Giáo án Đại số lớp 9 - Tứ giác nội tiếp

OD
A
B
C
TỨ GIÁC NỘI TIẾP 
1.ĐỊNH NGHĨA: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường 
tròn ta gọi là tứ giác nội tiếp trong đường tròn ( gọi tắt là tứ 
giác nội tiếp ). 
2.ĐỊNH LÝ1: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc 
đối bằng 1800 
Chứng minh: Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp được trong 
đường tròn, ta chứng minh   0180A C  ( hay   0180B D  ). 
Ta có: 
 
 
1
2
1
2
DAB DCB
DCB DAB
 

 

    0 01 1( ) 360 180
2 2
DAB DCB DCB DAB      
Tức là:   0180A C  
3.ĐỊNH LÝ 2: Đảo lại, nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc 
đối bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được trong đường tròn. 
Chứng minh: Giả sử tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc 
  0180A C  ta chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được 
trong đường tròn. Vì luôn có đường tròn đi qua ba đỉnh của 
một tam giác nên ta dựng đường tròn (O) đi qua ba đỉnh A, 
B, D. Và ta chứng minh điểm C cũng nằm trên đường tròn 
này. Thật vậy ta có: 
n
m
O
B
A
D
C
Cung BmD là cung chứa góc 0180 A ( nghĩa là mọi điểm 
nằm trên cung BmD đều nhìn đoạn thẳng BD dưới một góc 
là 0180 A ). Mà  0180BCD A  ( giả thiết ) nên điểm C 
cũng thuộc cung BmD , tức là bốn điểm A, B, C, D thuộc 
đường tròn (O). 
AB
C
D
A
B
C
D
E
4.DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP: 
- DH 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 
- DH 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong 
của đỉnh đối diện. 
- DH 3: Nếu tam giác ABC có đoạn thẳng DE cắt và tạo 
ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ:
B D B E
B C B A
 
 thì tứ giác ADEC nội tiếp. 
- DH 4: Nếu ta xác định được một điểm cách đều bốn 
đỉnh của tứ giác thì tứ giác đó nội tiếp. 
- DH 5: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh 
chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì tứ 
giác đó nội tiếp. 
D C
BA
1
2
2
1
1
1
O
I
B C
A
H
5. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác BN. Từ A 
kẻ một tia vuông góc với tia BN cắt BC tại H. Gọi O là tâm 
đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh bốn A, O, 
H, C cùng nằm trên một đường tròn. 
Bài 2: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại M và 
P. Tiếp tuyến tại M của (O1) cắt (O2) tại A, tiếp tuyến tại 
M của (O2) cắt (O1) tại B. Trên tia đối của tia PM lấy H 
sao cho PH = PM. Chứng minh bốn điểm M, A, H, B thuộc 
một đường tròn. 
Giải: 
Bài 1: 
MO1
P
O2
H
A
B
 Cách 1: Ta sẽ chứng minh góc A1 bằng góc C1 từ đó suy 
ra điều phải chứng minh. 
Ta có:  01 190A O  ( vì ∆ AOI vuông tại I ) 
Mà   1 2 2O A B  ( góc ngoài của tam giác ) 
 = 
 
2 2
A B
 
Vậy 
 
0
1 90 ( )2 2
A BA    
Ta lại có: 
  0
1
180 ( )
2 2
C A BC    = 
 
090 ( )
2 2
A B
  
Vậy 
 
1 1A C 
Cách 2: Ta chứng minh góc  1OAC H 
Ta có  2O A C A ( do OA là phân giác ) 
Mặt khác tam ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường 
cao nên ∆ ABH cân tại B, vậy BI là trung trực của đoạn 
thẳng AH mà B và O đều nằm trên đường trung trực BI 
nên suy ra  2 1A H hay  1OAC H 
Bài 2: 
Ta có 
 
 
1 1
2 1
M A
M B


 ∆ BMP đồng dạng ∆ MAP 
Nên 
BM MA MA
BP MP PH
  
MB PB
MA PH
  . Mà ta có 
 BMA BPA . Vậy ∆ BMA đồng dạng ∆ BPH, tức là 
 BAM BHP (đpcm ). 
Vẫn còn cách khác mời các em tìm xem. Chúc thành 
công. 
 Thầy Nguyễn Hoàng Lâm 
 Cellphone 01666 34 94 73