Đề thi thử vào Lớp 10 môn Toán và 5 Chuyên đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS ....
Ths: LÊ VĂN HƯNG
LUYỆN TẬP SÂU VÀ CÓ CHỦ ĐÍCH
5 CHỦ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀ 50 ĐỀ THI THỬ
VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN
E
F
K
O
CB
H
A
D 1
2
1
I
CẬP NHẬT - CHỌN LỌC - BÁM SÁT
NỘI DUNG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT THÀNH PHỐ HÀ NỘI
√
Bám sát đề thi nhất
√
Phương pháp tư duy hay nhất
√
Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập nhất
HÀ NỘI, 20 - 7 - 2018
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
MỤC LỤC
Lời nói đầu 5
Minh họa cấu trúc đề thi vào 10 Hà Nội 6
CHỦ ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN PHỤ
A. Lý thuyết.
1. Các công thức biến đổi căn thức .......................................................... 7
2. Cách xác định nhanh điều kiện của biểu thức ...................................... 7
3. Các bước rút gọn một biểu thức .......................................................... 9
B. Các dạng bài tập và phương pháp giải.
Các bài toán rút gọn căn thức chứa số.
Dạng 1. Tính giá trị cuả biểu thức A khi x = x0 ........................................ 11
Dạng 2. Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức ..................... 12
Dạng 3. So sánh biểu thức A với k hoặc .................................................. 13
Dạng 4. Tìm giá trị nguyên để của x để biểu A có giá trị nguyên ............ 14
Dạng 5. Tìm giá trị của x để biểu A có giá trị nguyên .............................. 15
Dạng 6. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức A ......... 16
Dạng 7. Chứng minh biểu thức A luôn luôn âm hoặc luôn luôn dương .... 18
Dạng 8. Chứng minh biểu thức thỏa mãn với điều kiện nào đó ............... 19
C. Luyện tập bài tập nhiều ý hỏi.
D. Một số câu về rút gọn và câu hỏi phụ đề tuyển sinh Hà Nội.
CHỦ ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phần I: Giải và biện luận hệ phương trình
A. Lý thuyết.
1. Hệ phương trình cơ bản ....................................................................... 27
2. Hệ phương trình không cơ bản ............................................................ 27
3. Hệ phương trình chứa tham tham số ................................................... 27
B. Các dạng bài tập và phương pháp giải.
Dạng 1. Giải hệ phương trình cơ bản ..................................................... 28
Dạng 2. Giải hệ phương trình không cơ bản ............................................ 29
Dạng 3. Giải hệ phương trình chứa tham tham số .................................. 31
C. Giới thiệu một câu về giải hệ phương trình của đề thi chính thức Hà Nội.
Phần II: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 1
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
A. Lý thuyết.
1. Phương pháp chung ............................................................................. 36
B. Các dạng bài tập và phương pháp giải.
Dạng 1. Tìm các chữ số tự nhiên ............................................................. 36
Dạng 2. Tính tuổi .................................................................................... 37
Dạng 3. Hình học .................................................................................... 37
Dạng 4. Toán liên quan đến tỉ số phần trăm ............................................ 38
Dạng 5. Toán làm chung công việc .......................................................... 40
Dạng 6. Bài toán liên quan đến sự thay đổi của tích ............................... 44
Dạng 7. Toán chuyển động ...................................................................... 45
C. Bài tập trắc nghiệm.
D. Một số câu giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình của đề chính thức
Hà Nội.
