0 ( ' 0 )
- Nghiệm kép: 0 ( ' 0 )
- Có 2 nghiệm phân biệt: 0 ( ' 0 ) hoặc a.c < 0
 7 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 '
 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu: 
 x1.x2 0
 ' 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu âm: x1.x2 0
 x x 0
 1 2
 ' 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu dương: x1.x2 0
 x x 0
 1 2
 '
 0
- Có 2 nghiệm khác dấu: 
 x1.x2 0
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
 2 2 1 1 2 3 3
 a) x1 x2 . b) . c) (x1 x2 ) d) x1 x2
 x1 x2
 Giải:
 Phương trình có ' = 1 > 0 pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 
 b
 S x x 12
 1 2 a
 .
 c
 P x x 35
 1 2 a
 2 2 2 2 2
 a) x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 = S – 2P = 12 – 2.35 = 74.
 1 1 x x S 12
 b) 1 2 = .
 x1 x2 x1x2 P 35
 2 2 2 2
 c) (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 S -4P = 12 – 4.35 = 4.
 3 3 3 3 3
 d) x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) = S – 3PS = 12 – 3.35.12 = 468.
3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x 1, x2 không 
phụ thuộc vào tham số).
* Phương pháp giải: 
 • Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( ' 0 ; 0 hoặc a.c < 0).
 b
 S x x 
 1 2 a
 • Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình .
 c
 P x x 
 1 2 a
 • Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P Đó là hệ 
 thức độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số). 
 1. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
 2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
 Giải:
 1. Phương trình (1) có = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9 = (2m – 3)2 
 0,  m.
 8 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
 2.
 b 2m 1
 S x x 
 1 2 a 2 2S 2m 1
 • Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): 
 c m 1 2P m 1
 P x x 
 1 2 a 2
 2S 2m 1
 2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm.
 4P 2m 2
4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nó:
 * Phương pháp giải: 
 u v S
 • Nếu 2 số u và v c ó: u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (*).
 u.v P
 • Giải pt (*):
 u x1 u x2
 + Nếu ' > 0 (hoặc > 0) pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Vậy hoặc .
 v x2 v x1
 b' b'
 + Nếu ' = 0 (hoặc = 0) pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = . Vậy u = v = .
 a a
 + Nếu ' < 0 (hoặc < 0) pt (*) vô nghiệm. Vậy không có 2 số u, v thỏa đề bài.
Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28
 Giải:
 Theo đề bài u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 x2 – 11x + 28 = 0(*)
 x1 7
 Phương trình (*) có = 9 > 0 3 .
 x2 4
 u 7 u 4
 Vậy: hay 
 v 4 v 7
Ví dụ 2: Cho hai số a = 3 +1 và b = 3 – 3 . Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là a và b.
 Giải:
 • a + b = ( 3 +1) + (3 – 3 ) = 4.
 • a.b = ( 3 +1). (3 – 3 ) = 2 3 .
 Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0 x2 – 4x + 2 3 = 0: Đây là pt cần 
 tìm.
5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
 * Phương pháp giải:
 • Lập biệt thức ' (hoặc ).
 • Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 + c > 0,  m (với c là một số dương) 
 • Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.
6. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
 * Phương pháp giải:
 • Lập biệt thức ' (hoặc ).
 • Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 0,  m.
 • Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m.
7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:
 9 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 * Phương pháp giải:
 • Lập biệt thức ' (hoặc ).
 • Biện luận:
 + Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: ' > 0 giải bất pt tìm tham số m kết 
 luận.
 + Phương trình có nghiệm kép khi ' = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
 + Phương trình vô nghiệm khi ' < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
 + Phương trình có nghiệm khi ' 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
 * Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 * Phương pháp giải:
 • Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c.
 • Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:
 * Phương pháp giải:
 • Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c
Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình sau:
 6 2 2 
a) 5x2 6x 0 x 0; x b) 2x2 1 0 x ; x 
 1 2 1 2 
 5 2 2 
 2 5 2 3 
c) 8x 5x 0 x1 0; x2 d) 2x 3x 0 x1 0; x2 
 8 2 
 2
e) 2x 42 0 x1 21; x2 21 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
 2 1 2
a) 3x 4x 1 0 x1 1; x2 b) x 10x 39 0 x1 3; x2 13 
 3 
 2 2 14 
c) x 6x 55 0 x1 11; x2 5 d) 3x x 70 0 x1 5; x2 
 3 
 2 1 
e) 2x 5x 2 0 x1 2; x2 
 2 
Bài 3: Giải các phương trình sau: 
a) 2x 1 2x 1 x 3 2 1 5x2 6x 7 0 pt vô nghiệm
 2 2 10 
b) 4x 1 2x x 6 1 0 14x 20x 0 x1 0; x2 
 7 
 2 11 
c) 3x 1 x 2 20 3x 5x 22 0 x1 2; x2 
 3 
 2 15 
d) x 4 4x 3 3 0 4x 19x 15 0 x1 1; x2 
 4 
Bài 4: Chứng tỏ rằng với mọi m các phương trình sau luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.
