Đề thi học sinh giỏi năm học: 2009 – 2010 môn: Toán 9

Phòng GD Huyện Long Điền	 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
Trường THCS Văn Lương	 Năm học : 2009 – 2010
 Môn : TOÁN 9 : 150 phút
Bài 1 ( 6 điểm )
Chứng minh rằng : là một số nguyên
Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 
Chứng minh : 
Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho : 
 với n là số nguyên lớn hơn 2
Bài 2 : ( 4 điểm )
Cho biểu thức : ( với )
Rút gọn P 
Chứng minh rằng : nếu 0 0
Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 3 : ( 5 điểm )
Cho nhọn. Trên đường cao AD ( ) lấy điểm I sao cho . Trên đường cao BE ( ) lấy điểm K sao cho . Chứng minh : CI = CK
Bài 4 : ( 5 điểm )
Cho vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có 2 đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M, cắt các đoạn thẳng AB , AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí điểm D và E để diện tích đđạt giá trị nhỏ nhất.
 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
Bài 1 : ( 6 điểm )
( 2 điểm ) Viết được ( 0,5 đ )
	 	( 0,5 đ )
	 = 1 	( 1 đ )
( 2 điểm ) 
* Vì a.b = 1 nên ( 1 đ )
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương 
 Ta có : 
Vậy ( 1đ )
( 2 đđiểm ) 
Viết được 
Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 99 (3) ( 0,75 đ )
Mặt khác : 100 
	 (4) ( 0,75đđ )
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
Vậy số cần tìm ( 0,5 đ )
Bài 2 ( 4 điểm ) 
Rút gọn 
 	 ( 1,5 đ ) 
 b) Với 0 0 
 Do đđó > 0 ( 1 đ )
c) Viết được 
Vậy Pmax = 	 ( 1,5 đ )
Bài 3 ( 5điểm ) ( hình vẽ 0,5 đ )
Viết được CI 2 = BD.BC 	(1 đ )
 CK 2 = CE.CA	 (1đ )
Chứng minh BD.BC = CE.CA	(1,5 đ )
 => CI 2 = CK2 => CI = CK	( 1 đ)
Bài 4 : ( 5 điểm )
-Vẽ 
Thì ta có H , K cố định 	(1 đ )
Chỉ ra 	( 1đđ )
Do đó SMDE = 
Với MH , MK không đổi ( vì M , H , K cố định ) 	( 1 đ )
Đẳng thức xảy ra 	.Luùc ñoù c/m ñöôïc D & E laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AC (1,5 đ )
Vậy khi D , E lần lượt là trung ñieåm cuûa AB , AC thì SMDE nhỏ nhất ( 0,5đ )