Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 7: Đồ thị hàm số (Có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ: ĐỒ THỊ HÀM SỐ
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ
Tỉnh, huyện, thành phố
Năm học
Học sinh giỏi huyện Chư Sê
2019 - 2020
Học sinh giỏi huyện Cảm Thủy (Thanh Hóa)
2019 - 2020
Học sinh giỏi Tỉnh Bắc Ninh
2018 - 2019
Học sinh giỏi Tỉnh Đà Nẵng
2018 – 2019, 2015 - 2016
Học sinh giỏi Bà Rịa Vũng Tàu
2018 - 2019
Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình
2018 - 2019
Học sinh giỏi Tỉnh Hưng Yên
2016 - 2017
Học sinh giỏi Tỉnh Đắc Lắc
2015 - 2016
Học sinh giỏi Quận Ba Đình
2020-2021
Học sinh giỏi Vĩnh Lộc
2019-2020
Học sinh giỏi TP Hưng Yên
2020-2021
Học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc
2020-2021
Học sinh giỏi Tỉnh Thái Nguyên
2020-2021
Học sinh giỏi TP Đà Nẵng
2020-2021
Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình
2020-2021
Chuyên Thái Bình vòng 1
2019 - 2020
Chuyên Cần Thơ
2019 - 2020
Chuyên Đắc Lắc
2019 - 2020
Chuyên Toán Quảng Ngãi
2019 - 2020
Chuyên Quảng Ninh
2019 - 2020
Chuyên Hưng Yên
2019 - 2020
Chuyên Cần Thơ
2019 - 2020
Chuyên Quảng Ngãi
2019 - 2020
Chuyên Hưng Yên
2019 - 2020
Chuyên Lâm Đồng
2018 - 2019
Tuyển sinh vào 10 chuyên Thái Bình
2018 - 2019
Tuyển sinh vào 10 chuyên lâm Đồng
2018 - 2019
Bài 1: Đồ thị hàm số bậc nhất
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hàm số
+) Với một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi sao cho với mỗi giá trị thì có 1 và chỉ 1 giá trị . Ta nói là một hàm số của 
Kí hiệu: 
+) Muốn tính giá trị của hàm số tại , ta thay biến số bởi và tính 
+) Đồ thị hàm số của hàm số là tập hợp các điểm trên hệ trục tọa độ thỏa mãn 
+) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập 
Nếu thì đồng biến
Nếu thì nghịch biến
2. Hàm số bậc nhất
+) Dạng hàm số: 
Cách viết khác: 
+) Nếu thì là hàm số đồng biến
+) Nếu thì là hàm số nghịch biến
+) Đồ thị hàm số
- Là tập hợp các điểm thỏa mãn 
- Là một đường thẳng
- Song song với đồ thị hàm số 
- Đi qua điểm và 
+) Vẽ đồ thị hàm số 
Bài 1: 
Cho hàm số ( là biến số)
a) Chứng minh rằng hàm số trên là một hàm số bậc nhất
b) Hàm số là hàm số đồng biến hay nghịch biến
c) Tìm để đồ thị hàm số trên đi qua điểm 
Lời giải
a) Ta có với mọi thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất
b) Nhận thấy nên hàm số đã cho đồng biến trên .
c) Để đồ thị hàm số đi qua điểm thì: 
Bài 2: 
Cho hàm số 
a) Tìm để hàm số là hàm số bậc nhất
b) Tìm để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định.
Lời giải
a) Hàm số là hàm số bậc nhất 
b) Hàm số đồng biến trên 
Lập bảng xét dấu ta được 
Tương tự: Hàm số đồng biến .
Bài 3: 
Cho hàm số 
a) Chứng minh rằng với mọi đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại một điểm cố định. Xác định tọa độ điểm đó. 
b) Với giá trị nào của đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2. Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp này.
Lời giải
a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình
Gọi là điểm thuộc trục hoành mà đồ thị hàm số luôn đi qua, khi đó ta có:
Vậy 
b) Tọa độ của giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có dạng 
Thay hoành độ của giao điểm vào phương trình hàm số ta có: 
Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 4: 
Cho hàm số 
a) Định để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ 
b) Gọi lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với trục . Xác định để diện tích tam giác bằng 4 (đvdt).