a) x2 2 1 m x m 0
 10 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 2
 ' 2 1 3
Ta có: ... m m 1 m 0, m , do đenta dương với mọi m nên pt có 2 nghiệm phân 
 2 4
biệt với mọi giá trị của m
b) x2 mx m2 1 0
Ta có: ' ... m2 4 m2 1 ... 5m2 4 0, m , do đenta dương với mọi m nên pt có 2 nghiệm 
phân biệt với mọi giá trị của m
Bài 5: Cho pt mx2 2m 1 x 2 0 . Tìm m để pt có nghiệm kép
Pt có nghiệm kép:
 m 0
 a 0 m 0 3 2 2 3 2 2
 m1 ; m2 
 0 2 3 2 2 3 2 2 2 2
 4m 12m 1 0 m1 ; m2 
 2 2
Bài 6: Cho 2 pt sau: x2 mx 2 0 1 ; x2 2x m 0 2 . Với giá trị nào của m thì 2 
pt trên có 1 nghiệm chung
 ' 2 m 2 2
- đk để pt (1) có nghiệm là: 1 m 8 0 (*)
 m 2 2
 '
- đk để pt (2) có nghiệm là: 2 1 m 0 m 1 (**)
- từ (*) và (**) suy ra để cả 2 pt có nghiệm thì m 2 2
- giả sử x0 là 1 nghiệm chung của 2 pt trên, ta có :
 m 2
x2 mx 2 x2 2x m 0 mx 2 2x m 0 m 2 x m 2 x 1 (vì m khác 2 
 0 0 0 0 0 0 0 0 m 2
do m 2 2 )
 2
- thay x0 = 1 vào (1) hoặc (2) ta được: 1 m 2 0 m 3
Vậy m = -3 thì 2 pt trên có 1 nghiệm chung
Bài 7: Tìm m để 2 pt sau có nghiệm chung?
x2 m 4 x m 5 0 1 
x2 m 2 x m 1 0 2 
 2 m 2 2 2
- đk để pt (1) có nghiệm là: 1 m 4m 4 0 (*)
 m 2 2 2
 2
- đk để pt (2) có nghiệm là: 2 m 0, m (**)
 m 2 2 2
- từ (*) và (**) suy ra để cả 2 pt có nghiệm thì (***)
 m 2 2 2
- giả sử x0 là nghiệm chung của 2 pt trên, ta có :
 2 2
x0 m 4 x0 m 5 x0 m 2 x0 m 1 0 m 4 m 2 x0 4 x0 2
- thay x0 = 2 vào (1) ta được: 4 (m 4).2 m 5 0 m 1 (thỏa mãn (***))
Vậy m = 1 thì 2 pt trên có nghiệm chung.
Bài 8: Tìm m để 2 pt sau có nghiệm chung?
2x2 mx 1 0 1 
mx2 x 2 0 2 
 2
- đk để pt (1) có nghiệm là: 1 m 8 0, m (*)
 11 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 1
- đk để pt (2) có nghiệm là: 1 8m 0 m (**)
 2 8
 1
- từ (*) và (**) suy ra để cả 2 pt có nghiệm thì m (***)
 8
- giả sử x0 là nghiệm chung của 2 pt trên, khi đó:
 2 2 2
2x0 mx0 1 mx0 x0 2 0 m 2 x0 m 1 x0 3 0
 2 1
Ta có: m2 10m 25 m 5 0 m 5 5 m (vì m ), nên pt có 2 nghiệm phân biệt: 
 8
 m 1 5 m 3 m 1 5 m 2m 4 2 m 2 
x ; x 1
 01 2 m 2 m 2 02 2 m 2 2 m 2 2 m 2 
 3
- thay x vào (1) ta được: 
 01 m 2
 2
 3 3 2 2
2. m. 1 0 18 3m m 2 m 2 0 m m 7 0 (phương trình vô nghiệm vì 
 m 2 m 2
có m 27 0 )
- thay x 1 vào (1) ta được: 2.12 m.1 1 0 m 1 (thỏa mãn (***))
 02
Vậy m = -1 thì 2 pt trên có nghiệm chung.
