Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Chuyên đề 1:Các phép tính về số hữu tỉ
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1: Tớnh : A = + 
HD: A = + == 
Bài 2: Tính: A = 
HD: A = = = 
Bài 3: Tớnh bằng cỏch hợp lý nhất:
a) b) c) 
HD: a) = 
Bài 4 Tính
Bài 5: Tính
a) b)
c) d) 
Bài 6 Tìm x biết a) b)
HD: a) 
 (x – 2010) = 0
 x= 2010
DẠNG 2: LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
1. Luỹ thừa với số mũ nguyên âm: với x ạ 0
2. So sánh hai luỹ thừa
a. Cùng cơ số: Với m > n > 0 thì:
x > 1 xm > xn
x = 1 xm = xn
0 xn
b. Cùng số mũ: n ẻ N* 
Với x > y > 0. Nếu 
x > y thì xn > yn
x > y x2n+1 > y2n+1
 > x2n > y2n
(- x)2n = x2n
(- x)2n+1 = - x2n+1
Bài 1: Tính: a) b) 
HD: a) = = 32 b) = = 32 = 9
Bài 2: So sánh các số sau: 2300 và 3200
HD: So sánh 2 luỹ thừa thì ta phải đưa 2 luỹ thừa đó về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
Ta có: 2300 = (23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100 Vì 8100 < 9100 2300 < 3200
Bài 3: Chứng minh rằng: a) 109 + 108 + 107 chia hết cho 111
 b) 817 - 279 - 913 chia hết cho 45.
HD: Ta phân tích biểu thức ban đầu thành 1 tích sao cho biểu thức đó chứa một thừa số là số chia hết cho các số cần CM
a) Ta có: 109 + 108 + 107 = 107(102 + 10 + 1) = 107.111 111
b) 817 - 279 - 913 = 328 - 327 - 326 = 324(34 - 33 - 32 ) = 324 . 45 45
Bài 4: Tìm n biết a) b) 3-2 . 34 . 3n = 37; c) 2-1 . 2n +4.2n = 9.25
HD: Đưa cả 2 vế thành các luỹ thừa có cùng số mũ hoặc có cùng cơ số.
a) 3-2.33n = 3n 33n – 2 = 3n 3n – 2 = n 2n = 2 n = 1
b) 32 + n = 37 2 + n = 7 n = 5
c) (4 + 2-1) 2n = 9. 25 2n = 9. 25 2n = 26 n = 6
Bài 5: Tìm số nguyên dương n biết:
a) 32 4 c) 9.27 3n 243
HD: a) 25 2n > 2 2 n = 3; 4
c) 35 Ê 3n Ê 35 x = 5
 Chuyên đề 2
TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
DẠNG I: TèM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
Vớ dụ 1: Tỡm hai số x và y biết và 
Giải:
Cỏch 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt , suy ra: , 
Theo giả thiết: 
Do đú: 
KL: 
Cỏch 2: (sử dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 
Do đú: 
KL: 
Cỏch 3: (phương phỏp thế)
Từ giả thiết 
mà 
Do đú: 
KL: 
Vớ dụ 2: Tỡm x, y, z biết: , và 
Giải:
Từ giả thiết: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (*)
Ta cú: 
Do đú: 
KL: 
Cỏch 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt ( sau đú giải như cỏch 1 của VD1).
Cỏch 3: (phương phỏp thế: ta tớnh x, y theo z) 
Từ giả thiết: 
mà 
Suy ra: , 
KL: 
Vớ dụ 3: Tỡm hai số x, y biết rằng: và 
Giải: 
Cỏch 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt , suy ra , 
Theo giả thiết: 
+ Với ta cú: 
+ Với ta cú: 
KL: hoặc 
Cỏch 2: ( sử dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiờn x
Nhõn cả hai vế của với x ta được: 
+ Với ta cú 
+ Với ta cú 
KL: hoặc 
Cỏch 3: (phương phỏp thế) làm tương tự cỏch 3 của vớ dụ 1.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng: 
a) và b) , và 
c) và d) và 
 e) và f) 
Bài 2: Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng: 
a) và b) , và 
c) và d) và 
 e) và f) 
Bài 3: Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng: 
a) và b) và 
c) và d) và 
e) f) và 
Bài 4: Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng: 
a) và b) và 
c) và d) và 
e) f) và 
Bài 5: Tỡm x, y biết rằng: 
Bài 6: Tỡm x, y biết rằng: 
Bài 7: Cho và 
Tỡm giỏ trị của: 
Giải: ( Vỡ)
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4
Bài 8: Tỡm cỏc số x; y; z biết rằng:
a) và 5x – 2y = 87;	b) và 2x – y = 34;
b) và x2 + y2 + z2 = 14. c) 
Bài 9: Tỡm cỏc số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 10: Tỡm cỏc số x, y, z biết :
x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
x + y = x : y = 3.(x – y)
Giải a) Đỏp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
	 b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khỏc 0 nờn 2y – x = 0, do đú : x = 2y.