CHỦ ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - ĐƯỜNG THẲNG - PARABOL
A. Lý thuyết.
1. Hàm số y = ax+ b (a 6= 0) ...................................................................... 55
2. Hàm số y = ax2 (a 6= 0) .......................................................................... 55
3. Phương trình bậc hai một ẩn .............................................................. 56
4. Hệ thức vi - ét và ứng dụng ................................................................ 56
5. Phương trình quy về phương trình bậc hai ......................................... 57
6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình ........................................... 57
B. Các dạng bài tập và phương pháp giải.
Dạng 1. Tính giá trị của hàm số y = f(x) = ax2 tại x = x0 ......................... 58
Dạng 2. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số .................... 58
Dạng 3. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = ax2 (a 6= 0) ........................................ 59
Dạng 4. Xác định tham số ...................................................................... 59
Dạng 5. Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng ................... 59
Dạng 6. Xác định hệ số a, b, c của phương trình bậc hai ........................ 59
Dạng 7. Giải phương trình bậc hai .......................................................... 59
Dạng 8. Giải và biện luận phương trình bậc hai ...................................... 59
Dạng 9. Giải hệ phương trình hai ẩn gồm một ẩn .................................. 59
Dạng 10. Giải hệ phương trình có hai ẩn số ........................................... 60
Dạng 11. Hệ thức vi - ét và ứng dụng .................................................... 60
Dạng 12. Giải và biện luận phương trình trùng phương ......................... 62
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 2
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
Dạng 13. Giải một số phương trình, hệ phương trình ............................. 62
Dạng 14. Giải bài toán bằng cách lập phương trình ............................... 62
Tổng hợp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình.
Dạng 15. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc ............ 67
Dạng 16. Tìm điểm cố định của đường thẳng phụ thuộc tham số .......... 68
Dạng 17. Tìm tham số m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến .......... 68
C. Luyện tập tổng hợp.
D. Giới thiệu một số câu về phương trình bậc hai trong đề tuyển sinh Hà Nội.
CHỦ ĐỀ IV: HÌNH HỌC
A. Kiến thức cần nhớ lớp 7 ........................................................................ 74
B. Kiến thức cần nhớ lớp 8 ........................................................................ 75
C. Kiến thức lớp 9 ...................................................................................... 76
D. Các dạng cơ bản .................................................................................... 86
E. Phương tích giải các bài toán khó .......................................................... 93
F. Kĩ thuật tư duy các dạng hay hỏi .......................................................... 104
G. Một số đề thi chính thức Hà Nội .......................................................... 103
H. Các bài hình học để luyện tập phản xạ theo mô hình ........................... 108
CHỦ ĐỀ V: BÀI TOÁN MIN - MAX, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
THỨC
A. Lý thuyết.
1. Bất đẳng thức Cô - si ......................................................................... 113
2. Một số bổ đề thường dùng ................................................................. 113
3. Giải phương trình chứa căn thức ........................................................ 114
B. Các dạng bài tập và phương pháp giải.
Bài toán Min - Max.
Dạng 1. Kĩ thuật chọn điểm rơi .............................................................. 114
Dạng 2. Kĩ thuật khai thác giả thiết ....................................................... 116
Dạng 3. Kĩ thuật Cô - si ngược dấu ....................................................... 117
Giải phương trình chứa căn thức.
Dạng 1. Sử dụng biến đổi đại số ............................................................. 120
Dạng 2. Đặt ẩn phụ ................................................................................ 121
Dạng 3. Đánh giá .................................................................................... 123
C. Luyện tập sâu và có chủ đích.
ĐỀ MINH HỌA
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 3
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
Luyện tập bộ 10 đề do thầy Lê Văn Hưng sưu tầm biên soạn ................ 130
Luyện tập bộ 30 đề của thầy LÊ ĐỨC THUẬN chủ biên ........................ 140
Luyện tập bộ 10 đề thi thử không chuyên và đề chuyên ......................... 170
Tài liệu này sẽ liên tục được chỉnh sửa và cập nhật
.
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 4
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
LỜI NÓI ĐẦU
Với mong muốn tổng hợp những nội dung hay và bám sát theo đề thi tuyển sinh
vào 10 môn toán THPT, giải quyết được tất cả các bài toán trên lớp cho các em học
sinh, tôi đã sưu tầm và biên soạn tài liệu này để giúp các em học sinh khối 9 có cái nhìn
tổng quan về nội dung cần học.
