Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 4: Phương pháp chứng minh Hình học (Có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Bài 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
A. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
Giả sử chứng minh 3 điểm thẳng hàng
1. Chứng minh 3 điểm cùng thuộc một đường thẳng 
2. Chứng minh đường thẳng đi qua 
3. Diện tích (đvdt)
4. Sử dụng các tính chất cách đều (2 đường thẳng cắt nhau, song song)
5. Dùng phương pháp phản chứng
1. Chứng minh hai góc kề nhau có tổng bằng 
2. Sử dụng tiên đề Ơclit về đường thẳng song song: 
Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
3. Sử dụng vuông góc, song song: 
+ và 
+ và 
4. Sử dụng hai tia trùng nhau
5. Sử dụng điểm (hình) duy nhất (trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trực tâm tam giác)
6. Thêm điểm: Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba điểm thẳng hàng.
B. Bài tập
Bài 1: Chứng minh hai góc kề nhau có tổng bằng 
Cho tam giác nhọn. Đường tròn đường kính cắt cạnh lần lượt tại và . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và , là điểm đối xứng của qua đường thẳng . Chứng minh điểm thẳng hàng.
Lời giải
Ta có đối xứng với qua 
Tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng )
Chứng minh tương tự ta có 
Mà 
Vậy 

Bài 2: Sử dụng tiên đề Ơclit
Cho tam giác có là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . cắt đường tròn ở . Gọi lần lượt là điểm chính giữa các cung (không chứa , (không chứa , là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh thẳng hàng
Lời giải
Ta có 
 cân tại 
Vì là điểm chính giữa cung nên là phân giác của 
Từ (1)(2) là trung trực của 
Mà 
Chứng minh tương tự ta có 
Từ (3)(4) suy ra thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)

Bài 3: Sử dụng vuông góc
Cho hình vuông là điểm trên cạnh . Vẽ vuông góc với tại , cắt ở . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng ba điểm , , thẳng hàng.


Lời giải
Tam giác có hai đường cao và cắt nhau tại 
 là trực tâm của 
Vì là hình vuông 
Tứ giác nội tiếp 
 là nội tiếp 
Từ (1)(2) thẳng hàng.

Bài 4: Sử dụng hai tia trùng nhau
Cho hình thang cân . Điểm bất kì trên . Vẽ đường tròn tiếp xúc với tại và đi qua , đường tròn tâm tiếp xúc với tại và đi qua , . Chứng minh rằng ba điểm , , thẳng hàng.

Lời giải
Ta có 
Vì là hình thang cân nội tiếp
Mà là hình thang cân 
Từ (1)(2)(3) trùng tia .

Bài 5: Sử dụng điểm (hình) duy nhất
Cho tam giác vuông tại , là đường cao. Vẽ hai đường tròn , có đường kính lần lượt là , . Vẽ là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn , (, ), và nằm trên nửa mặt phẳng bờ không chứa . Gọi là trung điểm đoạn thẳng . Chứng minh , , thẳng hàng.

Lời giải
Kéo dài cắt tại 
Chứng minh 
Vì là tiếp tuyến chung của và 
Theo tính chất tiếp tuyến là trung điểm của 
Bài 6: Thêm điểm
Cho tam giác , là đường cao, là trực tâm. Vẽ tại và tại , tại . Chứng minh rằng điểm thẳng hàng.

Lời giải
Hạ 
Tứ giác nội tiếp 
Mà (phụ ), (đồng vị)
Tứ giác nội tiếp 
Vậy thẳng hàng
Chứng minh tương tự ta có thẳng hàng
Vậy thẳng hàng.

Bài 7:
Đường thẳng Simson
Cho tam giác nội tiếp đường tròn và là điểm bất kì trên . Gọi , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các đường thẳng . Chứng minh thẳng hàng. Đường thẳng đi qua có tên là đường thẳng Simson ứng với điểm của tam giác 
Lời giải
Xét trường hợp tam giác nhọn và (các trường hợp khác chứng minh tương tự)
Khi đó thuộc tia đối của tia , và ương ứng nằm trên cạnh , 
Vì các tứ giác và nội tiếp 
Do đó thẳng hàng (đpcm)

Bài 8:
Cho tam giác và một điểm . Gọi , , tương ứng là hình chiếu vuông góc của trên các đường thẳng . Biết rằng ba điểm thẳng hàng. Chứng minh rằng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác .


Lời giải
Không mất tính tổng quát, ta xét trường hợp điểm nằm trong góc 
Các tứ giác là tứ giác nội tiếp nên 
Ta lại có 
Tứ giác nội tiếp nên 
Do đó tứ giác nội tiếp
Suy ra nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Bài 9:
Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . Gọi là giao điểm của ; là giao điểm của . Các tiếp tuyến với tại , cắt nhau tại . Chứng minh thẳng hàng


Lời giải
Gọi là giao điểmcủa đường tròn qua và đường tròn qua 
Ta có 
Mặt khác 
Suy ra 
 nội tiếp 
Ta lại có hai tia trùng nhau 
 thẳng hàng 
Tương tự ta có là hai tia trùng nhau thẳng hàng
Vậy thẳng hàng.

Bài 10:
Cho tam giác . Đường tròn đường kính cắt lần lượt tại và . Gọi là giao điểm của và . Đường thẳng qua và vuông góc với cắt đường thẳng vuông góc với tại ở . Gọi là trung điểm của . Chứng minh thẳng hàng.
Lời giải
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 vuông tại , là đường trung tuyến cân tại 
 cân tại 
 có là hai đường cao cắt nhau tại 
 là trực tâm 
Do đó 
 đi qua trung điểm của 
 là đường trung trực của 
Xét và có cạnh chung
Do đó 
Ta có thẳng hàng.

Bài 11:
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn , các đường cao và cắt nhau tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ở ( khác . Vẽ đường kính của đường tròn . Chứng minh thẳng hàng.


Lời giải
Gọi là giao điểm của và 
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 là trung điểm của 
Ta có 
Tương tự ta có là hình bình hành
Suy ra là trung điểm của 
 có lần lượt là trung điểm của và 
Suy ra là đường trung bình của 
Ta có là hình bình hành 
Mà hai đường tròn và cắt nhau ở là đường trung trực của 
Ta có 
Mà ; thẳng hàng.

Bài 12:
Cho đường tròn nội tiếp tam giác . lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn với các cạnh . Đường thẳng qua song song với cắt tại . Gọi là trung điểm của . Chứng minh thẳng hàng.
Lời giải
Qua vẽ đường thẳng song song với cắt , lần lượt tại , 
Ta có 
Suy ra cân tại 
Tương tự ta có 
Mà 
 có 
Xét và có 
 là hai tia trùng nhau
Vậy thẳng hàng.

Bài 13:
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (), là trực tâm tam giác . Đường tròn đường kính cắt đường tròn ở ( khác . Gọi là trung điểm của cạnh . Chứng minh rằng thẳng hàng.


Lời giải
Vẽ đường kính của đường tròn 
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó thẳng hàng 
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
Mà ( là trực tâm của tam giác )
Do đó 
Do vậy tứ giác là hình bình hành
Mà là trung điểm của nên là trung điểm của 
 thẳng hàng 
Từ (1)(2) ta có thẳng hàng
Vậy thẳng hàng.

Bài 14:
Đường thẳng Stainơ. Áp dụng đường thẳng Simson
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . là một điểm bất kì trên . là trực tâm của tam giác . Chứng minh rằng và các điểm đối xứng của qua thẳng hàng
Lời giải
Cách 1: Xét điểm thuộc cung nhỏ 
Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng 
Gọi là các điểm đối xứng của qua 
Kéo dài cắt tại 
Ta có là tứ giác nội tiếp 
Chứng minh tương tự ta có 
Từ (1)(2) suy ra thẳng hàng
Tương tự ta có thẳng hàng
Cách 2: Gọi cắt đường tròn tại điểm , 
Khi đó dễ dàng chứng minh được đối xứng với qua và 
Từ đó, ta có các tứ giác là các hình thang cân
Suy ra
Do đó 
Vậy ba điểm thẳng hàng 
Mà thẳng hàng (đường thẳng simson)
Từ đó suy ra thẳng hàng 
Từ (1)(2) suy ra thẳng hàng.
*) Nhận xét: Đường thẳng này có tên là đường thẳng Steniner

