Đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên khtn, năm 2011 môn thi: Toán học

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN, NĂM 2011
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1.
1. Giải hệ phương trình {
(x − 1)y2 + x + y = 3
(y− 2)x2 + y = x + 1.
2. Giải phương trình √
x +
3
x
=
x2 + 7
2(x + 1)
.
Câu 2.
1. Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên (x, y, z) thỏa mãn đẳng thức
x4 + y4 = 7z4 + 5.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức (x+ 1)4− (x− 1)4 = y3.
Câu 3. Cho hình bình hành ABCD với B̂AD < 90◦. Đường phân giác của góc B̂CD
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A
và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.
1. Chứng minh rằng ∆OBE = ∆ODC.
2. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
3. Gọi giao điểm của OC và BD là I. Chứng minh rằng IB.BE.EI = ID.DF.FI.
Câu 4. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
√
x3
x3 + 8y3
+
√
4y3
y3 + (x + y)3
.
www.VNMATH.com
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN, NĂM 2011
Môn thi: Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1.
1. Giải phương trình
(√
x + 3−
√
x
) (√
1− x + 1
)
= 1.
2. Giải hẹ phương trình
{
x2 + y2 = 2x2y2
(x + y)(1 + xy) = 4x2y2.
Câu 2.
1. Với mọi số thực a, ta ký hiệu [a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. Chứng
minh rằng với mọi số nguyên dương n thì biểu thức
n +
[
3
√
n−
1
27
+
1
3
]2
không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên.
2. Với x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy+ yz + zx = 5. Tìm GTNN của biểu
thức
P =
3x + 3y + 2z√
6(x5 + 5) +
√
6(y2 + 5) +
√
z2 + 5
.
Câu 3. Cho hình thang ABCD với BC ‖ AD. Các góc B̂AD và ĈDA là các góc
nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở I. Gọi P là điểm bất kì trên đoạn thẳng
BC (P 6= B, C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp △BIP cắt đoạn thẳng PA ở M khác P
và đường tròn ngoại tiếp △CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác P.
1. Chứng minh rằng 5 điểm A, M, I, N, D cùng thuộc một đường tròn, gọi đường
tròn này là (K)
2. Giả sử BM cắt CN ở Q. Chứng minh Q cũng thuộc (K).
3. Trong trường hợp P, I, Q thẳng hàng, chứng minh rằng
PB
PC
=
BD
CA
.
Câu 4. Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên N. Tập A có phần tử nhỏ
nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x ∈ A, x 6= 1 luôn tồn tại a, b ∈ A sao cho
x = a + b (a có thế bằng b). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất.
———————–Hết————————
www.VNMATH.com