Lời giải
a) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ khi và chỉ khi: 
Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.
b) Theo bài ra ta có tọa độ của hai điểm lần lượt là 
Diện tích tam giác : 
.
Bài 5: 
a) Với giá trị nào của thì hàm số là một hàm số bậc nhất?
b) Chứng minh rằng hàm số luôn là hàm số bậc nhất. Hàm số này đồng biến hay nghịch biến trên 
c) Với giá trị nào của thì hàm số là hàm số bậc nhất?
d) Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên .
Lời giải
a) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi 
b) 
Vậy hàm số luôn là hàm số bậc nhất và nên hàm số nghịch biến trên 
c) Hàm số là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi 
d) Ta có 
Để hàm số đồng biến trên thì 
Để hàm số nghịch biến trên thì 
Bài 6: 
Cho hàm số 
a) Chứng minh rằng với mọi đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm cố định. Xác định tọa độ điểm đó
b) Với giá trị nào của đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2. Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp này.
Lời giải
a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình 
Gọi là điểm thuộc trục hoành mà đồ thị hàm số luôn đi qua, khi đó ta có . Vậy 
b) Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có dạng 
Thay hoành độ của giao điểm vào phương trình hàm số ta có 
Vậy thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 7: 
Cho hàm số 
a) Định để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ 
b) Gọi lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung . Xác định để diện tích tam giác bằng 4 (đvdt).
Lời giải
a) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ khi và chỉ khi 
Vậy thỏa mãn bài toán.
b) Theo bài ra ta có tọa độ của hai điểm lần lượt là ; 
Diện tích tam giác là: 
Bài 2: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hệ số góc của đường thẳng
Giả sử , khi đó là góc tạo bởi đường thẳng và tia 
Ta có: 
: Hệ số góc của đường thẳng 
*) Tương tự: Giả sử , khi đó 
 thì được gọi là hệ số góc.
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng và 
+) trùng 
+) song song 
+) vuông góc 
+) cắt tại 
Lúc đó là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 
Bài 1: 
Tìm giá trị của để hai đường thẳng và 
a) Song song
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
Lời giải
a) Điều kiện . Vậy 
b) Điều kiện 
c) Điều kiện 
Bài 2: 
Xác định các hệ số và để đường thẳng cắt trục tung tại điểm cí tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng , trong đó là gốc tọa độ. 
Lời giải
Đường thẳng 
Đường thẳng đã cho song với với vậy 
Mặt khác đường thẳng đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2, suy ra 
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình 
Bài 3: 
a) Xác định hàm số bậc nhất, biết đồ thị của nó là đường thẳng đi qua và tạo với trục hoành một góc 
b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng và đi qua gốc tọa độ.
Lời giải
a) Hệ số góc của đường thẳng cần tìm bằng 
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 
b) Hệ số góc của đường thẳng cần tìm là 
Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng . Vì đi qua gốc tọa độ nên . Vậy .
Bài 4: 
Xác định hàm số , biết rằng:
a) Song song với đường thẳng và đi qua điểm 
b) Vuông góc với đường thẳng và đi qua điểm 
Lời giải
a) Để đường thẳng song song với 
Đường thẳng đi qua điểm .
b) Để đường thẳng vuông góc với đường thẳng 
Bài 5: 
Cho hàm số có đồ thị đi qua điểm . Hãy xác định hệ số góc và tính góc tạo bởi đường thẳng và tia 
Lời giải
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và tia 
 đi qua 
 hệ số góc 
Bài 6: 
Cho hai đường thẳng và 
a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.
b) Khi thay đổi, tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng trên.
Lời giải
a) Tìm được 
b) Nhận thấy 
Vậy tập hợp giao điểm của và là đường thẳng 
Bài 7: 
Xác định các hệ số và để đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng , trong đó là gốc tọa độ, 
Lời giải
Đường thẳng 
Đường thẳng đã cho song song với vậy 
Mặt khác đường thẳng đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2, suy ra .
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình .
Bài 8: 
a) Xác định hàm số bậc nhất, biết đồ thị của nó là đường thẳng đi qua điểm và tạo với trục hoành một góc 
b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng và đi qua gốc tọa độ.
Lời giải
a) Hệ số góc của đường thẳng cần tìm bằng 
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 
b) Hệ số góc của đường thẳng cần tìm là 
Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng 
Vì đi qua gốc tọa độ nên . 