Bài 15:
Cho tam giác nội tiếp đường tròn , là điểm thuộc cung không chứa đỉnh . Gọi là hình chiếu của lần lượt trên các cạnh . Chứng minh rằng 
Lời giải
Hướng dẫn: Hình vẽ có dạng đường thẳng Simson, do đó ba điểm thẳng hàng. Do yêu cùa của kết luận, nên ta cần tìm cặp tam giác đồng dạng để suy ra được 
Từ các góc cua các tứ giác nội tiếp, ta tìm được hướng chứng minh
Lời giải:
Theo bài toán Simson thì thẳng hàng, các tứ giác , nội tiếp nên 
; 
Do đó 
Mặt khác đpcm.

Bài 16:
Cho là một tứ giác nội tiếp. Gọi và tương ứng là chân đường vuông góc hạ từ xuống các đường thẳng . Chứng minh rằng khi và chỉ khi các đường phân giác của các góc và cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng 


Lời giải
Từ đề bài ta có thuộc một đường thẳng (đường thẳng Simson)
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho 
Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có thuộc khi và chỉ khi
Mặt khác (cùng bù với ) 
nên 
Mà tứ giác nội tiếp 
nên 
Dễ thấy 
Từ (4)(5) suy ra 
*) Nhận xét: Ngoài ra chúng ta có thể giải trực tiếp như sau:
Ta có thẳng hàng
Từ các tứ giác nội tiếp 
Tương tự ta có 
Do đó 
Điều đó tương đương với chân đường phân giác của các góc và cắt nhau ở tại một điểm nằm trên đường thẳng .

Bài 17:
Từ điểm trên cung của đường tròn ngoại tiếp tam giác , kẻ lần lượt vuông góc với . Gọi là điểm đối xứng với qua . Kẻ lần lượt vuông góc với . Chứng minh rằng 

Lời giải
Vận dụng tính chất đường thẳng Simson ta có thẳng hàng và thẳng hàng.
Tứ giác là tứ giác nội tiếp 
 là đường kính 
Mặt khác, 
Tứ giác là tứ giác nội tiếp 
Mà 
Suy ra .

Bài 18: Chuyên Bắc Ninh, năm học 2013
Cho đường tròn đường kính . Điểm nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác nhọn. Từ kẻ tiếp tuyến , với (, là các tiếp điểm). Gọi là trực tâm của , là giao điểm của và 
a) Chứng minh rằng điểm cùng thuộc đường tròn
b) Chứng minh rằng điểm thẳng hàng.

Lời giải
a) Nhận thấy 
 thuộc đường tròn đường kính 
b) Giả sử , có vị trí như hình vẽ 
Ta có: Tứ giác nội tiếp (theo a)
Với thì 
Tứ giác nội tiếp 
 (cgc)
Từ (1)(2) thẳng hàng.

Bài 19: 
Cho đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . và là đường kính của và 
, là tiếp tuyến chung ngoài . cắt tại 
a) Tam giác là tam giác gì
b) Chứng minh là tiếp tuyến chung của và 
c) Kẻ vuông góc với . cắt tại . Chứng minh thẳng hàng
d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ , vẽ nửa đường tròn đường kính và . Đường thẳng qua cắt hai nửa đường tròn trên tại . Chứng minh 