Tài liệu này được siêu tầm trên nhiều nguồn, nhiều cuốn sách với sự trân trọng như
của thầy "LÊ ĐỨC THUẬN", ..., các đề thi của các trường trong cả nước và được viết
lại với ý tưởng của tôi. Tài liệu tổng hợp này có phân ra các chủ đề trọng tâm có cơ sở
lý thuyết, phân dạng bài tập rõ ràng và cụ thể, có các ví dụ mẫu minh họa với các cách
giải theo mô hình tư duy. Đặc biệt là 50 đề luyện tập sẽ giúp các em nâng cao kĩ năng
và tốc độ làm bài.
Dù đã rất cố gắng kiểm soát nội dung bài viết của tài liệu nhưng cũng không thể
tránh được những sai sót vì thế rất mong nhận được sự góp ý chân thành của bạn đọc.
Tài liệu sẽ luôn được cập nhật và chỉnh sửa để trở nên hay hơn nữa.
Xin chân thành cảm ơn!!!
Ý tưởng & biên soạn
LÊ VĂN HƯNG
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 5
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
MINH HỌA CẤU TRÚC ĐỀ THI VÀO 10 HÀ NỘI
DỰA TRÊN ĐỀ TUYỂN SINH
Bài I. (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (1,0 điểm).
b) Tìm giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện (0,5 điểm).
c) Bài toán phụ (0,5 điểm).
Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc
phương trình.
Bài III. (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (1,0 điểm).
2) (1,0 điểm)
a) Bài toán đường thẳng, parabol, phương trình bậc hai ... (0,5 điểm).
b) Bài toán đường thẳng, parabol, phương trình bậc hai ... (0,5 điểm).
Bài IV. (3,5 điểm) Hình học tổng hợp.
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp (hoặc chứng minh nhiều điểm cùng thuộc
một đường tròn) (1,0 điểm).
2) Tam giác đồng dạng, ..., hệ thức lượng trong tam giác (1,0 điểm).
3) Câu hỏi vận dụng (1,0 điểm).
4) Câu hỏi vận dụng cao (0,5 điểm).
Chú ý: Chứng minh phần nào thì có hình vẽ đúng phần đó mới có điểm.
Bài V. (0,5 điểm) Vận dụng cao.
1) Bài toán Min - Max (bất đẳng thức).
2) Giải phương trình ch ... ) Chứng minh rằng: AB2 = BH.BC.
2) Chứng minh: PB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3) Chứng minh ba điểm P , M , Q thẳng hàng.
4) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PA với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Khi A thay
đổi trên đường tròn (O). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng OP +OQ.
Bài V (0, 5 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x ≤ 1, y ≤ 1, z ≤ 1 và
x+ y + z =
3
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + z2.
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 174
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
ĐỀ 4: TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HÀ NỘI - Amsterdam 25/03/2018
Bài I (2, 0 điểm).
Cho biểu thức A =
x− 2
2 +
√
x
và B =
(
8x
√
x− 1
2x−√x −
8x
√
x+ 1
2
√
x+ x
)
:
2x+ 1
2x− 1 với x > 0; x 6=
1
2
; x 6= 1
4
.
1) Chứng minh khi x = 3 + 2
√
2 thì A =
5
√
2− 1
7
.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức
A
B
=
x− 2
4
√
x
.
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một phòng họp có 180 ghế và được chia thành các dãy có số ghế ở mỗi dãy đều bằng nhau. Nếu
kê thêm cho mỗi dãy 5 ghế và bớt đi 3 dãy thì số ghế trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu số
ghế trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy.
Bài III (2, 0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P ): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m− 2)x+ 3 với m
là tham số.
1) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d) luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía
của trục tung.
2) Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm A, B của (d) và (P ) với x1 < 0 < x2.
Xét các điểm A(x1);x
2
1), B(x2;x
2
2), C(x1; 0), D(x2; 0). Tìm tất cả các giá trị của m để hai tam
giác AOC và BOD có diện tích bằng nhau.
Bài IV (3, 5 điểm).
Cho đường tròn (O) đường kính AB = R. Trên đoạn OA lấy điểm I (I 6= A và O). Từ I Vẽ tia Ix
vuông góc với AB cắt (O;R) tại C. Lấy điểm E tùy ý trên cung nhỏ BC (E 6= B và C). Nối AE
cắt CI tại F . Gọi D là giao điểm của tia BC với tiếp tuyến tại A của (O;R).
1) Chứng minh rằng: BEFI là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: AE.AF = CB.CD.
3) Tia BE cắt tia CI tại K. Giả sử I và F lần lượt là trung điểm của AO và BC. Chứng minh
∆AIF ∼ ∆KIB từ đó tính độ dài đoạn IK theo R.
4) Khi I là trung điểm của OA và E chạy trên cung nhỏ BC. Tìm vị trí điểm E để biểu thức
EB + EC đạt giá trị lớn nhất.
Bài V (0, 5 điểm). Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1. Chứng minh:
1
2a− 1 +
1
2b− 1 +
1
2c− 1 +
4ab
1 + ab
+
4bc
1 + bc
+
4ca
1 + ca
≥ 9.
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 175
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
ĐỀ 5: THPT Nguyễn Tất Thành - 2018
Bài I (2, 0 điểm).
Cho biểu thức A =
(
1−
√
x√
x+ 1
)
:
(√
x+ 3√
x− 2 +
√
x+ 2
3−√x +
√
x+ 2
x− 5√x+ 6
)
1) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn A.
2) Tìm giá trị của x biết A =
√
x− 18
5
.
Bài II (1, 0 điểm). Cho phương trình (m− 1)x2 − 2mx + m− 2 = 0 ẩn x. Tìm m để phương trình
có một nghiệm x = −√2. Tìm nghiệm còn lại.
Bài III (1, 0 điểm). Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P ) và đường thẳng d có phương trình y = mx−1.
Tìm m để (d) và (P ):
1) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
2) Tiếp xúc nhau.
3) Không có điểm chung nào.
Bài IV (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Trong một phòng họp ghế được xếp theo hàng và số ghế mỗi hàng là bằng nhau. Nếu kê bớt đi
hai hàng và mỗi hàng bớt đi hai ghế thì tổng số ghế trong phòng họp đó giảm đi 80 ghế so với ban
đầu. Nếu xếp thêm một hàng và mỗi hàng xếp thêm hai ghế thì tổng số ghế trong phòng họp đó
tăng thêm 68 ghế so với ban đầu. Tính số hàng ghế và số ghế trong phòng họp đó lúc ban đầu.
Bài V (3, 5 điểm). CHo đường tròn (O;R). Qua điểm A cố định nằm ngoài đường tròn kẻ đường
thẳng d vuông góc với OA. Từ điểm B bất kì trên đường thẳng d (B không trùng với A), kẻ các tiếp
tuyến BA và BC với (O;R) (D, C là các tiếp điểm). Dây CD cắt OB tại N , cắt OA tại P .
1) Chứng minh rằng các tứ giác OCBD và BNPA là các tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: OA.OP = OB.ON = R2.
3) Cho ĈBO = 300 và R = 6cm. Tính diện tích tứ giác BCOD và diện tích hình được giới hạn
bởi cung nhỏ DC và dây DC.
4) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AO với đường tròn (O) ((O) nằm giữa A và E). Khi B
di chuyển trên đường thẳng d chứng minh trọng taam G của tam giác ACE thuộc một đường tròn
cố định.
Bài VI (1, 0 điểm).