Vậy .
Bài 9: Chuyên Hưng Yên, năm học 2019 - 2020
Cho hai đường thẳng và 
a) Tìm để song song với 
b) Chứng minh đường thẳng luôn đi qua điểm với mọi 
c) Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho vuông góc với .
Lời giải
a) song song với 
Vậy là giá trị cần tìm.
b) Thay vào phương trình ta được:
(đúng với mọi m)
Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm với mọi 
c) Cách 1: Vì điểm thuộc nên tọa độ điểm có dạng 
Điều kiện: khác hay 
Giả sử phương trình đường thẳng là 
Vì và nên ta có hệ phương trình 
AB vuông góc với 
. Vậy tọa độ điểm 
Cách 2: Giả sử phương trình đường thẳng là 
AB vuông góc với 
Vậy phương trình đường thẳng có dạng 
Vì đường thẳng đi qua nên 
 phương trình đường thẳng là 
 tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG TOÁN
Bài 1: 
Lập phương trình đường thẳng qua và thỏa mãn
a) Có hệ số góc 
b) Song song với đường thẳng 
c) Vuông góc với đường thẳng 
Lời giải
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là 
a) Với 
Vì 
b) 
Ta có 
Với , từ câu a) 
Do không thỏa mãn.
Vậy không tồn tại đường thẳng .
c) 
Thay tọa độ điểm vào ta tìm được .
Bài 2: 
Biện luận số nghiệm của phương trình 
Lời giải
Phương trình 
+ Xét (song song với )
+ Xét 
Ta có: 
*) Số giao điểm của và đồ thị (C) là số nghiệm của phương trình (*)
Dựa vào đồ thị ta có: 
+ thì không cắt , suy ra phương trình (*) vô nghiệm
+ Nếu cắt tại 1 điểm, suy ra phương trình (*) có 1 nghiệm
+ Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3: 
Cho hai đường thẳng và . Tìm để
a) Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A
a) Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A nằm trên trục tung
b) Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục tung
c) Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A nằm ở góc phần tư thứ nhất.
Lời giải
a) Hai đường thẳng d và d’ có với mọi m nên hai đường thẳng đó luôn cắt nhau
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’)
Suy ra 
Điểm nằm trên trục tung thì 
c) Điểm nằm bên trái trục tung 
d) Điểm nằm ở góc phần tư thứ nhất 
Bài 4: 
Xác định các số nguyên sao cho đường thẳng đi qua điểm cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cất trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên dương.
Lời giải
Giao điểm với trục hoành là 
Giao điểm với trục tung là 
Theo đề bài thì 
Điểm thuộc nên 
Vì 
+ (thỏa mãn)
+ (thỏa mãn)
+ (loại)
+ (loại)
Vậy và 
Bài 5: 
Xác định đường thẳng đi qua , cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố.
Lời giải
Đường thẳng cần lập có dạng 
Điểm thuộc đường thẳng nên 
Vì là số nguyên tố nên 
Vì 
Mà là số nguyên tố nên 
Với 
Với 
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là hoặc 
Bài 6: 
Cho hàm số 
a) Vẽ đồ thị hàm số 
b) Vẽ đồ thị hàm số 
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Lời giải
b) Ta có 
c) Từ hình vẽ câu b) ta có:
Với thì phương trình vô nghiệm.
Với thì phương trình có duy nhất một 
nghiệm.
Với thì phương trình có hai nghiệm 
phân biệt.
Bài 7: 
Cho hàm số có đồ thị là 
a) Vẽ đồ thị các hàm số 
b) Xác định để đồ thị đi qua điểm . Vẽ đồ thị của hàm số đã cho
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Lời giải
b) Ta có:
Thay tọa độ vào phương trình đồ thị hàm số (1) ta có: 
Với ta có:
c) Dựa vào đồ thị trên ta thấy 
Nếu thì phương trình vô nghiệm
Nếu thì phương trình có duy nhất
một nghiệm
Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 8: Chuyên Hưng Yên, năm học 2019 - 2020
Cho hai đường thẳng và 
a) Tìm để song song song với 
b) Chứng minh đường thẳng luôn đi qua điểm với mọi 
c) Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho vuông góc với 
Lời giải
a) song song song với 
b) Thay vào phương trình ta được:
 (luôn đúng với )
Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm với mọi 
c) Cách 1: Vì tọa độ điểm có dạng 
Điều kiện khác điểm hay 
Giả sử phương trình đường thẳng là 
Vì và nên ta có hệ phương trình 
Ta có 
hay 
Cách 2: Giải sử phương trình đường thẳng là 
Ta có hay 
Vì đường thẳng đi qua điểm 
Vậy phương trình đường thẳng là 
Vậy tọa độ là nghiệm của hệ phương trình 
Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
Bài 1: 
Cho ba đường thẳng 
a) Tìm tọa độ giao điểm của 
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy
c) Tìm sao cho ba đường thẳng và đồng quy.