Lời giải
a) Tam giác vuông tại . Có thể chứng minh như sau:
Mà 
b) Dễ chứng minh được tứ giác là hình chữ nhật. Từ đó chứng minh được 
c) Kéo dài cắt tại . Ta sẽ chứng minh trùng với bằng cách chỉ ra 
Thật vậy, dễ thấy cùng thuộc một đường tròn đường kính 
Mặt khác, chứng minh được tứ giác nội tiếp
Suy ra điểm thuộc đường tròn đường kính 
d) (ghi chú: Đường thẳng qua cắt nửa đường tròn đường kính tại và cắt nửa đường tròn đường kính tại 
Gọi lần lượt là tâm của nửa đường tròn đường kính và 
Gọi lần lượt là bán kính của đường tròn và 
Không mất tính tổng quát, giả sử 
Dễ tính được là trung điểm của 
Trong tam giác ta có: và là trung điểm của 
Trong tam giác có là đường trung bình nên ta có 

Bài 20: 
Cho có góc nhọn, trực tâm và nội tiếp đường tròn . Vẽ đường kính 
a) Chứng minh tứ giác là hình bình hành
b) Vẽ . Chứng minh thẳng hàng và 
c) Gọi là chân các đường cao thuộc các cạnh của . Khi cố định hãy xác định vị trí điểm để tổng đạt giá trị lớn nhất

Lời giải
a) Ta có , mà 
Tương tự ta có 
b) là trung điểm của 
Vì là hình bình hành, là trung điểm của nên thẳng hàng.
 có là đường trung bình 
c) Ta có nội tiếp đường tròn 
mà ( là tiếp tuyến tại 
Tương tự ta có 
 lớn nhất khi thẳng hàng là điểm chính giữa cung lớn .

Bài 21: 
Cho đường tròn ngoại tiếp có là trực tâm. Trên cung nhỏ lấy điểm . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên . Chứng minh
a) Ba điểm thẳng hàng
b) 
c) đi qua trung điểm của 

Lời giải
a) Tứ giác nội tiếp được (vì )
Tứ giác cũng nội tiếp được (vì ) 
Mặt khác ta có (vì do cùng bù với góc của tam giác ABC)
Từ (1)(2) suy ra thẳng hàng.
b) Vì (vì góc nội tiếp cùng chắn cung 
 hay 
Tương tự ta có hay 
Mà 
Từ (1)(2)(3) 
c) Gọi giao của với đường tròn thứ tự là là hình thang cân (vì )
Vẽ là hình thang cân, có là trục đối xứng (vì và đối xứng qua là trung điểm của , mà (vì do vì cùng bằng ) đi qua trung điểm của .

Bài 2: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
*) Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
1. Ba đường thẳng cùng đi qua một điểm hoặc có 1 điểm thuộc cả 3 đường thẳng
2. Một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại
3. Ba đường đang xét là ba đường đặc biệt trong tam giác: Ba đường cao, trung trực, trung tuyến, phân giác trong
4. Đưa đồng quy về thẳng hàng
5. Sử dụng định lí Mênnauyt và Ceva
Bài 1:
Cho , vẽ đường cao . Gọi là điểm đối xứng của qua và . cắt ở . Chứng minh rằng đồng quy.
Lời giải
Vì là trung trực của 
Suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp 
Vì là trung trực của 
Vì cân tại 
Từ (1)(2) nội tiếp 
Từ (3)(4) ta có điểm cùng nằm trên một đường tròn
 nội tiếp 
Chứng minh tương tự ta có 
Vậy là đường cao của đồng quy.

Bài 2:
Cho ba điểm thẳng hàng và theo thứ tự. Vẽ hai đường tròn có đường kính và . Gọi là tiếp tuyến chung ngoài của với . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua vuông góc với , đường thẳng đi qua vuông góc với và đồng quy.


Lời giải
Gọi là giao điểm của đường thẳng qua và vuông góc với và qua vuông góc với 
Ta chứng minh thẳng hàng ta chứng minh 
Từ giả thiết nội tiếp 
Ta có (đồng vị)
Mà nội tiếp 
Từ (1)(2) suy ra điểm cùng thuộc một đường tròn
Bài 3: Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm trên đường thẳng thứ ba
Cho đường tròn và điểm nằm ngoài . Kẻ cát tuyến tùy ý. Gọi là đường kính vuông góc với . Các đường thẳng cắt tại . Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại và đường thẳng đồng quy.
Lời giải
 có ba đường cao là đồng quy tại 
Gọi là trung điểm của . Ta chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn 
 vuông tại có trung tuyến 
 là tiếp tuyến của đường tròn 
Chứng minh tương tự ta có là tiếp tuyến của đường tròn .
Vậy ba đường thẳng đồng quy.