1) Cho a, b, c là các số thực dương và a+ b+ c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
√
a2 + 4ab+ b2 +
√
b2 + 4bc+ c2 +
√
c2 + 4ca+ a2.
2) Giải phương trình: 5
√
x3 + 8 = 2(x2 − x+ 6).
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 176
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
ĐỀ 6: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 2018 (Vòng 1 đợt 1)
Bài I (3, 0 điểm).
1) Giải phương trình.
x2 + 1 +
√
x2 + x+ 2 = 2x+
√
3x+ 1.
2) Giải hệ phương trình.  x2 + 4y2 = 55x+ 10y + 4x2y + 8y2x = 27 .
Bài II (3, 0 điểm).
1) Tìm tất cả các ước số nguyên dương phân biệt của số n = (420)4.
2) Với a, b, c > 0 và min(ab, bc, ca ≥ 1). Chứng minh rằng:
(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) ≤
(
1 +
(
a+ b
2
)2)(
1 +
(
b+ c
2
)2)(
1 +
(
c+ a
2
)2)
.
Bài III (3, 0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O với BA > BC. Phân giác ngoài góc ABC cắt
đường thẳng qua A song song với BC tại P .
1) Chứng minh AP = AB.
2) Tiếp tuyến qua A của (O) cắt PB tại Q. BP cắt (O) tại M khác B. Chứng minh rằng:
MA2 = MQ.MP .
3) Gọi R đối xứng với Q qua AC. Chứng minh góc ÂPR = ĈPB.
Bài IV (1, 0 điểm). Giả sử số nguyên dương n có tính chất: có tồn tại một cách sắp xếp a1, a2, . . . ,
a2n của 2n số 1, 1, 2, 2, . . . , n, n sao cho với mỗi k = 1, 2, . . . , n luôn tồn tại đúng k số xếp giữa
hai số k. Chứng minh rằng n2 + n chia hết cho 4.
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 177
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
ĐỀ 7: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 2018 (Vòng 2 đợt 1)
Bài I (3, 0 điểm).
1) Giải hệ phương trình.  xy(x+ y) = 2y3 + y + 6 = 7x3 + x .
2) Với a, b, c là các số thực bất kỳ, chứng minh bất biểu thức.
Q =
a
a− b.
c
c− b +
b
b− c.
a
a− c +
c
c− a.
b
b− a .
nhận giá trị nguyên.
Bài II (3, 0 điểm).
1) Xét các số nguyên tố n1 < n2 < n3 < ... < n31. Giả sử n
4
1 + n
4
2 + ... + n
4
31 chia hết cho 30.
Chứng minh trong dãy số tồn tại 3 số nguyên tố liên tiếp.
2) Với x, y, z là các số thực thỏa mãn x3 + y3 + z3 − 3xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
A = x2 + y2 + z2.
Bài III (3, 0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC và P là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. D, E, F lần lượt là hình
chiếu của P lên BC, CA, AB. (I) là đường tròn ngoại tiếp ∆DEF .
1) Giả sử (I) cắt AB tại K khác F . Trung trực của DE cắt DK tại G. Chứng minh rằng G luôn
nằm trên một đường thẳng d cố định khi P thay đổi.
2) Lấy J thuộc d sao cho IJ//BP . Chứng minh rằng IJ và BC cắt nhau trên đường tròn (I).
Bài IV (1, 0 điểm). Chứng minh rằng với hợp số n > 4 không tồn tại một cách sắp xếp a1, a2, ... an
của các số 1, 2, ... n sao cho các số a1, a1a2, a1a2a3, ... a1a2...an có số dư đôi một phân biệt khi chia
cho n.
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 178
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
ĐỀ 8: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 03 - 03 - 2018
Bài I (3, 0 điểm).
1) Giải phương trình.
√
x2 + 8x+ 6 +
√
x2 − 1 = 2x+ 2.
2) Giải hệ phương trình. x2 − y2 + 3 = 4x+ 2yx2 + xy + y2 = 3 .