	 Từ đú tỡm được : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 11. Tỡm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai
lần tổng của a và b ?
Giai. Rỳt ra được: a = - 3b, từ đú suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: . Biết a+b+c.Tỡm giỏ trị của mỗi tỉ số đú ?
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tớnh số học sinh của trường đú?
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
 Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dựng một số phương phỏp sau:
Phương phỏp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C 
Phương phỏp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số và cú cựng giỏ trị.
Phương phỏp 3: Sử dụng tớnh chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chỳ ý:
+) +) 
Sau đõy là một số vớ dụ minh họa: ( giả thiết cỏc tỉ số đều cú nghĩa)
Vớ dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: 
Giải:
Cỏch 1: (PP1)
Ta cú: (1)
 (2) 
Từ giả thiết: (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: (đpcm)
Cỏch 2: (PP2)
Đặt , suy ra 
Ta cú: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Cỏch 3: (PP3)
Từ giả thiết: 
Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 
 (đpcm)
Hỏi: Đảo lại cú đỳng khụng ?
Vớ dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
Giải:Cỏch 1: Từ giả thiết: (1)
Ta cú: (2)
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 (đpcm)
Cỏch 2: Đặt , suy ra 
Ta cú: (1) 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Cỏch 3: Từ giả thiết: 
 (đpcm)
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta cú cỏc tỉ lệ thức sau: (với giả thiết cỏc tỉ số đều cú nghĩa).
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: .
Chứng minh rằng ta cú cỏc tỉ lệ thức sau: (với giả thiết cỏc tỉ số đều cú nghĩa).
a) b) c) 
d) e) f)
g) h) i) 
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 5: Cho Chứng minh rằng: 
Bài 6: Cho dóy tỉ số bằng nhau: 
	CMR: Ta cú đẳng thức: 
Bài 7: Cho và 
Chứng minh rằng: 
Bài 8: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Bài 9: Chứng minh rằng nếu : thỡ 
Bài 10: Cho và 
Chứng minh rằng: 
Bài 11: CMR: Nếu thỡ . Đảo lại cú đỳng khụng?
Bài 12: Chứng minh rằng nếu : thỡ 
Bài 13: Cho . CMR: 
Bài 14. Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: .
Giải. Ta cú : =;
Bài 15: Chứng minh rằng nếu: thỡ 
Bài 16: CMR: Nếu thỡ . Đảo lại cú đỳng khụng?
Bài 17: CMR nếu 
trong đú a, b,c khỏc nhau và khỏc 0 thỡ : 
Bài 18: Cho . CMR: 
Bài 19: Cho . Cỏc số x, y, z, t thỏa món: và 
Chứng minh rằng: 
Bài 20: Chứng minh rằng nếu: thỡ 
Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khỏc 0 thỏa món: và 
Chứng minh rằng: 
Bài 22: CMR nếu .Trong đú a, b,c khỏc nhau và khỏc 0 thỡ : 
Bài 23: Cho . Chứng minh rằng nếu thỡ giỏ trị của P khụng phụ thuộc vào x. 
Bài 24: Cho biết : . CMR: abc + a’b’c’ = 0.
Bài 25: Cho . Cỏc số x, y, z, t thỏa món: và 
Chứng minh rằng: 
Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khỏc 0 thỏa món: và 
Chứng minh rằng: 
Bài 27: Cho . Chứng minh rằng nếu thỡ giỏ trị của P khụng phụ thuộc vào x.	
Bài 28: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: .
Bài 29: Cho dóy tỉ số : ; CMR: .