Bài 4:
Cho tam giác , gọi là hai đường tròn đường kính và . cắt đường thẳng ở cắt đường thẳng ở cắt tại và . Chứng minh rằng đồng quy.

Lời giải
Do thẳng hàng, do đó 
Tương tự ta có là hai đường cao tương ứng hạ từ , của tam giác .
Vậy đồng quy.

Bài 5:
Cho hai đường tròn có và có tiếp tuyến chung ngoài. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến chung ngoài của chúng luôn cắt nhau trên đường thẳng nối tâm
Lời giải
Gọi là tiếp tuyến chung ngoài thứ nhất. Ta có và nên đường thẳng luôn cắt đường thẳng tại và nằm ngoài về phía 
Theo định lí Talét ta có 
Tương tự, tiếp tuyến chung ngoài thứ hai cắt đường nối tâm tại thì nằm ngoài về phía và 
Từ (1)(2) suy ra . Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Bài 6:
Cho tam giác vuông tại có và đường cao . Trên tia lấy điểm sao cho , vẽ hình vuông . Gọi là giao điểm của và . Đường thẳng qua song song với cắt đường thẳng qua song song với tại . Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.

Lời giải
Ta có do cùng phụ với 
Hay tam giác vuông cân tại . Dễ dàng chứng minh được là hình vuông nên hai đường chéo , cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mặt khác ta cũng có nằm trên đường thẳng trung trực của 
Do là hình vuông nên 
Như vậy ba đường thẳng đồng quy tại .

Bài 7:
Cho ba điểm thẳng hàng và theo thứ tự. Vẽ hai đường tròn có đường kính và . Gọi là tiếp tuyến chung ngoài của và với . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua và vuông góc với và đường thẳng đi qua vuông góc với cắt nhau trên đường thẳng .

Lời giải
Giả sử hai đường thẳng đang xét cắt nhau tại . Ta phải chứng minh thẳng hàng
Theo giả thiết tứ giác nội tiếp được trong đường tròn đường kính 
Xét tứ giác , ta có là tiếp tuyến chung ngoài và nên 
Suy ra 
Mặt khác nội tiếp đường tròn.
Vì hai tứ giác và đều nội tiếp được nên ngũ giác ADECM nội tiếp được trong đường tròn đường kính 
Suy ra , nhưng 
Do đó thẳng hàng

Bài 8:
Cho , về phía ngoài vẽ ba tam giác đều . Chứng minh bằng nhau và đồng quy.

Lời giải
Ta có 
Tương tự ta có 
Giả sử cắt ở M. Ta chứng minh thẳng hàng
Thật vậy, do 
Nên các tứ giác nội tiếp 
Do đó nội tiêp được
Do tính chất của góc nội tiếp nên 
Vì hai góc này ở vị trí đối đỉnh nên thẳng hàng.

Bài 9: Tuyển sinh vào 10 chuyên PTNK – ĐHQG Hồ Chí Minh
Cho điểm thay đổi trên nửa đường tròn đường kính . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác và . Các đường thẳng cắt lần lượt tại và . Chứng minh rằng đồng quy.

Lời giải
Gọi là tâm của đường tròn đường kính . Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà ( là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CHB)
Do đó nen tam giác cân tại . Suy ra 
Chứng minh tương tự ta có tam giác cân tại nên 
Xét cân tại , là đường phân giác nên đồng thời là đường cao, trung tuyến
Do đó 
Tương tự ta có 
Do đó là đường trung bình của tam giác . Suy ra 
Mặt khác nội tiếp 
Ta có nội tiếp
Vậy cùng nằm trên một đường tròn.
c) Ta có 
 nội tiếp 
Tương tự ta có 
Xét tam giác có là ba đường cao. Nên ba đường đồng quy.