Bài 9: Cho pt x2 4x m 1 0
a) xác định m để pt có nghiệm
 2 2
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm thỏa mãn: x1 x2 10
 LG
a) Ta có: ' ... 3 m . Pt có nghiệm ' 0 3 m 0 m 3
 x1 x2 4
b) với m 3 giả sử pt có 2 nghiệm là x1 ; x2. theo Vi-ét ta có: (*)
 x1.x2 m 1
 2 2 2
lại có: x1 x2 10 x1 x2 2x1x2 10 (**)
thay (*) vào (**) ta được: 42 2 m 1 10 m 2 (thỏa mãn điều kiện)
 5
Bài 10: Cho pt 3x2 5x m 0 . Xác định m để pt có 2 nghiệm thỏa mãn x2 x2 
 1 2 9
Ta có: ... 25 12m
 25
Pt có 2 nghiệm 0 25 12m m (*)
 12
 5
 x x (1)
 25 1 2 3
với m giả sử pt có 2 nghiệm là x1 ; x2. theo Vi-ét ta có: 
 12 m
 x .x 2 
 1 2 3
 5 5 5 5 1
lại có: x2 x2 x x x x x x x x (3)
 1 2 9 1 2 1 2 9 3 1 2 9 1 2 3
 12 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 5
 x x x 1
 1 2 3 1
kết hợp (1) và (3) ta có hệ phương trình: 2 thay vào (2) ta được 
 1
 x2 
 x1 x2 3
 3
 2 m
1. m 2 (thỏa mãn đk (*))
 3 3
Bài 11: Cho pt x2 2mx 2m 1 0
a) Chứng tỏ rằng pt có nghiệm x1, x2 với mọi m
 2 2
b) Đặt A 2 x1 x1 5x1x2
* CMR: A 8m2 18m 9
* Tìm m để A = 27
c) Tìm m để pt có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
 LG
a) ta có m2 2m 1 m 1 2 0, m , do đó pt có 2 nghiệm với mọi giá trị của m
 x1 x2 2m
b) + với mọi m pt có nghiệm x1, x2. theo Vi-ét ta có: (*)
 x1.x2 2m 1
 2 2 2
từ A 2 x1 x1 5x1x2 A 2 x1 x2 9x1x2 (**)
thay (*) vào (**) ta được: A 2 2m 2 9 2m 1 8m2 18m 9 => đpcm
 3
+ với A = 27 suy ra 8m2 18m 9 27 8m2 18m 18 0 m 3; m 
 1 2 4
c) giả sử x1 = 2.x2, kết hợp (*) ta có:
 4m 4m
 x x 
 1 3 1 3
 x1 2 x2 x1 2 x2 
 2m 2m
 x1 x2 2m 3x2 2m x2 x2 
 3 3
 x .x 2m 1 x .x 2m 1 
 1 2 1 2 4m 2m 8m 2 18m 9 0
 . 2m 1 
 3 3 
 3 3
giải pt 8m2 18m 9 0 m ;m 
 1 2 2 4
III. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
 1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.
 2. CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
 3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
HD: 1. Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0 
 x1 1
 c 4
 x 4
 2 a 1
 Vậy khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4.
 2. = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, m .
 3. Hệ thức: 2S + P = – 6 2(x1 + x2) + x1x2 = – 6.
Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
 13 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 1. Giải phương trình (1) khi m = 3.
 2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
 3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc 
 vào m.
HD: 1. Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0 
 x1 1
 c 3 .
 x 3
 2 a 1
 Vậy khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3.
 2. = (m – 1)2 0, m .
 3.
 2 m 1
 •ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 1) > 0 |m – 1| > 0 .
 m 1
 • Hệ thức: S – P = 1 x1 + x2 – x1x2 = 1.
Bài tập 3 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
 1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
 2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
 3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 độc lập với 
 m.
 1
HD: 1. Khi m = 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = .
 2
 2. = (2m – 3)2 0, m .
 3.
 3
 m 
 2
 •ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3) 2 > 0 |2m – 3| > 0 .
 3
 m 
 2
 • Hệ thức: 2S + 4P = 1 2( x1 + x2) + 4 x1x2 = 1.
