Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009 - 2010 môn Toán lớp 9

đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010
Môn : Toán	-	Lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: Chứng minh rằng : A = 2130 + 3921 chia hết cho 45.
Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau:
 	a, + =5
 	b, 
Bài 3: Tìm tích abc biết rằng:	 
Bài 4: Cho x2+y2 =1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =(2-x)(2-y)
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC, đường cao AH . Đường tròn tâm O’ đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là G, cắt AB và AC lần lượt tại M và N .
	a, Chứng minh : AM.AB = AN.AC.
	b, Các tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại M và N cắt BC lần lượt tại I và K , so sánh IK và BC.
	c, Chứng minh các đường thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm.
hướng dẫn chấm toán lớp 9.
Bài 1 (3,0 đ): A= 2130 + 3921 = 330. 730 + 321 . 1321
0,5 đ
 A= 321( 39.730 + 1321) 
 Kết luận được A chia hết cho 9 (1)
0,5 đ
 A= 2130 + 3921 = (2130 -1) + (3921 + 1)
0,5 đ
 A= (21-1)P + (39+1)Q (P và Q nguyên)
0,5 đ
 A = 20(P+2Q) chia hết cho 5 (2) 
0,5 đ
 Vì (5;9)=1 kết hợp (1) và (2) ta có A chia hết cho 45.
0,5 đ
Bài 2: a, Nhận xét : = 
(3.0 đ) = 
 Vậy tìm được ĐK là: x³ 1
0,75 đ
0,5 đ
 HS biến đổi được: + = 5 
 +2+ = 5
0,5 đ
 + Nếu x³ 10, ta có : +2+-3=5ị x=10 (thoả mãn)
0,5 đ
 + Nếu 1Ê x<10, ta có 5=5 (luôn đúng)
 Vậy nghiệm của phương trình là 1Ê xÊ 10
0,75 đ
b, Điều kiện x,y³ 0
 (2,0 đ) Từ ị (x,y) (0,0) ị x2010+y2010 > 0
0,5 đ
 Nếu x>y thì PT thứ 2 có VT > 0 > VP ( Vô nghiệm)
 Nếu y>x thì PT thứ 2 có VP > 0 > VT (Vô nghiệm) 
0,5 đ
0,5 đ
 Nếu x=y , HS kết luận được thoả mãn PT thứ 2.
 Thay vào PT thứ nhất và tìm được: x = y = 1
0,5 đ
Bài 3 (2,0 đ): Ta có nên 
0,5 đ
 Ta có : 
 => 
0,5 đ
 Vì 
 => 
0,5 đ
 Nếu a=b=c=1 thì trái với giả thiết a2=b2=c2=1.
 HS kết luận được có ít nhất 1 số bằng 0 vậy tích abc = 0.
0,5 đ
Câu 4: Ta có: S = 4-2x-2y+xy
(3,0 đ) 2S = 8 - 4x – 4y + 2xy
 2S = 1+4+3 - 4x – 4y + 2xy
0,5 đ
 2S = x2 + y2 + 4 - 4x – 4y + 2xy +3
 2S =(x+y-2)2 + 3
 S = 
0,25 đ
Vậy Smax ú (x+y-2)2 đạt max và Smin ú (x+y-2)2 đạt min
0,25 đ
Ta có (x-y)2³ 0 với mọi x,y ị 2xy Ê x2+y2 ị (x+y)2 Ê 2(x2+y2)=2
 ị Ê ị - Ê x+y Ê 
0,5 đ
 ị - -2 Ê x+y-2 Ê -2 < 0
0,5 đ
 ị SÊ = = 
 Vậy SMax = Đẳng thức xảy ra Û x=y= - 
0,5 đ
 S ³ 
 Vậy SMin = Đẳng thức xảy ra Û x=y= 
0,5 đ
Bài 5:a) (2 đ) HS kết luận được :
 AM.AB = AH2 (0,75 đ)
 AN.AC = AH2 (0,75 đ)
 AM.AB = AN.AC (0,5 đ)
b) Kết luận được IMH cân tại I (0,5 đ)
 Kết luận được : MI=BI=IH . (0,75 đ)
IH=1/2 BH. (0,25 đ) 
Tương tự kết luận được:
HK =1/2 HC. (1,5 đ)
IK = 1/2 BC. (0,5 đ)
(3,0 đ)
 C) (2,0 đ) Nối AO căt MN tại P; gọi giao AG và CB là S. 
 Kết luận được OAC = OCA 
 O’NA = O’AN 
 OAC+O’NA=OCA+O’AN =900
0,5 đ
Rút ra được: MN AO (1)
0,25 đ
OO’ là đường nối tâm của (O) và (O’) nên OO’AG hay OO’ AS 
0,5 đ
Xét tam giác : SAO có AH là đường cao; OO’ là đường cao => O’ là trực tâm của tam giác .
0,25 đ
 => SO’ AO (2) kết hợp với (1) => SO’ và MN cùng vuông góc với AO
0,25 đ
 Và có chung điểm O’ => đường thẳng SO’ trùng đường thẳng MN => 
 S; M; N thẳng hàng => AG; MN và BC đồng quy (ĐPCM)
0,25 đ