Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Hệ phương trình (Có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Dạng 1: Hệ bậc nhất hai ẩn
A. Kiến thức cần nhớ
Bài toán: Giải hệ phương trình 
Trong đó là các biểu thức chứa và 
a) Phương pháp thế:
+ Đặt điều kiện (nếu có)
+ Biểu diễn một ẩn số theo ẩn số còn lại từ 1 phương trình
+ Thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình 1 ẩn số
+ Giải phương trình 1 ẩn số này ta tìm được nghiệm 
+ So sánh với điều kiện của bài toán rồi kết luận.
b) Phương pháp cộng đại số
+ Đặt điều kiện
+ Nhân hoặc chia các phương trình với hệ số thích hợp
+ Cộng đại số các phương trình trên, giải phương trình này
+ Tìm được nghiệm
+ So sánh với điều kiện rồi kết luận.
Bài 1:
Xác định các hệ số của hàm số để:
a. Đồ thị của nó đi qua hai điểm .
b. Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
Lời giải:
a. Thay tọa độ các điểm vào phương trình của đường thẳng ta được:
Vậy 
b. Tương tự phần (1) ta có hệ: 
Vậy .
Bài 2:
Giải các hệ phương trình sau:
a. 	b. 	c. 
Lời giải:
a. Đặt . Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:
Từ đó suy ra: .
b. Đặt . Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:
Từ đó suy ra: .
c. Điều kiện . Đặt ta có hệ phương trình mới
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Bài 3:
Giải các hệ phương trình sau: 
a. 	b. 	c. 
Lời giải:
a. Điều kiện: . Ta viết lại hệ phương trình thành:
Từ thay vào ta tìm được . Vậy hệ phương trình có nghiệm là 
.
b. Điều kiện . Ta nhân phương trình thứ nhất của hệ với 2 thì thu được:
, cộng hai phương trình của hệ mới ta có: . Với thay vào phương trình ban đầu của hệ ta có:
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: 
c. Điều kiện , ta viết lại hệ thành: 
Cộng 2 phương trình của hệ ta thu được: thay 
Vào ta tìm được: thỏa mãn điều kiện. Vậy hệ có nghiệm .
Bài 4:
Giải các hệ phương trình sau: 
a. 	 b. 	 c. 
Lời giải:
a. Điều kiện . Ta viết lại hệ phương trình thành:
, cộng 2 phương trình của hệ thu được:
Suy ra thay vào phương trình thứ 2 ta tìm được: . 
Vậy hệ có nghiệm là .
b. Điều kiện: , ta viết hệ lại dạng: 
Suy ra thỏa mãn điều kiện. 
Vậy hệ có nghiệm .
c. Đặt (với ). Hệ đã cho trở thành 
Phương trình (2) có dạng 
+ Với thay vào PT (1) tìm được . Ta có hệ phương trình nên là nghiệm của phương trình, tức là .
+ Với thay vào PT (1) tìm được . Ta có hệ phương trình 
nên là nghiệm của phương trình , tức là . 
Từ đó suy ra hệ đã cho có tất cả bốn nghiệm.
Bài 5:
Giải các hệ phương trình sau: 
a. 	 b. 
Lời giải:
a. Điều kiện: . Ta biến đổi hệ phương trình đã cho thành:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là .
b. Điều kiện: , hệ phương trình được viết lại thành:
 (TMĐK)
Vậy hệ có nghiệm là .
Bài 6:
Cho hệ phương trình: 
a. Giải hệ phương trình với .
b. Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất trong đó trái dấu.
c. Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn .
Lời giải:
a. Với ta có hệ phương trình: 
b. Từ phương trình (1) ta có . Thay vào phương trình (2) ta được:
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với:
. Từ đó ta được: .
Ta có: . Do đó (thỏa mãn điều kiện).
c. Ta có: 
Từ (4) suy ra . Với điều kiện ta có:
. Vậy .