Bài tập 4 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
 1. Giải phương trình (1) khi m = 5.
 2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
 3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 độc lập với 
 m.
 4. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
HD: 1. Khi m = 5, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 7.
 2. = (m – 2)2 0, m .
 3. 
 2 m 2
 •ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 2) > 0 |m – 2| > 0 .
 m 2
 • Hệ thức: S – P = 1 x1 + x2 – x1x2 = 1.
 3
 4. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(2m – 3) < 0 m < 
 2
Bài tập 5 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = 0 (1).
 1. Tìm m để:
 a) Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt.
 14 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 b) Pt (1) có một nghiệm là – 2.
 2
 2. Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x1 – x2) + 4(x1 + x2) + 4 = 0.
HD: 1a.
 • Phương trình (1) có ' = 1 – 2m.
 1
 • Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ' > 0 1 – 2m > 0 m < .
 2
 m 
 2 2 2 1 0
 1b. Pt (1) có một nghiệm là – 2 khi: (– 2) –2(m – 1)(–2) + m = 0 m + 4m = 0 .
 m2 4
 Vậy khi m = 0 hoặc m = – 4 thì pt (1) có một nghiệm là – 2.
 S x1 x2 2m 2
 2. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 2
 P x1x2 m
 2 2
 Ta có: (x1 – x2) + 4(x1 + x2) + 4 = (x1 + x2) – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + 4 
 = (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + 4
 = 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 8m – 8 + 4 = 0 (đpcm).
Bài tập 6 :
 Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1).
 1. Giải phương trình (1) khi m = –2.
 2. CMR: m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
 3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức:
 A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m.
HD: 1. Khi m = –2 x1 = 1 7 ; x2 = 1 7 .
 2
 2 1 19
 2. ' = m + m + 5 = m > 0, m .
 2 4
 S x1 x2 2m 2
 3. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 
 P x1x2 m 4
 Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2
 = (2m + 2) – 2(m – 4) = 10.
 Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m.
Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 
 1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.
 2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
 2 2
 3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = x1 x2 theo m.
 4. Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 
 1. Giải phương trình (1) khi m = –1.
 2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
 3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
 4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m.
 2 2
 5. Tìm m để x1 x2 = 10.
HD: 1. Khi m = –1 x1 = 1 10 ; x2 = 1 10 .
 2. = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + 4 > 0, m .
 7
 3. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(2m – 7) < 0 m < .
 2
 4. Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 2(x1 +x2) – x1x2 = 5.
 15 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 2 2 2
 5. x1 x2 = 10 m – 6m + 5 = 0 m = 1 hoặc m = 5.
Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1). 
 1. Giải phương trình (1) khi m = –1. 
 2. Tìm m để:
 a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
 b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
 c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.
HD: 1. Khi m = –1 x1 = 1 ; x2 = –3 .
 2a. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi = –4m > 0 m < 0.
 1
 2b. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(4m + 1) < 0 m < .
 4
 2 2 2
 2c. Tổng các bình phương hai nghiệm của pt (1) bằng 11 x1 x2 = 11 (x1 + x2) – 2x1x2 = 
11
 9
 2 – 8m = 11 m = .
 8
Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1).
 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.
 b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ giữa 
 các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m.
HD: a)
 2 m 3
 a. Phương trình (1) có nghiệm kép '= 0 m – 9 = 0 .
 m 3
 m 3 b'
 b. Khi pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 = = m + 1.
 m 3 a
 c. Khi m = 3 x1 = x2 = 4.
 d. Khi m = – 3 x1 = x2 = – 2 .
 b)
 2 m 3
 • Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi '> 0 m – 9 > 0 .
 m 3
 • Hệ thức: S – P = – 8 x1 + x2 – x1x1 = – 8 hay: x1x1 – (x1 + x2) = 8.
 ----------------------------------------------------------------------------------------
 16 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 I. Chương III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
 1. LÝ THUYẾT :
a/ Góc ở tâm : m
 A B
- Định nghĩa : Góc có đỉnh trùng tâm đường tròn (góc A· OB là góc ở tâm)
- Số đo : 
 O
+ sđ A¼mB= A· OB
 ¼ 0 ¼
+ sđ AnB = 360 – sđ AmB n
+ Số đo của nửa đường tròn bằng 1800
b/ Góc nội tiếp:
- Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của 
đường tròn
- Số đo: Định lý 
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung nó chắn
 1 1
( Trên hình B· AC = sđ B»C = B· OC . )
 2 2
c/ Góc ở tạo bởi tiếp tuyến và dây cung :
 y A x
 B
 O
 C
B· Ax hoặc B· Ay là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
- Định nghĩa: 
BAˆx coù ñænh A naèm treân ñöôøng troøn, caïnh Ax laø moät tia tieáp tuyeán coøn caïnh kia chöùa daây 
cung AB.