Lời giải
a) Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình 
Vậy tọa độ giao điểm của là 
b) Ba đường thẳng đồng quy 
c) đã cho đồng quy tại nên 4 đường thẳng đồng quy tại 
Bài 2: 
Cho 3 điểm 
a) Viết phương trình đường thẳng 
b) Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
c) Cho . Tìm để 
+ thẳng hàng
+ không thẳng hàng
Lời giải
a) Gọi phương trình đường thẳng là 
Vì thuộc đường thẳng 
Vì thuộc đường thẳng 
Vậy phương trình đường thẳng 
b) Ta có thuộc đường thẳng 
Suy ra 3 điểm thẳng hàng.
c) Ba điểm thẳng hàng khi thuộc đường thẳng 
Ba điểm không thẳng hàng 
Bài 3: 
Tìm để đồ thị của hàm số cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng -1.
Lời giải
Đường thẳng đi qua điểm 
Mặt khác thuộc đường thẳng nên ta có:
Bài 4: 
Cho ba đường thẳng 
a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và 
b) Tìm để đường thẳng đi qua 
c) Tìm để ba đường thẳng đã cho đồng quy.
Lời giải
a) Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ 
b) 
c) ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi giao điểm của 3 đường thẳng cũng thuộc đường thẳng thứ 3
Ta có . Vậy .
Bài 5: 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba đường thẳng . Tìm để cắt tại một điểm thuộc 
Lời giải
 cắt tại 
Vì thuộc nên 
.
Bài 6: 
Cho bốn điểm 
a) Chứng minh rằng bốn điểm thẳng hàng
b) Tìm sao cho ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
a) Đường thẳng đi qua và là 
phương trình có dạng 
Vì thuộc đường thẳng nên ta có hệ phương trình 
Suy ra phương trình 
Với điểm , thay vào phương trình ta có (đúng)
Với điểm , thay vào phương trình ta có (đúng)
Vậy các điểm và đều thuộc đường thẳng . Tức là bốn điểm thẳng hàng
b) Phương trình đường thẳng có dạng 
Vì thuộc đường thẳng nên ta có hệ phương trình 
Suy ra phương trình : 
Điểm thuộc đường thẳng nên ta có 
Vậy .
Bài 7: 
Với giá trị nào của thì ba đường thẳng sau đồng quy , và .
Lời giải
Gọi là giao điểm của và thỏa mãn:
Để ba đường thẳng đồng quy thì (thỏa mãn điều kiện ).
Bài 8: HSG Quận Ba Đình, năm học 2020 - 2021
Trên mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng . Tìm giá trị của sao cho các đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Biết rằng 
Lời giải
Giao điểm của và có tọa độ là 
Từ đó thay vào phương trình ta được:
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG TOÁN
Bài 1: 
Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua ba điểm cố định. Chứng minh ba điểm cố định đó thẳng hàng.
Lời giải
Gọi là điểm cố định mà đồ thị đi qua
Khi đó 
Giải (1): 
Vậy đồ thị đã cho đi qua ba điểm cố định 
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 
Phương trình đường thẳng có dạng 
Vì thuộc đường thẳng 
Vậy phương trình đường thẳng 
Với , thay vào ta được (đúng)
Vậy ba điểm thẳng hàng.
Bài 2: 
Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng 
a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi 
b) Tìm để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là lớn nhất.
Lời giải
a) Gọi là điểm cố định của hàm số
b) Gọi là hình chiếu của lên . Ta có (không đổi)
 lớn nhất khi 
Phương trình có dạng 
Vì 
Vậy phương trình là 
Để đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OM thì 
Vậy với thì khoảng cách gốc tọa độ là đường thẳng d.