Bài II (3, 0 điểm).
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
x2 − 2xy − x+ y + 3 = 0
2) Với các só thực dương a, thỏa mãn a+ b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
a√
4− a2 +
b√
4− b2 .
Bài III (3, 0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC với E, F làn lượt là hình chiếu vuông góc của B C lên cạnh CA, AB. Gọi
M , N và Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BE, CF , CA và AB. Đường thẳng MN cắ CA,
AB lần lượt tại K, L.
1) Chứng minh rằng
KC
KE
=
LF
LB
.
2) Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác AKL nằm trên đường thẳng PQ.
Bài IV (1, 0 điểm). Cho 9 nguyên dương, mỗi số chỉ có các ước nguyên tố 2, 3, 5. Chứng minh rằng
trong 9 số này luôn tồn tại hai số mà tích của chúng bằng bình phương của một số nguyên.
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 179
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
ĐỀ 9: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 07 - 04 - 2018 (Toán chung đợt 3)
Bài I (3, 0 điểm).
1) Giải phương trình.
√
x+ 2(x+
√
2x+ 1) = x+ 2 + x
√
2x+ 1.
2) Giải hệ phương trình.  x3 + 2xy = 3x3 + 3x = 4y3 .
Bài II (3, 0 điểm).
1) Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho 2p2 + 1 là số nguyên tố.
2) Cho các số a, b thỏa mãn a2 − b2 = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2a− b.
Bài III (3, 0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC có B̂AC. Gọi O và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
1) Chứng minh BCHO là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh BH −HC = √3HO.
Bài IV (1, 0 điểm). Xếp 2018 quả bóng được đánh số từ 1 đến 2018 lên một đường tròn. Với hai
quả bóng bất kì được xếp kề nhau, ta tính hiệu của hai số ghi trên hai quả bóng (lấy số lớn trừ số
bé). Gọi S là tổng tất các hiệu đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 180
Ths: Lê Văn Hưng
Phone: 0165.849.4609
Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội
ĐỀ 10: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 08 - 04 - 2018 (Toán chuyên đợt
3)
Bài I (3, 0 điểm).
1) Giải phương trình.
√
x+ 1 + 2
√
4− x−√4 + 3x− x2 = 3x− 7.
2) Giải hệ phương trình. x3 − 9y3 = 18xy(x− y) = 6 .
Bài II (3, 0 điểm).
1) Tìm tất cả các số nguyên dương m (m > 1) sao cho tồn tại số nguyên n để n2 +2 và (n+1)2 +2
đều chia hết cho m.
2) Cho các số a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Chứng minh rằng
a+ b+ c >
√
a+
√
b+
√
c
Bài III (3, 0 điểm).
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB với AD > BC. Gọi (ω) là đường
tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại O. Gọi E là giao điểm của đường thẳng OD và (ω) (E khác
O) và I là giao điểm của đường phân giác ĈOD và đường thẳng BD.
1) Chứng minh BCIF là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ∆OCE.
Bài IV (1, 0 điểm). Xét tập S = {1, 2, 3, ..., 9, 10, 11}. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập S
thành hai tập con thì luôn tồn tại ba phần tử a, b, c thuộc cùng một tập con sao cho a+ b = c.
"KIẾN THỨC CỦA CHÚNG TA CHÍNH LÀ CÁI MIỆNG GIẾNG
MIỆNG GIẾNG CÀNG TO THÌ ĐÀO GIẾNG ĐƯỢC CÀNG SÂU".
—– CHÚC CÁC EM ÔN THI TỐT —–
TÀI LIỆU SẼ LUÔN ĐƯỢC CẬP NHẬT VÀ CHỈNH SỬA ĐỂ PHÙ HỢP VỚI CÁC
NĂM
—– TO BE CONTINUED —–
"Dạy học bằng toán học, không phải vì toán học" 181