Bài 10:
Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với tại . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng và phân giác của đồng quy.

Lời giải
Gọi là giao điểm của và . Ta chứng minh đi qua điểm (Với là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác )
Kí hiệu lần lượt là độ dài các cạnh đối diện, đường cao xuất phát từ các đỉnh , , . Giả sử 
Hạ các đường cao lần lượt vuông góc . Ta chứng minh là phân giác góc . Tức là ta chứng minh 
Thật vậy ta có 
Do đó mặt khác 
Như vậy cách đều hai cạnh nên là phân giác .

Bài 11:
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn có trực tâm . Gọi lần lượt là điểm đối xứng với qua , , . Xét một đường thẳng đi qua . Gọi lần lượt là các đường thẳng đối xứng với qua . Chứng minh rằng đồng quy.

Lời giải
Do lần lượt đối xứng với qua nên chúng nằm trên đường tròn ngoại tiếp 
Giả sử cắt tại . Gọi là giao điểm của 
Ta có 
Suy ra tứ giác nọi tiếp, hay thuộc đường tròn 
Tương tự các cặp đường thẳng và cũng cắt nhau tại một điểm thuộc 
Các đường thẳng này không phải là các cạnh của tam giác nên nó cắt nhau tại một điểm .

Bài 12:
Cho tam giác nội tiếp đường tròn (O). Gọi lần lượt là trung điểm của các cung . Các cạnh của tam giác và cắt nhau tạo thành một lục giác. Chứng minh ba đường chéo chính của lục giác đồng quy.

Lời giải
Từ giả thiết ta có là ba đường phân giác của tam giác nên chúng đồng quy tại là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 
Kí hiệu lục giác tạo thành là 
Xét một đường chéo chính, chẳng hạn . Theo tính chất của phân giác, ta có:
Giả sử cắt BC, tại 
Theo trên ta có 
Ta chứng minh được hai tam giác đồng dạng với nhau
Suy ra là phân giác góc nên 
Từ đó ta có ba đường chéo của lục giác đồng quy tại I.

Bài 13:
Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại với . Đường thẳng cắt tại và cắt (O’) tại với . Gọi là trung điểm của . là dây cung của và vuông góc với tại . cắt (O’) tại điểm 
a) Chứng minh rằng điểm , , thẳng hàng
b) Chứng minh , , đồng qui. Trong đó là giao điểm của và 

Lời giải
a) Ta có (vì ) 
Dễ thấy là trung điểm của và , suy ra tứ giác là hình bình hành 
Và 
Từ (1)(2) thẳng hàng.
b) Chứng minh tương tự ta có thẳng hàng.
 đồng quy tại .

Bài 14: 
Cho không phải là tam giác cân. Đường tròn tâm tiép xúc vưới các cạnh lần lượt tại . Đường thẳng cắt các đường thẳng lần lượt tại và 
a) Chứng minh rằng cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh đồng quy


Lời giải
a) TH1: nằm giữa và (hình vẽ)
Ta có ( cân)
 thuộc đường thẳng
TH2: nằm giữa và (chứng minh tương tự)
b) Ta có theo câu a) 
Tương tự ta có 
Gọi là giao điểm của và 
 có là các đường cao
 là trực tâm của thẳng hàng
 đi qua 
*) Chú ý: Hoặc dùng cũng được.

Bài 15: 
Cho tam giác vuông tại . Trên cạnh lấy điểm , dựng đường tròn tâm có đường kính . Đường thẳng cắt đường tròn tâm tại , đường thẳng cắt đường tròn tâm tại 
a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp và là tia phân giác của góc 
b) Gọi là giao điểm của với đường tròn . Chứng minh các đường thẳng đồng quy
c) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 

Lời giải
a) Dễ thấy nội tiếp
b) Nhận thấy lần lượt là các đường cao của tam giác nên chúng đồng quy tại điểm là trực tâm của tam giác 
c) Tương tự ta có là trực tâm của tam giác với đường cao .
Như vậy là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE