Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương 3 - Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

 Chương
 3 GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN
 Bài 1. GĨC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. GĨC Ở TÂM
 ▪ Gĩc cĩ đỉnh trùng với tâm đường trịn được gọi là gĩc ở 
 tâm.
 ▪ Cung nằm bên trong gĩc gọi là cung bị chắn.
 ▪ A· OB là gĩc ở tâm, A¼mB là cung bị chắn bởi A· OB .
2. SỐ ĐO CUNG
 ▪ Số đo cung nhỏ bằng số đo gĩc ở tâm chắn cung đĩ.
 sđA¼mB = sđA· OB .
 ▪ Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (cĩ chung hai mút với cung lớn). 
 sđA¼nB = 360° - sđA¼mB
 ▪ Số đo của nửa đường trịn bằng 180° .
3. SỐ ĐO CUNG
 ▪ Số đo cung nhỏ bằng số đo gĩc ở tâm chắn cung đĩ: sđA¼mB = sđA· OB
 ▪ Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (cĩ chung hai mút với cung lớn).
 ▪ sđA¼nB = 360° - sđA¼mB
 ▪ Số đo của nửa đường trịn bằng 180° .
4. SO SÁNH HAI CUNG
Ta chỉ so sánh hai cung trong mơt đường trịn hay trong hai đường trong bằng nhau. Khi đĩ:
 ▪ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng cĩ số đo bằng nhau.
 sđA»B = sđC»D Þ A»B = C»D
 ▪ Trong hai cung, cung cĩ số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. 
 sđA»B > sđC»D Þ A»B > C»D
5. KHI NÀO THÌ sđA»B + sđA¼C = sđC»B
 ▪ Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđA»B = sđA¼C + sđC»B
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm số đo gĩc ở tâm – Số đo cung bị chắn
Để tính số đĩ của gĩc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau:
 ▪ Số đo của cung nhỏ bằng số đo của gĩc ở tâm chắn cung đĩ.
 ▪ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa và số đo của cung nhỏ (cĩ chung hai đầu mút với 
 cung lớn). ▪ Số đo của nửa đường trịn bằng. Cung cả đường trịn cĩ số đo.
 ▪ Sử dụng tỉ số lượng giác của gĩc nhọn để tính gĩc.
 ▪ Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.
Ví dụ 1. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một gĩc ở tâm cĩ số đo là bao nhiêu độ vào 
những thời điểm sau
a) 3 giờ. b) 5 giờ. c) 6 giờ. d) 22 giờ.
Lời giải
Ta sẽ xem mặt đồng hồ như hình trịn nên cung cả đường trịn cĩ số đo là 360° .
a) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 3 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 360° ¸ 12´ 3 = 90° .
b) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 5 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 360° ¸ 12´ 5 = 150° .
c) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 6 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 360° ¸ 12´ 6 = 180° .
d) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm 22 giờ hay 10 giờ đêm thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 
360° ¸ 12´ 10 = 300° .
Ví dụ 2. Một đồng hồ chạy chậm 20 phút. Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một gĩc ở 
tâm là bao nhiều độ? ĐS: 10° .
Lời giải
 1
Đổi: 20 phút = giờ.
 3
 1
Để chỉnh lại cho đúng giờ ta cần quay một gĩc ở tâm bằng 30° ´ = 10° .
 3
Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC . Gọi O là tâm đường trịn đi qua ba đỉnh A,B,C . Tính số đo gĩc ở 
tâm A· OB . ĐS: 120° .
Lời giải
Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực trong DABC đều.
Ta cĩ: O· AB = O· AC = B· AC ¸ 2 = 30° và
 O· BA = O· BC = C· BA ¸ 2 = 30° .
Xét DABC cân tại O , ta thấy
 A· OB = 180° - (O· AB + O· BA) = 180° - (30° + 30° ) = 120° .
Vậy số đo gĩc ở tâm A· OB là 120° . Ví dụ 4. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường trịn (O;R) cắt nhau tại điểm M . Cho biết OM = 2R . 
