Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Bài 6: Hệ thức vi-ét và ứng dụng

 Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 Bài 6. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
 2
 ▪ Xét phương trình bậc hai ax bx c 0(a 0) . Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình thì
 b
 S x x 
 1 2 a
 ▪ .
 c
 P x x 
 1 2 a
2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
 ▪ Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai. Xét phương trình bậc hai ax2 bx c 0,(a 0) .
 c
 ✓ Nếu a b c 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1, nghiệm kia là x .
 1 2 a
 c
 ✓ Nếu a b c 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1, nghiệm kia là x .
 1 2 a
 ▪ Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai 
 số đó là nghiệm của phương trình X 2 Sx P 0 .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
 ì
 ï a ¹ 0
 ▪ Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm í . Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét
 ï D ³ 0
 îï
 - b c
 S = x + x = và P = x x = .
 1 2 a 1 2 a
 ▪ Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng x1 + x2 và 
 x1x2 rồi áp dụng bước 1.
Ví dụ 1. Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không 
giải phương trình hãy điền vào chỗ trống
 2
a) x 4x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
b) 4x 4x 1 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
c) 3x x 3 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
d) x 7x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
Ví dụ 2. Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không 
giải phương trình hãy điền vào chỗ trống
 2
a) x 3x 4 0 , , x1 x2 , x1x2 . Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 2
b) x 6x 9 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
c) 2x x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
d) x 5x 1 0, , x1 x2 , x1x2 . 
Ví dụ 3. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a) x2 3x 5 0 . ĐS: S 3, P 5 .
 7 12
b) 5x2 7x 12 0 . ĐS: S , P .
 5 5
 7 1
c) 4x2 7x 2 0. ĐS: S , P .
 4 2
d) 3x2 21x 12 0 . ĐS: S 7 3, P 4 3 .
Ví dụ 4. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a) x2 2x 5 0 . ĐS: S 2, P 5 .
 3 7
b) 5x2 3x 7 0. ĐS: S , P .
 5 5
 7 3
c) 5x2 7x 3 0 . ĐS: S , P .
 5 5
d) 2x2 10x 2 0 . ĐS: S 5 2, P 2 .
 2
Ví dụ 5. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2x 1 0 . Không giải phương trình hãy 
tính giá trị của các biểu thức sau
 2 2
a) A x1 x2 . ĐS: 6 .
 2 2
b) B x1 x2 x1xx . ĐS: 2 .
 1 1
c) C . ĐS: 2 .
 x1 x2
 x x
d) D 2 1 . ĐS: 6 .
 x1 x2
 2
Ví dụ 6. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x x 3 0 . Không giải phương trình hãy 
tính giá trị của các biểu thức sau
 2 2
a) A x1 x2 . ĐS: 7 . Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 2 2
b) B x1 x2 x1xx . ĐS: 3 .
 1 1 1
c) C . ĐS: .
 x1 x2 3
 x x 7
d) D 2 1 . ĐS: .
 x1 x2 3
Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
 ▪ Sử dụng hệ thức Vi-ét.
Ví dụ 7. Xét tổng a b c hoặc a b c rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a) x2 3x 2 0 . ĐS: 1;2.
 2 10
b) 3x 7x 10 0 . ĐS: 1;  .
 3 
 2 1
c) 3x 4x 1 0 . ĐS: 1;  .
 3
 2 3 3 
d) 3x x 1 3 0. ĐS: 1; .
 3  
Ví dụ 8. Xét tổng a b c hoặc a b c rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a) x2 3x 4 0 . ĐS: 1; 4 .
 2 5
b) 2x 7x 5 0 . ĐS: 1; .
 2
 2 1
c) 6x 5x 1 0. ĐS: 1; .
 6
d) x2 2x 1 2 0 . ĐS: 1; 1 2 .
Ví dụ 9. Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình
a) x2 7x 10 0 . ĐS: 2;5.
b) x2 7x 10 0 . ĐS: 2; 5.
Ví dụ 10. Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình
a) x2 5x 6 0 . ĐS: 2; 3.
b) x2 5x 6 0 . ĐS: 2;3 . Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 11. Cho phương trình x2 mx m 1 0 . Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm 
không phụ thuộc vào m . Tìm nghiệm còn lại. ĐS: 1;m 1.
Ví dụ 12. Cho phương trình x2 mx m 1 0 . Chứng minh phương trình đã cho luôn một 
nghiệm không phụ thuộc vào m . Tìm nghiệm còn lại. ĐS: 1; m 1.
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
 ▪ Để tìm hai số x,y khi biết tổng S = x + y và tích P = xy , ta làm như sau
 2
 ▪ Bước 1: Giải phương trình X - Sx + P = 0 để tìm các nghiệm X 1,X 2 .
 ▪ Bước 2: Suy ra các số x,y cần tìm là (x,y) = (X 1,X 2 ) hoặc (x,y) = (X 2,X 1).
Ví dụ 13. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau
a) u v 5 và uv 14 . ĐS: 2 và 7 .
b) u v 5 và uv 24 . ĐS: 3 và 8 .
Ví dụ 14. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau
a) u v 6 và uv 16 . ĐS: 2 và 8 .
 1 1
b) u v 1 và uv . ĐS: .
 4 2
Ví dụ 15. Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là 2 1 và 2 1. ĐS: x2 2 2x 1 0 .
Ví dụ 16. Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là 5 và 7 . ĐS: x2 2x 35 0 .
 2
Ví dụ 17. Cho phương trình x 3x 1 0 có hai nghiệm là x1 và x2 . Lập phương trình bậc hai có 
 1 1 2 2 2
hai nghiệm là và x1 x2 . ĐS: x 10x 21 0 .
 x1 x2
 2
Ví dụ 18. Cho phương trình x 4x 2 0 có hai nghiệm là x1 và x2 . Lập phương trình bậc hai có 
 1 1
hai nghiệm là và . ĐS: 2x2 4x 1 0 .
 x1 x2
Dạng 4: Phân tích tam giác bậc hai thành nhân tử
 ▪ Xét tam thức bậc hai ax 2 + bx + c,(a ¹ 0) . Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 
 có hai nghiệm x1,x2 thì tam thức được phân tích thành
 2
 ax + bx + c = a(x - x1)(x - x2 ).
Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x2 2x 3 . ĐS: (x 1)(x 3) . Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 2 1 
b) 3x 2x 1. ĐS: 3(x 1) x .
 3 
c) x2 ( 2 1)x 2 . ĐS: (x 1) x 2 .
d) x2 mx m 1. ĐS: (x 1)(x m 1) .
Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x2 3x 4 . ĐS: (x 1)(x 4) .
 2 1 
b) 4x 3x 1. ĐS: 4(x 1) x .
 4 
c) x2 ( 3 1)x 3 . ĐS: (x 1) x 3 .
d) x2 mx m 1. ĐS: (x 1)(x m 1) .
Dạng 5: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai một ẩn ax 2 + bx + c = 0,(a ¹ 0) . Khi đó
 ▪ Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0.
 ì
 ï D > 0
 ▪ Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi í .
 ï P > 0
 îï
 ì
 ï D > 0
 ï
 ▪ Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi í S > 0 .
 ï
 ï P > 0
 îï
 ì
 ï D > 0
 ï
 ▪ Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi í S < 0 .
 ï
 ï P > 0
 îï
Ví dụ 21. Cho phương trình x2 2(m 2)x m 1 0. Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu. ĐS: m 1.
b) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: mọi m .
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. ĐS: m 1.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS: m 1.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt. ĐS: không tồn tại m .
Ví dụ 22. Cho phương trình x2 2mx m 1 0 . Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu. ĐS: m 1. Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
b) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: mọi m .
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. ĐS: m 1.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS: không tồn tại.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt. ĐS: m 1.
Dạng 6: Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức 
cho trước
 ▪ Bước 1: Điều kiện để phương trình có nghiệm D ³ 0 .
 ▪ Bước 2: Từ hệ thức cho trước và hệ thức Vi-ét, ta tìm được điều kiện của tham số.
Ví dụ 23. Cho phương trình x2 4x m 0 . Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai 
 2 2
nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 10 . ĐS: m 3 .
Ví dụ 24. Cho phương trình x2 2x m 1 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có 
 3
hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x2 x x x2 1. ĐS: m .
 1 2 1 2 1 2 2
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Không giải các phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a) x2 5x 7 0 . ĐS: S 5, P 7 .
b) x2 3x 12 0 . ĐS: S 3, P 12 .
c) 2x2 4x 8 0 . ĐS: S 2 2, P 4 2 .
 5 1
d) 6x2 5x 2 . ĐS: S , P .
 6 3
 2
Bài 2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 3x 5 0 . Không giải phương trình hãy tính 
giá trị của các biểu thức
a) A 3(x1 x2 ) x1x2 . ĐS: 4 .
 2 2
b) B x1 x2 . ĐS: 19.
 2
c) C (x1 x2 ) . ĐS: 29 .
 x x 19
d) D 2 1 . ĐS: .
 x1 x2 5
Bài 3. Tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a) x2 5x 6 0. ĐS: 1; 6 . Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
b) 2x2 7x 5 0 . ĐS: 1;5 .
c) x2 ( 5 1)x 2 5 0 . ĐS: 1;2 5.
d) x2 2x 15 0 . ĐS: vô nghiệm.
Bài 4. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau
a) u v 5 và uv 14 . ĐS: 2 và 7 .
b) u v 4 và uv 21. ĐS: 3 và 7 .
Bài 5. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3 1 và 3 1. ĐS: x2 2 3x 2 0 .
 2
Bài 6. Cho phương trình x 5x 2 0 có hai nghiệm là x1 và x2 . Lập phương trình bậc hai có hai 
 1 1
nghiệm là và . ĐS: 2x2 5x 1 0 .
 x1 x2
Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 3x 4 . ĐS: (x 1)(x 4) .
 2 1 
b) 4x 5x 1. ĐS: 4(x 1) x .
 4 
c) x2 ( 2 1)x 2 . ĐS: (x 1) x 2 .
d) x2 (m 1)x m . ĐS: (x 1)(x m) .
Bài 8. Cho phương trình x2 2(m 2)x m 1 0. Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: mọi m .
b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu. ĐS: m 1.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. ĐS: m 1.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt. ĐS: m 1.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt. ĐS: không tồn tại m .
Bài 9. Cho phương trình x2 2(m 1)x m 2 0. Tìm m để phương trình
a) Có nghiệm. ĐS: mọi m .
b) Có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại. ĐS: m 2 , x2 0 .
 5
c) Có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x2 x2 8. ĐS: m 0 hoặc m .
 1 2 1 2 2 Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Ví dụ 1.Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không 
giải phương trình hãy điền vào chỗ trống
 2
a) x 4x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
b) 4x 4x 1 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
c) 3x x 3 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
d) x 7x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 Lời giải.
 2 2
a) x 4x 5 0, (2) ( 5) 9 , x1 x2 4 , x1x2 5. 
 1
b) 4x2 4x 1 0, 0 , x x 1, x x . 
 1 2 1 2 4
 1
c) 3x2 x 3 0, 37 , x x , x x 1. 
 1 2 3 1 2
 2
d) x 7x 5 0, 29 , x1 x2 7 , x1x2 5. 
Ví dụ 2.Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không 
giải phương trình hãy điền vào chỗ trống
 2
a) x 3x 4 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
b) x 6x 9 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
c) 2x x 5 0 , , x1 x2 , x1x2 . 
 2
d) x 5x 1 0, , x1 x2 , x1x2 . 
 Lời giải.
 2
a) x 3x 4 0, 25, x1 x2 3 , x1x2 4 . 
 2
b) x 6x 9 0, 0 , x1 x2 6 , x1x2 9 . 