Goùc nhö vaäy goïi laø goùc taïo bôûi tieáp tuyeán vaø daây cung.
- Số đo: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.
 1
( Trên hình B· Ax = sđ A»B )
 2
d/ Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
 17 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
- Định nghĩa : 
 + Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
 + Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
- Số đo :
 + Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn 
 sñB¼nC sñD¼mC
Trên hình : B· EC = 
 2
 D m A
 E
 O C
 B
 n
 + Số đo cuả góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
 E
 A B
 B
 D O
 O A
 C
 E C
 sñ B»C - sñ A»D sñ B»C - sñ C»A sñ A¼mC - sñ A¼nC
B· EC B· EC B· EC 
 2 2 2
e/ Tứ giác nội tiếp :
- Định nghĩa : Một tứ giác có 4 đỉnh nằm trên 1 đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường 
tròn
- Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp :
+ Định lý : Trong một tứ giác nột tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc 
+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó
+ Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm mà điểm đó ta xác định được, điểm đó là tâm đường tròn 
ngoại tiếp tứ giác.
- Định lý đảo : Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp 
được đường tròn
f/ Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp :
Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác. 
Đường tròn nội tiếp đa giác là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác
g/ Các công thức về đường tròn
* Công thức tính độ dài đường tròn hay chu vi hình tròn
 18 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 Trong đó: C: độ dài đtròn
 C = 2 R
 R: bán kính
 Hay C = .d Trong đó: d là đường kính
 d = 2R ; 3,14
* Công thức tính độ dài cung tròn :
Vậy độ dài l của 1 cung tròn n0 bán kính R là: 
 Rn
 l = 
 180
* Diện tích hình tròn : S = R2
S : diện tích của hình tròn
R : bán kính của hình tròn
* Diện tích hình quạt tròn : 
 2
S = R n hay S = l.R
 360 2
S : diện tích của hình quạt n0
l : độ dài cung hình quạt n0
 Dieän tích Dieän tích
 Hình Hình veõ Theå tích
 xung quanh Toàn phần
 r
 2
 Stp=2 .r.h+ 2 .r 
 h 2
 Hình truï Sxq 2 rh V Sh r h
 2
 Sxq rl S rl r 1
Hình noùn l TP V r2h
 h 3
 r
 l= h2 r 2
Hình nón 
 cụt
 Sxq r1 r2 l 1 2 2
 V h r1 r2 r1r2 
 3
 19 Đề cương ôn tập Toán 9 HKII 
 2
 R S 4 R 4 3
 • • V R
Hình caàu 2
 hay S d 3
B. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm trên AC, đtròn đường kính CM cắt BC tại E, 
BM cắt đròn tại D
a) CMR: tứ giác BADC nội tiếp
b) DB là phân giác của góc EDA
c) CMR 3 đường thẳng BA, EM, CD đồng quy
 B
 E
 M 1
 A
 O C
 1
 2
 D
 K
a) ta có: B· AC 900 (gt)
 B· DC 900 (góc nt chắn nửa đtròn)
Suy ra tứ giác BADC nt đtròn đường kính BC
 µ ¶
b) ta có: C1 D1 (cùng chắn cung ME) 
 µ ¶
vì tứ giác BADC nt C1 D2 (cùng chắn cung AB)
 ¶ ¶
 D1 D2 DB là phân giác của góc EDA
c) giả sử AB cắt CD tại K
 CK  BK 
xét tam giác KBC, ta có: BD  CK  M là trực tâm của tam giác KBC KM  BC
 CA BD M 
mặt khác ME  BC (góc nt chắn nửa đtròn), suy ra đthẳng KM và ME trùng nhau
do đó 3 đthẳng AB, EM, CD đồng quy tại K
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại E, cắt AC 
tại F. Các tia BE cà CE cắt nhau tại H. CMR:
a) AH vuông góc với BC
b) Gọi K là giao điểm của AH và BC. CMR: FB là phân giác của góc EFK
c) Gọi M là trung điểm của BH. CMR: tứ giác EMKF nt
 20