Tính số đo
a) Gĩc ở tâm A· OB ; ĐS: A· OB = 120° .
b) Mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ). ĐS: sđA»B là 120°;240° .
Lời giải.
 OA R 1
a) Ta cĩ: cosA· OM = = = Þ A· OM = 60° .
 OM 2R 2
Vậy A· OB = A· OM ×2 = 120° .
b) Vì A· OB = 120° nên sđ A»B nhỏ là 120° và sđ A»B lớn 
là 360° - 120° = 240° .
Ví dụ 5. Trên đường trịn tâm O lần lượt lấy ba điểm A,B,C sao cho A· OB = 130° , sđ A¼C = 60° . 
Tính số đo mỗi cung BC (cung lớn và cung nhỏ) trong các trường hợp
a) C nằm trên cung nhỏ AB ; ĐS: 290° .
b) C nằm trên cung lớn AB . ĐS: 170°,190° .
Lời giải.
a) Vì sđA¼C = A· OC nên A· OC = 60° .
Mà A· OB = A· OC + B· OC (vì C nằm trên cung nhỏ AB ) 
do đĩ B· OC = A· OB - A· OC .
Þ B· OC = 130° - 60° = 70° .
Vậy cung nhỏ BC là 70° và cung lớn BC là 360° - 70° = 290°
.
b) Vì sđA¼C = A· OC nên A· OC = 60° .
Mà B· OC = A· OC + B· OA (vì C nằm trên cung lớn AB ) 
do đĩ B· OC = 60° + 130° = 190° .
Vậy cung nhỏ BC là 360° - 190° = 170° , cung lớn BC là 190°
.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trên đường trịn (O) , lấy hai điểm A và B sao cho A· OB = 90° . Tính số đo mỗi cung AB . ĐS: 270° .
Lời giải
Vì A· OB = 90° nên số đo cung nhỏ AB là 90° và số đo cung 
lớn AB là 360° - 90° = 270° .
Bài 2. Cho đường trịn (O;R) cĩ dây AB = R . Tính số đo
a) Gĩc ở tâm A· OB ; ĐS: 60° .
b) Cung lớn AB . ĐS: 300° .
Lời giải
a) Vì AB = R nên DOAB đều hay 
A· OB = O· AB = A· BO = 60° .
b) Do A· OB = 60° nên số đo cung lớn AB là 
360° - 60° = 300° .
Bài 3. Cho đường trịn (O;R) cĩ đường kính AB . Gọi C là điểm chính giữa cung AB . Vẽ dây CD 
cĩ độ dài bằng R . Tính số đo của gĩc ở tâm BOD trong các trường hợp
a) D nằm trên cung CB ; ĐS: 30° .
b) D nằm trên cung CA . ĐS: 150° .
Lời giải.
a) Vì AB là đường kính của (O;R) và C nằm chính giữa cung AB nên 
A· OC = B· OC = A· OB ¸ 2 = 90° .
Mặt khác, vì OC = OD = CR = R nên DOCD là tam giác đều hay 
C· OD = 60° .
Ta cĩ B· OC = C· OD + B· OD Þ B· OD = B· OC - C· OD = 30° . b) Trường hợp D¢ nằm trên cung CA ta thực hiện tương tự như câu a) .
Ta cĩ B· OD¢= B· OC + C·OD¢= 150° .
Bài 4. Trên đường trịn (O) , lấy hai điểm A và B phân biệt. Kẻ các đường kính AOC và BOD . 
Chứng minh A· D = B· C .
Lời giải
Vì AC,BD cắt nhau tại O nên A· OD = B· OC ( hai gĩc đối 
đỉnh).
Mà sđA¼D = A· OD và sđB¼C = B· OC do đĩ sđA¼D = sđB¼C .
Vậy A¼D = B¼C (đpcm).
Bài 5. Trên một đường trịn, cĩ cung AB bằng 150° , cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung 
CB nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo mỗi cung CD . ĐS: 90°,270° .
Lời giải
Vì sđA»B = 150° nên A· OB = 150° .
Mà B,A lần lượt là điểm chính giữa trên cung AD và CB nên 
B· OD = C· OA = A· OB = 150° .
Số đo cung lớn AB là 360° - 150° = 210° .
Ta cĩ
A· OB = A· OD + B· OD Þ A· OD = A· OB - B· OD = 60° .
Và A· OC = A· OD + D· OC Þ D· OC = A· OC - A· OD = 90° .
Vậy số đo cung nhỏ AB là 90° và số đo cung lớn AB là 360° - 90° = 270° .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. 
a) Từ 2 giờ đến 5 giờ thì kim giờ quay được một gĩc ở tâm bằng nhiêu độ? ĐS: 900° .
b) Cũng hỏi như thế từ 7 giờ đến 9 giờ? ĐS: 60° .
Lời giải a) Khi kim đồng hồ đến mốc 2 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 60° , nếu đến mốc 5 giờ thì gĩc ở tâm cĩ 
số đo là 150° . Do đĩ, từ 2 giờ đến 5 giờ thì kim giờ quay được một gĩc ở tâm bằng 150° - 60° = 90°
.
b) Khi kim đồng hồ đến mốc 7 giờ thì gĩc ở tâm cĩ số đo là 210° , nếu đến mốc 9 giờ thì gĩc ở tâm 
cĩ số đo là 270° . Do đĩ, từ 7 giờ đến 9 giờ thì kim giờ quay được một gĩc ở tâm bằng 
270° - 210° = 60° .
Bài 7. Chênh lệch múi giờ giữa Việt Nam và Nhật Bản là 2 giờ. Hỏi để chỉnh một đồng hồ ở Việt 
Nam theo đúng giờ Nhật Bản thì kim giờ phải quay một gĩc ở tâm là bao nhiêu độ? ĐS: 60° .
Lời giải
Vì chênh lệch múi giờ giữa Việt Nam và Nhật Bản là 2 giờ nên để chỉnh một đồng hồ ở Việt Nam 
theo đúng giờ Nhật Bản thì kim giờ phải quay một gĩc ở tâm bằng 60° ´ 2 = 120° .
Bài 8. Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O , trong các gĩc tạo thành cĩ gĩc 80° . Vẽ một 
đường trịn tâm O . Tính số đo của các gĩc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O .ĐS: 80°;100° .
Lời giải
Theo đề bài ta cĩ, x·Oz = 80° .
Vì x·Oz,z·Oy là hai gĩc kề bù nên x·Oz + z·Oy = x·Oy .
Ta được 80° + z·Oy = 180° Þ z·Oy = 180° - 80° Þ z·Oy = 100° 
Bài 9. Hai tiếp tuyến của đường trịn (O) tại B và C cắt nhau tại 
điểm A . Cho biết B· AC = 60° . Tính số đo
a) Gĩc ở tâm B· OC ; ĐS: B· OC = 120° .
b) Mỗi cung BC (cung lớn và cung nhỏ). ĐS: sđA»B là 120°;240° .
Lời giải
a) Ta cĩ: B· AC + A· CO + A· BO + B· OC = 360° 
(Tổng các gĩc trong một tứ giác)
Do đĩ B· OC = 360° - (B· AC + A· CO + A· BO)
 = 360° - (B· AC + A· CO + A· BO) 
(Vì A· CO = A· BO = 90° )
 = 360° - (60° + 90° ×2) = 120° . Vì B· OC = 120° nên sđB¼C nhỏ là 120° và sđB¼C lớn là 360° - 120° = 240° .
Bài 10. Trên đường trịn (O) , lấy hai điểm A và B sao cho A· OB = 120° . Gọi C là điểm chính giữa 
cung nhỏ AB . Tính số đo cung nhỏ BC và cung lớn BC . ĐS: 300° .
Lời giải
Vì C là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên sđ A»B = sđ A¼C
+sđC»B = 2×sđC»B .
Ta cĩ A· OB = A· OC + C· OB= 2×C· OB
Þ C· OB = A· OB ¸ 2 = 120° ¸ 2 = 60° .
Vậy số đo cung nhỏ BC là 60° và số đo cung lớn BC là 
360° - 60° = 300° .
 --- HẾT ---