 1 5
c) 2x2 x 5 0, 11, x x , x x . 
 1 2 2 1 2 2
 2
d) x 5x 1 0, 29, x1 x2 5 , x1x2 1. 
Ví dụ 3. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
a) x2 3x 5 0 . b) 5x2 7x 12 0 .
c) 4x2 7x 2 0. d) 3x2 21x 12 0 .
 Lời giải.
Tất cả các phương trình trình đã cho đều có tích ac 0 nên luôn có nghiệm.
 2
a) x 3x 5 0 . x1 x2 3 , x1x2 5.
 7 12
b) 5x2 7x 12 0 . x x , x x .
 1 2 5 1 2 5
 7 1
c) 4x2 7x 2 0. x x , x x .
 1 2 4 1 2 2
 2
d) 3x 21x 12 0 . x1 x2 7 3 , x1x2 4 3 .
Ví dụ 4. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a) x2 2x 5 0 . b) 5x2 3x 7 0.
c) 5x2 7x 3 0 . d) 2x2 10x 2 0 .
 2
Ví dụ 5. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2x 1 0 . Không giải phương trình hãy 
tính giá trị của các biểu thức sau
 2 2 2 2
a) A x1 x2 . b) B x1 x2 x1xx .
 1 1 x x
c) C . d) D 2 1 .
 x1 x2 x1 x2
 Lời giải.
Phương trình có tích ac 1( 1) 1 0 nên có nghiệm phân biệt x1 , x2 và x1 , x2 0 .Theo định lý 
Vi-ét, ta có x1 x2 2 và x1x2 1.
 2 2 2 2
a) A x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2 2( 1) 6 .
 2 2
b) B x1 x2 x1xx x1x2 (x1 x2 ) ( 1)2 2 .
 1 1 x x 2
c) C 1 2 2 .
 x1 x2 x1x2 1
 x x x2 x 22 6
d) D 2 1 1 6 .
 x1 x2 x1x2 1 Toaùn 9 Taøi lieäu daïy hoïc
 2
Ví dụ 6. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x x 3 0 . Không giải phương trình hãy 
tính giá trị của các biểu thức sau
 2 2 2 2
a) A x1 x2 . b) B x1 x2 x1xx .
 1 1 x x
c) C . d) D 2 1 .
 x1 x2 x1 x2
 Lời giải.
Phương trình có tích ac 1( 1) 1 0 nên có nghiệm phân biệt x1 , x2 và x1 , x2 0 .Theo định lý 
Vi-ét, ta có x1 x2 1 và x1x2 3.
 2 2 2 2
a) A x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 1 2( 3) 7 .
 2 2
b) B x1 x2 x1xx x1x2 (x1 x2 ) 31 3 .
 1 1 x x 1 1
c) C 1 2 .
 x1 x2 x1x2 3 3
 x x x2 x2 7 7
d) D 2 1 1 2 .
 x1 x2 x1x2 3 3
Ví dụ 7. Xét tổng a b c hoặc a b c rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a) x2 3x 2 0 . b) 3x2 7x 10 0 .
c) 3x2 4x 1 0 . d) 3x2 x 1 3 0.
 Lời giải.
 c
a) x2 3x 2 0 . a b c 1 ( 3) 2 0 nên phương trình có nghiệm x 1, x 2 .
 1 2 a
 10
b) 3x2 7x 10 0 . a b c 3 7 ( 10) 0 nên phương trình có nghiệm x 1, x .
 1 2 3
 1
c) 3x2 4x 1 0 . a b c 3 4 1 0 nên phương trình có nghiệm x 1, x .
 1 2 3
 2
d) 3x x 1 3 0. a b c 3 ( 1) 1 3 0 nên phương trình có nghiệm x1 1,
 3 3
 x .
 2 3
Ví dụ 8. Xét tổng a b c hoặc a b c rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a) x2 3x 4 0 . b) 2x2 7x 5 0 .