Bài 7: Chuyên Toán Quảng Nam, năm học 2012
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
+ Nếu không thỏa mãn phương trình (2) (loại)
+ Nếu 
Thay vào phương trình (1) ta được: 
+) TH1: 
+) TH2: nên phương trình vô nghiệm. 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 
Bài 8: Chuyên Toán Bắc Ninh, năm học 2011
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Ta có hệ phương trình 
Giải phương trình (2): 
+) TH1: 
+) TH2: 
Vậy HPT có hai nghiệm 
Bài 9: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
HPT 
Thế (4) vào (3) ta được 
+) TH1: vô lý
+) TH2: 
Vậy PHT có nghiệm 
Bài 10: Chuyên KHTN, năm học 2018
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Ta có HPT 
Thế (4) vào (3) ta được: 
+) TH1: 
+) TH2: 
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm 
Bài 11: Thế ẩn
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện: 
Từ 
Thay vào (3) ta được: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Bài 12: HSG TPHN
Giải hệ phương trình sau (thế hệ số)
Lời giải
Thế vào phương trình (2) ta có: 
 (*)
+) Xét (không thỏa mãn)
+) Xét , chia cả 2 vế của phương trình (*) cho ta được:
Đặt 
Với thay vào phương trình (1) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
Bài 13: HSG TPHCM, năm học 2015
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện: 
(Điều kiện chặt )
Thế (1) vào (2) ta được: 
Điều kiện: 
Ta có 
 (thỏa mãn).
Bài 14: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Ta có: 
+) Với thay vào (1) 
+) Với thay vào (1) 
Vậy HPT có nghiệm .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Cho hệ phương trình: 
a. Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
b. Giải và biện luận hệ phương trình trên theo .
c. Tìm số nguyên sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà đều là số nguyên.
d. Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất thì điểm luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
e. Tìm để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
a. Từ phương trình (2) ta có . Thay vào phương trình (1) ta được:
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là 
.
Ta cũng có thể lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
.
b. Từ phương trình (2) ta có . Thay vào phương trình (1) ta được:
Trường hợp 1: . Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
Trường hợp 2: . Khi đó phương trình (3) thành: . Vậy hệ có vô số nghiệm dạng .
Trường hợp 3: khi đó phương trình (3) thành: (3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm.
c. Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi .
Ta có: . Vậy nguyên khi và chỉ khi nguyên. Do đó chỉ có thể là . Vậy (thỏa mãn) hoặc (loại).
Vậy nhận các giá trị là .
d. Khi hệ có nghiệm duy nhất ta có: 
Vậy điểm luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình .
e. Khi hệ có nghiệm duy nhất theo (d) ta có: . Do đó:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: .
Vậy với thì đạt giá trị nhỏ nhất.
Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ theo cách khác: Khi hệ phương trình 
 có nghiệm duy nhất lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1) của hệ ta thu được: .
Bài 2:
Cho hệ phương trình: . Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm. Gọi là một cặp nghiệm của phương trình.
Chứng minh: .
Lời giải:
Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có thay vào phương trình (1) của hệ ta có: . Do với mọi m nên phương trình này luôn có nghiệm duy nhất . Suy ra hệ luôn có nghiệm với mọi .
Gọi là một nghiệm của hệ: Từ hệ phương trình ta có: . Nhân cả hai vế phương trình thứ nhất với, phương trình thứ hai với rồi trừ hai phương trình cho nhau ta được: .
Ngoài ra ta cũng có thể giải theo cách khác như sau:
. Ta dễ dàng chứng minh được đường thẳng luôn đi qua điểm cố định: và đường thẳng luôn đi qua điểm cố định: . Mặt khác ta cũng dễ chứng minh đường thẳng và đường thẳng vuông góc với nhau nên hai đường thẳng này luôn cắt nhau. Gọi là giao điểm của hai đường thẳng thì tam giác vuông tại . Gọi là trung điểm của thì suy ra:
Bài 3:
Cho hệ phương trình: 
Hệ có nghiệm duy nhất , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây:
a. 
b. 
Lời giải:
Từ phương trình (2) ta suy ra: . Thay vào phương trình (1) ta được:
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, điều đó xảy ra khi và chỉ khi: .
Khi đó 
a. Ta có: 
 khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 3.
b. Ta có: 
Đặt 
Khi đó 
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2. 
Bài 4:
Cho hệ phương trình: . 
Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất và tìm GTLN của biểu thức (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán – ĐHSP Hà Nội 2015).
Lời giải:
Xét hai đường thẳng 
+ Nếu thì và suy ra luôn vuông góc với .
+ Nếu thì và suy ra luôn vuông góc với .
+ Nếu thì đường thẳng lần lượt có hệ số góc là: suy ra do đó .
