Đề thi học sinh giỏi cấp huyện và chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học: 2010 – 2011 môn thi: Toán 9

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 1 trang)
 CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH.
 NĂM HỌC: 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1. Giải phương trình 
Câu 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình: , với tham số .
Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.
b. Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. 
Câu 3. 
Cho B = ; B là một số gồm n chữ số 1, n + 1 chữ số 2 và một chữ số 5. Chứng minh B là số chính phương.
Cho là số nguyên tố; . Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì: là hợp số.
Chứng minh không tồn tại cặp giá trị nguyên thỏa mãn: 
Cho và , chứng minh: 
Câu 4. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P kẻ 2 tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm); OP cắt AB tại M. Qua M kẻ dây cung CD của đường tròn (O), (CD khác AB và CD không đi qua O). Hai tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở Q. Chứng minh: 
a) AB < CD ;	b) PQ vuông góc với PO tại P.	
Câu 5. Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) và một điểm A nằm trên đừơng tròn (O), xy không cắt (O). Dựng đường tròn tâm K tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với đường thẳng xy. (Chỉ trình bày cách dựng và biện luận)
Hết./.
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ
 HD CHẤM 
 (Gồm 3 trang)
 CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH.
 NĂM HỌC: 2010 – 2011.Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) 
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a
 , Điều kiện: 
HS biến đổi: 
, Dấu “=” xẩy ra khi 
, Dấu “=” xẩy ra khi 
Vậy nghiệm: thỏa mãn điều kiện 
0,25
0,25
0,25
1,75
b
, ĐK: 
Nhân 2 vế với : và biến đổi đưa về hệ PT: 
Đối chiếu điều kiện: thỏa mãn.
0,25
0,5
0,25
2
a
(d) : ; với tham số, 
Gọi là điểm cố định (d) luôn đi qua: Thay vào PT của (d) ta có: 
 , Với mọi m ,
0,5
0,5
1,75
b
Nhận thấy (d) không đi qua O
Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B
Ta có: AOB vuông tại O và có khoảng cách từ O đến (d) là OH (đường cao) nên: Hay 
; Dấu “=” xẩy ra .
Xét ; K/c từ O đến (d) bằng 2. Vậy 
0,25
0,25
0,25
3
a
B = 
 vì () Nên B là số chính phương
0,25
0,25
2,0
b
 là số nguyên tố; nên lẻ và không chia hết cho 3chẵn; chia cho 3 dư 1 hoặc 2
HS lập luận để chứng tỏ là hợp số.
0,2
 0,3
c
lẻ, đặt thay vào ta có: (1)chẵn, 
Thay vào (1) và biến đổi: 
Xét thấy VT của (2) luôn chẵn; VP của (2) là số lẻ vì k(k+1) chẵn (Tích 2 số nguyên liên tiếp). Vậy dấu “=” của (2) không thể xẩy raKhông tồn tại cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 
0,25
0,25
d
; xét 
Chứng minh tương tự: ; Cộng vế theo vế ta có:
 (Đpcm)
0,25
0,25
0,25
2,5
4
a
Gọi giao điểm của QO và CD là N. HS áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại Q để suy ra: tại N, MNO vuông tại N 
 OM>ON AB<CD (T/c khoảng cách từ tâm đến dây....)
0,5
0,5
b
HS áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: OAP, OQC có:
 mà OA = OC nên OM . OP = ON . OQ
0,25
0,25
Từ c/m đã có: OM . OP = ON . OQ (1)
Xét MON và QOP có chung và (1) MON đồng dạng QOP hay QP PO tại P
0,25
0,25
0,25
5
Vẽ hình cả 2 trường hợp:
+ At cắt xy
+ At // xy
0,25
2,0
Cách dựng: - Qua A dựng tiếp tuyến At với (O): 
+ Nếu At cắt xy tại P: dựng phân giác của góc tạo bởi At và xy, Phân giác đó cắt OA tại K. Dựng (K; KA) là đường tròn cần dựng.
+ Nếu At // xy: Dựng giao của OA với xy tại I, Dựng K là trung điểm của AI, dựng (K; KA)
0,25
0,5
0,5
Biện luận: + Nếu OA bài toán có 1 nghiệm hình.
+ Nếu OA không vuông góc xy thì At tạo với xy hai góc nên bài toán có 2 nghiệm hình.
0,25
0,25
Học sinh giải các cách khác phù hợp và đúng theo yêu cầu vẫn chấm điểm tối đa