Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1, Dạng 5: Rút gọn biểu thức và tìm GTLN, GTNN (Có lời giải)

DẠNG 5: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Xét bài toán: Cho biểu thức 
a) Rút gọn 
b) Tìm GTNN, GTLN của hoặc một biểu thức có liên quan đến 
Ví dụ: Tìm Min (max) của 
2. Giải bài toán
- Tìm Tập xác định
- Rút gọn 
- Chỉ ra được số sao cho (hoặc ).
Chi ra sao cho 
3. Chú ý: Với số thực thì
- 
- (bất đẳng thức ). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
- , với các số thực 
- , với 
B. Bài tập
Bài 1: Chuyên Lê Hồng Phong, năm 2018
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Với mọi giá trị của để biểu thức có nghĩa. Chứng minh rằng 
Lời giải
a) Điều kiện: 
Ta có 
b) Với 
Ta có 
Dấu “=” xảy ra 
Do nên (đpcm).
Bài 2: Chuyên Hưng Yên, năm 2017
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm GTNN của biểu thức 
Lời giải
a) 
b) 
Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn)
Bài 3: Học sinh giỏi huyện Cầu Giấy, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện của để có nghĩa và rút gọn 
b) Tìm GTNN của biểu thức 
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
b) Ta có 
 đạt GTNN thì đạt GTLN đạt GTNN
Lại có 
 Giá trị nhỏ nhất của 
 Giá trị nhỏ nhất của 
Vậy với thì có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
Bài 4: Học sinh giỏi huyện Quan Sơn, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức 
a) Rút gọn . Với giá trị nào của thì 
b) Tìm x nguyên biết đạt giá trị nguyên lớn nhất
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có 
P có giá trị lớn nhất khi có giá trị lớn nhất là số nguyên dương nhỏ nhất
Bài 5: Học sinh giỏi huyện Cẩm Thủy Thanh Hóa Vòng 2, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức 
a) Rút gọn 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có: 
b) Có 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy .
Bài 6: Học sinh giỏi huyện Đan Phượng, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức 
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
b) Ta có 
Vậy 
Bài 7: Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn, 23/03/2019
Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có 
Vì nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Đẳng thức xảy ra (thỏa mãn)
Vậy khi .
Bài 8: Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình, 23/03/2019
Cho biểu thức , với 
Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A
Lời giải
Ta có 
Ta có 
Và 
. Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi 
Bài 9: Đại học Ngoaị Ngữ hà nội, năm học 2010
Cho biểu thức và 
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì đạt GTNN
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
b) 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy 
Bài 10: Chuyên Hưng Yên, năm học 2018-2019
Cho các biểu thức và với 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
a) Ta có 
b) 
Vậy 
Bài 11: Chuyên Thái Bình, năm học 2018-2019
Cho các biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của sao cho 
c) Với tìm GTNN của 
Lời giải
a) Ta có 
b) (thỏa mãn)
c) (do và áp dụng Côsi)
Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 21 khi 
Bài 12: Chuyên Toán Hà Nam, năm học 2019-2020
Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
a) Ta có 
b) 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số ta có 
Do đó , đẳng thức xảy ra khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8, đạt được khi .
Bài 13: Chuyên Phú Yên, năm học 2019-2020
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm để đạt giá trị lớn nhất
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
Do đó 
b) Ta có , dấu “=” xảy ra khi 
Vậy 
Bài 14: Chuyên Quảng Ngãi, năm học 2019-2020
Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm giá trị lớn nhất của 
Lời giải
a) Ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 
Dấu “=” xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện)
Bài 15: Chuyên Quảng Ninh, năm học 2019-2020
Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm giá trị lớn nhất của 
Lời giải
a) Ta có 
b) Với ta có nên 
Do đó .
Bài 16: Chuyên Thái Bình vòng 1, năm học 2019-2020
Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Biết Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
a) Ta có 
, với 
b) Áp dụng bất đẳng thức Cachy, ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy tại 
Bài 17: Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2013 - 2014
Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Cho . Tìm giá trị lớn nhất của 
Lời giải
a) Ta có 
Theo bất đẳng thức Côsi ta có 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy 
Bài 18: SPHN, năm 2015
Cho , với 
a) Chứng minh rằng 
b) Giả sử thay đổi thỏa mãn . Tìm của 
Lời giải
a) Ta có 
Vậy 
b) Ta có: 
. Vậy 
Dấu ‘=” xảy ra 
Bài 19: HSG Tỉnh Hà Nam, năm 2020 - 2021
Cho , với 
a) Rút gọn 
b) Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
a) Với ta có:
Vậy với thì 
b) Ta có 
Dấu xảy ra 
Vậy 
Bài 20: HSG Quận Nam Từ Liêm, năm 2020 - 2021
Cho , với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
1. a) Rút gọn biểu thức 
 với
Vậy với
b) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Với ta có: . 
Áp dụng bất đẳng thức Cô- Si ta có: 
Mặt khác: 
Hay 
Do đó: . Dấu xảy ra.
Vậy tại .
Bài 21: HSG Huyện Chương Mỹ, năm 2020 - 2021
Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của biểu thức khi 
c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
1) Rút gọn biểu thức P
Vậy với v à t hì 
2) Tính giá trị của biểu thức P khi 
Ta có: 
 (tmđk và ) 
Thay v ào biểu thức P, ta có: 
Vậy khi thì 
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên
Ta có: 	
 nguyên nguyên 
Bảng tìm 
 
 -1
1
-5
5
 
 1
3
-3
7
 
 1
9
 
 49
Nhận định
Tmđk
Tmđk

Tmđk
Với thì có giá trị nguyên
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của . 
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi (tmđk)
Vậy GTNN của: khi .
Bài 22: HSG Huyện Ứng Hòa, năm 2020 - 2021
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 
c) Tính giá trị của khi cho 
Lời giải
1) Rút gọn
.
2) 
Theo BĐT Cauchy ta có .
Nên 
Suy ra dấu "=" xảy ra khi .
3) Từ 
Ta có 
( Do )
Thay ( Thỏa ĐKXĐ ), ta tính được .
Bài 23: HSG Huyện Vĩnh Lộc, năm 2019 - 2020
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị của sao cho 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết rằng 
Lời giải
a) Điều kiện xác định: . Khi đó:
b) Để 
TH1: Khi 
TH2: Khi 
Đối chiếu với điều kiện xác định ban đầu ta được giá trị cần tìm của x là: hoặc 
c) Ta có: B xác định khi 
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số và , ta được
Dấu “=” xảy ra khi: (t/m)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là: khi .