Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008 - 2009 môn: Toán

Phòng giáo dục và đào tạo yên định
đề thi chính thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
năm học 2008 - 2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Cõu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức : . 
 a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P.
 b) Tìm tất cả các giá trị của x để P nguyên.
Cõu 2: (5,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng (d): và 
(d') : cắt nhau tại C và lần lượt cắt trục Ox tại A, B. 
a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C. 
b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục là cm. 
Cõu 3: (4,0 điểm)
 a, Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn 
 Chứng minh bất đẳng thức: 
 b, Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Cõu 4: (5,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và BD cắt nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đường tròn cắt nhau tại M. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. 
 a, Chứng minh PN vuông góc với AB.
 b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng.
Câu 5: (2,0 điểm)
 	Chứng minh rằng: 
	------------------------Hết--------------------------
Học sinh không được sử dụng tài liệu gì.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và đào tạo yên định
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
năm học 2008 - 2009
Đáp án và hướng dẫn chấm
Môn: Toán
Hướng dẫn chấm này có 3 trang
Câu
ý
Nội dung cơ bản
Điểm
1
a) 
Điều kiện : Û x ạ 2 và x ạ 3 
 = = 
 = = 
 Vậy : P = với x ạ 2 , x ạ 3 .
0,5 
0,5
1,0
b)
Ta có P = = = 2 + 
 nên P nguyên Û nguyên Û x - 3 là ước của 3 
Û Û . 
Vậy các giá trị cần tìm là x = 6 ; x = 4 ; x = 0
0,5
0,5
1,0
Câu
ý
Nội dung cơ bản
Điểm
2
a)
b)
 ã C là giao điểm của d và d/ nên tọa độ của C thỏa mãn hệ : 
 Û Û Vậy C(1 ; 3) 
ã Phương trình trục Ox là y = 0 nên tọa độ A thỏa mãn hệ : 
 Û Vậy A(- 1; 0) 
tọa độ B thỏa mãn hệ : 
 Û Vậy B(3 ; 0)
ã Gọi H là hình chiếu của C trên trục Ox thì CH là đường cao của tam giác CAB và CH = 3 cm ( tung độ của điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = 1 + 3 = 4 (cm) .
 ị dt(DABC) = AB.CH = .4.3 = 6 (cm2) 
ã HA = HO + OA = 1 + 1 = 2 (cm) ị HB = AB - AH = 2 (cm)
ị HA = HB = 2(cm) ị tam giác CAB cân tại C (CH vừa là đường cao vừa là trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có : 
 (cm)
ị chu vi DABC là : AB + BC + CA = (cm) 
1,0
0,5
0,5
1,5
1,5
Câu 
3
a
b
Ta có 
Từ 
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên.
Khi đó: y+3+x y+3-x .
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn 
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số chẵn , vậy 2 số 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn .
Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây.
- 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị (y+3+x).
Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0.
Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta có x= 4 , y= -3.
Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta có x= 5 , y= -6.
Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm ( x,y) = (
0.5
0.5
0.5
0.5
 0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 4
a
b
Trong tam giác PAB ta có AC và BD là các đường cao nên N là trực tâm tam giác. Do đó PN là đường cao còn lại nên vuông góc với cạnh AB.
Gọi I là trung điểm của PN thì IC là trung tuyến của tam giác vuông PAC nên IPC cân tại I. Do đó : .
Tam giác OAC cân tại O nên : .
Mặt khác (do có các cạnh tương ứng vuông góc)
 nên .
Ta có AC PC nên OC IC . Do đó IC là tiếp tuyến tại C của đường tròn.
Tương tự , ID là tiếp tuyến tại D của đường tròn . 
Chứng tỏ I trùng với M nên P,M,A thẳng hàng.
2
0,5
0,5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 5
1,0
1,0
---------------- Hết ----------------