Tóm lại với mọi m thì hai đường thẳng luôn vuông góc với . Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.
Xét hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất. Gọi giao điểm là đường thẳng đi qua cố định, đường thẳng luôn đi qua cố định suy ra thuộc đường tròn đường kính . Gọi là trung điểm thì .
Hay . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Bài 5: Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Trà Vinh, năm 2009 – 2010
Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có: thế vào phương trình (2) ta được:
Trường hợp 1. Xét 
Phương trình (thỏa mãn)
Từ (1), suy ra: 
Trường hợp 2. Xét 
Phương trình 
Từ (1), suy ra: 
Trường hợp 3. Xét 
Phương trình (thỏa mãn)
Từ (1) suy ra 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
Bài 6: Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, Đại học Vinh, năm học 2015 – 2016
Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
Ta có: 
Trường hợp 1. Xét 
Trường hợp 2. Xét 
Từ phương trình (1) ta có thế vào phương trình (2), ta được: 
Với 
Với 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là:
Dạng 2: Hệ đối xứng loại 1
A. Kiến thức
*) Định nghĩa: Hệ đối xứng loại 1 là hệ khi đổi chỗ và cho nhau thì mỗi phương trình vẫn không thay đổi
Xét bài toán: Giải HPT 
Hệ đối xứng loại 1 là hệ thỏa mãn 
Ví dụ: 
Cách giải:
+ Đặt điều kiện (nếu có)
+ Đặt , ta biến đổi hệ phương trình về HPT ẩn và 
+ Giải HPT ẩn và , từ đó tìm được và 
+ Tìm và theo Viét đảo và kết luận.
*) Lưu ý:
+ Thực hiện 1 số phép biến đổi
+ 
+ Đặt ẩn phụ.
Bài 1: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Đặt 
Thay vào hệ phương trình ta được: 
Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
Bài 2: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Ta có HPT 
Đặt ta được: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
Bài 3: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Ta có HPT 
Đặt 
+) TH1: 
Vậy tập nghiệm là 
+) TH2: Tương tự trường hợp 1.
 Bài 4: Chuyên PBC Nghệ An, năm học 2011
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
HPT 
Đặt 
Từ phương trình (2) ta có: 
Đặt 
+) 
+) 
Vậy HPT có nghiệm 
 Bài 5: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Đặt 
Đặt 
HPT 
Vậy HPT có nghiệm duy nhất 
Cách khác: Có thể đặt 
 Bài 6: Chuyên Hưng Yên, năm học 2018
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
HPT 
Đặt 
HPT 
+) 
+) 
Vậy HPT có hai nghiệm 
 Bài 7: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Đặt 
Phương trình 
 (T/M).
 Bài 8: Chuyên Bình Phước, năm học 2018
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Ta có 
Đặt 
+) TH1: 
- 
- (vô nghiệm)
+) TH2: 
- 
- 
Vậy HPT có 6 nghiệm.
*) Ứng dụng của HPT đối xứng loại 1
Đặt ẩn phụ đưa phương trình về HPT đối xứng loại 1
Phương trình dạng: 
Cách giải: Đặt 
Ta có HPT 
 Bài 1: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Đặt 
Ta có HPT 
Vậy là nghiệm của phương trình.
 Bài 2: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có HPT 
Đặt 
Vậy HPT có nghiệm 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Giải các hệ phương trình sau
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải:
a)	Đặt điều kiện 
Hệ phương trình đã cho trở thành: 
Suy ra là hai nghiệm của phương trình: 
b)	Đặt điều kiện hệ phương trình đã cho trở thành:
 . 
Suy ra là hai nghiệm của phương trình: 
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm 
c)	Đặt hệ đã cho trở thành: . 
Đặt điều kiện thì hệ đã cho trở thành. 
. 
Suy ra là 2 nghiệm của phương trình: 
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm 
d)	Điều kiện: . Đặt điều kiện 
Hệ phương trình đã cho trở thành: 
. 
Vậy hệ đã cho có nghiệm .
Bài 2:
Giải các hệ phương trình sau
a) 	b) 
c) 	d)
Lời giải
a) Đặt điều kiện . 
Hệ phương trình trở thành: . 
Ta viết lại hệ phương trình thành: 
Đặt điều kiện thì hệ đã cho trở thành. 
