Đề thi chọn học sinh giỏi THCS năm học: 2009 – 2010 môn thi: Toán

PHÒNG GD & ĐT LONG ĐIỀN	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI	 NĂM HỌC: 2009 – 2010
 Môn thi: Toán
 Thời gian: 150 Phút	
Bài 1: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm
Cho a, b là 2 số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: a2 – b2 chia hết cho 8
Tính tổng: 
Giải
(0,5 điểm). Ta có: a2 – b2 = (a2 – 1) – (b2 – 1) = (a + 1)(a – 1) – (b + 1)(b – 1)
(0,5 điểm). Vì (a + 1)(a – 1) là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8
(0,5 điểm). Tương tự: (b +1)(b – 1) 8
(0,5 điểm). Vậy: (a2 – b2 ) 8 (đpcm)
b) 
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
Bài 2: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm
Cho a, b, c là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải 
a) Ta có: 
(0,75 điểm)
(0,75 điểm)
(0,5 điểm)
= VP
(0,25 điểm)
b) 
 Tập xác định: D = [2009; 2010]
(0,25 điểm)
 Với "x Î D thì A ≥ 0. Do đó: A = 
1. Xét: 
(0,25 điểm) 
Ta có: (vì với "x Î D)
 A ≥ 1 với "x Î D
(0,25 điểm) Vậy: Amin = 1 khi 
(0,25 điểm) 
2. Xét:
(0,25 điểm) 
(vì , với "x Î D; BĐT Côsi)
 A2 ≤ 2 với "x Î D
 A với "x Î D
(0,25 điểm)Vậy Amax = khi: x – 2009 = 2010 – x 
(0,25 điểm) x = 2009,5
Bài 3: (4 điểm) Mỗi câu 2 điểm
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 7y = 55
b) Cho a, b, c, d là các số dương và Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau:
Giải
a) 3x + 7y = 55
(0,5 điểm). HS tìm được nghiệm nguyên tổng quát của phương trình trên:
(0,5 điểm).Để: 
(0,5 điểm).=> t Î {16; 17; 18}
(0,5 điểm).Vậy phương trình trên có 3 nghiệm nguyên dương là: (2; 7); (9; 4) ; (16; 1)
b) 
(0,5 điểm).
(0,5 điểm).
(0,5 điểm)
.
(0,5 điểm). (vì => ad = bc => )
Bài 4 (4 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.
C 
J 
A 
I 
M 
D 
O 
O’ 
B 
a) Đường thẳng IJ là gì của đường tròn (O’) ? Giải thích.
b) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.
Giải (h.1)
Hình 1
a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD : gt) ACMD là hình thoiAC // DM, mà ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)
DMCB; MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)
D, M, J thẳng hàng.
Ta có : (vì )
Mà (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)
(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); và đối đỉnh)
(1,5 điểm)(0,5 điểm) IJ là tiếp tuyến của (O’), J là tiếp điểm
b) Ta có IA = IM
IO’ = = R (R là bán kính của (O))
O’M = O’B (bán kính (O’)
JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’
(1,5 điểm). Do đó SJIO’ 
SJIO’ = khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên :
2O’J2 = O’I2 = R2 O’J = 
(0,5 điểm) Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R
Bài 5 (4 điểm). 
a) Cho tam giác ABC. Hãy tìm điểm M sao cho tổng độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp AMB và BCM là nhỏ nhất.
b) Trong tất cả các tam giác có đáy bằng a, chiều cao bằng h, tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất ?
Giải
a) (h.2)
O1
R1
C 
B 
R2
O2
H 
M 
A 
Hình 2
Gọi O1, R1, O2, R2 lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp AMB và BCM (h.2). 
Xét O1AB : O1A + O1BAB
2R1AB
(0,5 điểm) 2R1 = AB AB là đường kính của (O1) và giả sử đường tròn (O1) đường kính AB cắt AC tại H thì = 900 (1)
(0,5 điểm)x
A 
A1 
C’
y
h
B 
a 
C 
Tương tự với O2BC : 2R2BC. Suy ra R2 nhỏ nhất BC là đường kính của (O2) và giả sử đường tròn (O2) đường kính BC cắt AC tại H’ thì = 900 (2)
(1,0 điểm) Từ (1) và (2) suy ra H’H. Vậy điểm M phải tìm là chân đường cao kẻ từ đỉnh B.
b) (h.3). (2,0 điểm). Lí luận đúng
Hình 3
Tất cả các tam giác có đáy a, chiều cao h đều có thể sắp xếp để cạnh đáy của chúng trùng với BC = a, còn đỉnh A ở trên một đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng h. Trong các tam giác này, ta cần tìm tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Ta có SABC = ah
Mặt khác, nếu r là bán kính của đường tròn nội tiếp thì SABC = r(AB + BC + CA)
r = 
Do a, h, BC không đổi nên r sẽ có giá trị lớn nhất khi AB + AC có giá trị nhỏ nhất
Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua xy thì AB + AC = AB + AC’C’B
Khi đó : AB + AC = C’B khi AA1ABC cân tại A.