Ngoài ra ta cũng có thể giải ngắn gọn hơn như sau: 
Vậy hệ có một cặp nghiệm duy nhất 
b) Điều kiện: .
Biến đổi phương trình (1):
Đặt ta có phương trình: 
. 
Vì suy ra . Do đó 
Với thay vào (2) ta được: 
Xét(không thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ đã cho có nghiệm .
c) Điều kiện: .
Hệ đã cho tương đương: . 
Đặt 
Hệ trở thành: . . 
Vậy hệ đã cho có nghiệm: .
d) Hệ tương đương với : .
Đặt . Ta thu được hệ:
.
TH1: 
TH2: .
Vậy hệ có nghiệm: .
Dạng 3: Hệ đối xứng loại 2
A. Kiến thức
*) Định nghĩa: Hệ đối xứng loại 2 là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình trên trở thành phương trình dưới và phương trình dưới trở thành phương trình trên
Bài toán: Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 
Ví dụ: 
Giải bài toán: 
+ Tìm điều kiện (Đối với biểu thức chứa căn, chứa phân thức,.....)
+ Lấy phương trình (1) trừ theo vế cho phương trình (2), khi đó ta sẽ được kết quả:
+ Xét các trường hợp:
- Nếu thay vào phương trình (1) hoặc phương trình (2)
+ Nếu . Kết hợp với (1) và (2) ta tìm được điều kiện
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
B. Bài tập áp dụng
 Bài 1: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Trừ vế tương ứng của 2 phương trình trên, ta có: 
+) TH1: 
+) TH2: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm hoặc 
 Bài 2: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện: 
Trừ từng vế hai phương trình cho nhau ta được: 
+) Nếu (không thỏa mãn)
+) Nếu (thỏa mãn)
Với , liên hợp ta có: 
+) TH1: Với , thay vào phương trình (*) ta được:
Vì , mà 
Thử lại ta thấy thỏa mãn
+) TH2: Ta có phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy 
 Bài 3: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Trừ từng vế hai phương trình ta được: 
+) TH1: 
+) TH2: 
Có 
Tương tự ta có và 
Tương tự ta có 
Vậy vô nghiệm.
Vậy 
 Bài 4: Chuyên Bình Phước, năm học 2018
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Lấy (1) – (2) theo từng vế ta được: 
+ Nếu 
+ Nếu 
Vậy HPT có 4 nghiệm.
 Bài 5: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Lấy (1) – (2) ta được: 
Nhận thấy 
Từ đó , thay vào (1) ta được 
Vậy HPT có nghiệm 
 Bài 6: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Từ (1) thỏa mãn phương trình (2)
Vậy 
Cách 2: Đặt 
Ta được 
Cách 3: Đặt 
Ta được 
Lấy 
*) Ứng dụng của hệ đối xứng loại 2
1. Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại 2
Xét phương trình dạng: 
Cách giải: Đặt ta có hệ phương trình 
 Bài 1: 
Giải phương trình sau:
1) 
2) 
Lời giải
1) Đặt 
Từ giải thiết 
Có 
Từ (1) và (2) ta có HPT 
Lấy (3) – (4) ta được: 
Thay vàp phương trình (1) ta được 
2) Ta phải đưa được về dạng: 
Điều kiện: 
Ta có phương trình 
Thay vào (1) ta được: 
Trừ (2) cho (3) ta được: 
Xét 2 trường hợp và thử lại ta được nghiệm của phương trình.
2. Hệ gần đối xứng (trong hệ phương trình có 1 phương trình đối xứng, phương trình còn lại không đối xứng)
 Bài 2: 
Giải hệ phương trình sau: 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
+) Thay (3) vào (2) ta được: 
+) Từ thay vào (2): 
 (vô nghiệm).
 Bài 3: 
Giải các hệ phương trình sau:
a) 	b) 
c) 
Lời giải:
a)	Điều kiện: . Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được: 
Vì 
nên phương trình đã cho tương đương với: . 
Hay 
Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: 
b)	Hệ đã cho 
Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:
+ 	Nếu thay vào hệ ta có: 
+ 	Nếu . 
Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:
. Đặt 
Ta có: 
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: 
c) Điều kiện: 
Để ý rằng không phải là nghiệm.
Ta xét trường hợp 
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được: 
Khi xét phương trình: 
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: