Giáo án môn Toán 9 - Chuyên đề: Tứ giác - Năm học 2018-2019 - Nguyễn Văn Chung

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
HỘI THI GVDG CẤP TỈNH BẬC TRUNG HỌC, VÒNG 3 CHU KỲ 2016-2019
 CHUYÊN ĐỀ:
 TỨ GIÁC
 Họ tên: Nguyễn Văn Chung
 Môn: Toán
 Trường: THCS Trí Yên
 Huyện: Yên Dũng
 Bắc Giang, ngày 12 tháng 12 năm 2018 MỤC LỤC
 Nội dung Trang
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tứ giác 3
2. Hình thang, hình thanh vuông 3
3. Hình thang cân 3
4. Đường trung bình của tam giác 3
5. Đường trung bình của hình thang 4
6. Hình bình hành 4
7. Hình chữ nhật 4
8. Hình thoi 5
9. Hình vuông 5
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Sử dụng tính chất về góc và tính chất của các loại tứ giác để chứng minh 
và tính toán. 6
Dạng 2. Sử dụng tính chất của các hình tứ giác, tính chất đường trung bình để 
chứng minh các yếu tố hình học. 8 
Dạng 3. Sử dụng tính chất và dấu hiệu nhận biết của các hình tứ giác để chứng 
minh. 11 
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
1 .BÀI TẬP TỰ LUẬN 16
2.BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 19
3. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
3.1 Tự luận 20
3.2. Trắc nghiệm 29
D. ĐỀ MINH HỌA THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
ĐỀ BÀI 29
ĐÁP ÁN 31
 1 * Danh sách các kí hiệu sử dụng
 Số TT Kí hiệu Chú thích
 1 Thuộc
 2  Vuông góc
 3 Khác
 4 // Song song
 5 => Suy ra
 6 Khi và chỉ khi
* Danh sách các tài liệu tham khảo:
- Sách giáo khoa toán 8 – tập 1 của nhà xuất bản giáo dục Việt Nam;
- Sách bài tập toán 8 - tập 1 của nhà xuất bản giáo dục Việt Nam;
- Sách bồi dưỡng học sinh lớp 8 môn hình học của nhà xuất bản giáo dục Việt Nam;
- Sách một số chuyên đề hình học lớp 8;
- Tài liệu trên Internet.
 2 Chuyên đề số: 16, lớp 8
 TÊN CHUYÊN ĐỀ: TỨ GIÁC
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tứ giác
a. Định nghĩa
– Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất ki hai đoạn thẳng 
nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
 B
– Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có A
bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.
b. Tính chất
- Tổng các góc trong một tứ giác bằng 3600.
 µ µ µ µ 0
- Tứ giác ABCD có A B C D 360 D C
2. Hình thang, hình thanh vuông
– Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
– Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
3. Hình thang cân
a. Định nghĩa
 – Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy 
bằng nhau. A B
- ABCD là hình thang cân (đáy AB và CD)
 AB / /CD
 µA Bµ Hoặc Cµ Dµ
b. Tính chất D C
Trong hình thang cân
- Hai cạnh bên bằng nhau.
– Hai đường chéo bằng nhau.
c. Dấu hiệu nhận biết
– Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
– Hình thang có hai đương chéo bằng nhau là hình thang cân.
4. Đường trung bình của tam giác
a. Định nghĩa
- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai 
 A
cạnh của tam giác.
 _
b. Tính chất //
- Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và D E
bằng nủa cạnh ấy. _
 //
– Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song 
song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. B C
 3 5. Đường trung bình của hình thang
a. Định nghĩa A B
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung 
 =
điểm hai cạnh bên của hình thang.
 E F
b. Tính chất
– Đường trung bình của hình thang thì song song với hai =
đáy và bằng nửa tổng hai đáy. D C
– Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình 
thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
6. Hình bình hành
a. Định nghĩa
- Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
 AB / / CD A
- ABCD là hình bình hành ⇔ B
 AD / /BC
Nhận xét. Hình bình hành là một hình thang có hai cạnh 
bên song song O
b. Tính chất D C
 Trong hình bình hành:
– Các cạnh đối bằng nhau.
– Các góc đối bằng nhau.
– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
c. Dấu hiệu nhận biết
– Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
– Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
– Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
– Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
– Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
7. Hình chữ nhật
a. Định nghĩa
- Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. A B
- Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, cũng là một hình 
thang cân.
 O
- Tứ giác ABCD là hình chữ nhật ⇔ µA Bµ Cµ Dµ 900
b. Tính chất D C
- Hình chữ nhật là có tất cả các tính chất của hình bình hành và 
hình thang cân.
- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
c. Dấu hiệu nhận biết
– Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
– Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
 4 – Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
– Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
d. Áp dụng vào tam giác vuông
 A
– Trong một tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh 
huyền bằng nửa cạnh huyền.
– Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một 
cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác 
 // // C
vuông. B M
8. Hình thoi
a. Định nghĩa
– Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
- Tứ giác ABCD là hình thoi AB = BC = CD = DA B
* Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành
b. Tính chất
 _ /
- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
- Trong hình thoi : A C
 O
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.
 _
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình /
thoi.
c. Dấu hiệu nhận biết hình thoi D
– Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
– Hình bình hành có hai cạnh bằng nhau là hình thoi.
– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
– Hình bình hanh có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
9. Hình vuông
a. Định nghĩa
– Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh A / B
bằng nhau.
- Tứ giác ABCD là hình vuông _ _
 µA Bµ Cµ Dµ 900
 AB BC CD DA
 C / D
b. Tính chất
– Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
c. Dấu hiệu nhận biết hình vuông
– Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
– Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
– Hình chữ nhật có một đường chéo là được phân giác của một góc là hình vuông.
– Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
– Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
 5 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ GÓC VÀ TÍNH CHẤT CỦA CÁC LOẠI TỨ GIÁC 
ĐỂ CHỨNG MINH VÀ TÍNH GÓC VÀ TÍNH CẠNH
1. Phương pháp chung
 Sử dụng các tính chất: 
- Tính chất về góc của một tam giác, một tứ giác: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600 
- Tính chất về góc của hình thang: Trong hình thang, hai góc kề một cạnh bên bù nhau.
- Tính chất của hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, ...
- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD có µB 1200 , µC 600 , µD 900 . Tính góc A và góc ngoài tại đỉnh A.
Lời giải
Xét tứ giác ABCD có:
µA Bµ Cµ Dµ 3600 (Tính chất tổng các góc của A B
 x
một tứ giác)
Mà µB 1200 , µC 600 , µD 900
=> µA 1200 600 900 3600
=> µA 900 .
Ta có x· AD là góc ngoài tại đỉnh A D C
=> x· AD µA 1800
Mà µA 900 => x· AD 900
Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có µA µD 200, µB 2µC . Tính các góc của hình 
thang.
Lời giải
Ta có: ABCD là hình thang (AB // CD)
 0
=> µA Dµ 180 (Hai góc kề cạnh bên) A B
Mà µA µD 200 => 2µA 1800 200
=> µA 1000 => Dµ 800
Tương tự ta cũng có Bµ Cµ 1800 (Hai góc kề cạnh 
bên) D C
Mà µB 2µC => 3Cµ 1800 => Cµ 600
=> µB 2.600 1200
Vậy: µA 1000 ; µB 1200 ; Cµ 600 ; Dµ 800 .
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD biết số đo của các góc µA, µB, µC, µD tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 và 10.
Tính số đo các góc của tứ giác ABCD.
Lời giải
Theo tính chất về tổng các góc của một tứ giác ta có: µA+ µB+ µC+ µD 3600 (1).
Theo đề bài có số đo của các góc µA, µB, µC, µD tỉ lệ với 5; 8; 13 và 10 nên ta có
 6 µA Bµ Cµ Dº
 (2)
5 8 13 10
Từ (1) và (2) áp dụng tính chất của dãy các tỉ số bằng nhau, ta có
µA Bµ Cµ Dº µA+ Bµ + Cµ + Dµ 3600
 100 .
5 8 13 10 5 8 13 10 36
 µA
Do đó: 100 µA 500
 5
 Bµ
 100 Bµ 800
 8
 Cµ
 100 Cµ 1300
 13
 Dµ
 100 Dµ 1000
 10
Vậy µA 500 ; Bµ 800 ;µC 1300 ; Dµ 1000.
Ví dụ 4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có cạnh bên bằng đáy nhỏ và bằng 4cm, một góc 
bằng 600. Hãy tính chu vi và đường trung bình của hình thang ABCD.
Lời giải
Xét hình thang cân ABCD có 
 A B
AB = AD = BC = 4cm và µD 600 . /
Kẻ AE // BC
 M / N
=> Tứ giác ABCE là hình bình hành (Vì AB // CE và \
AE // BC)
 600
=> AB = CE = 4cm (Tính chất hình bình hành) C
 D E
Mặt khác ta lại có ·AED µC (Hai góc đồng vị)
Mà µC µD 600 (ABCD là hình thang cân)
=> ·AED 600
Xét ADE có µD ·AED 600 => ·EDA 600
Do đó => ADE đều => AD = DE = 4cm
Mà CD = CE + DE => CD = 4 + 4 = 8cm
Do đó chu vi của hình thang cân ABCD là AB + BC + CD + DA = 4 + 4 + 4 + 8 = 20(cm).
* Tính độ dài đường trung bình.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC
=> MN là đường trung bình của hình thang ABCD
 AB CD
=> MN = (Tính chất đường trung bình của hình thang)
 2
 4 8
=> MN 6(cm)
 2
Ví dụ 5. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tổng các góc của một tứ giác bằng 1800 
B. Tổng các góc của một tứ giác bằng 2700 
C. Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600 
D. Một kết quả khác.
 7 Đáp án. C.
Ví dụ 6. Cho tứ giác ABCD có µA 700 ; Bµ 1050 ; Dµ 1100 . Số đo của góc Cµ là
A. 750 B. 850 C. 700 D. 650.
Hướng dẫn
Cách 1. Ta đi tính số đo góc Cµ 3600 µA Bµ Dµ 
 3600 (700 1050 1100 ) 750
Cách 2. Ta đi tính tổng µA+ µB+ µC+ µD với góc C lần lượt là các giá trị đã cho. Giá trị nào cho 
kết quả 3600 là đáp án đúng.
Đáp án: A.
Ví dụ 7. Khẳng định nào sâu đây không đúng?
A. Tứ giác có hai góc kề một cạnh bù nhau là hình thang.
B. Mỗi góc ngoài của tứ giác bằng tổng các góc trong không kề với nó.
C. Trong hình thang cân, các góc đối bù nhau.
D. Hình bình hành có tổng các góc bằng 3600.
Đáp án. B
Ví dụ 8. Hình thoi có độ dài hai đường chéo là 6 và 8. Khi đó độ dài cạnh của hình thoi là
A. 7 B. 14 C. 5 D. Một kết quả khác
Hướng dẫn
Vì hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó cạnh 
của hình thoi là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là hai nửa hai đường chéo 
của hình thoi nên áp dụng định lý Pitago để tính cạnh huyền này bằng 32 42 5
Đáp án C.
DẠNG 2. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA CÁC HÌNH TỨ GIÁC; TÍNH CHẤT ĐƯỜNG 
TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG ĐỂ CHỨNG MINH
1. Phương pháp chung.
Sử dụng các tính chất sau:
- Tính chất của các hình: Hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. 
- Tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang
- Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.
- Tính chất và dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
- Tiên đề Ơclit về hai đường thẳng song song
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD).
a) Chứng minh: ·ACD ·BDC .
b) Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: EA EB .
Lời giải
a) Xét ACD và BDC có:
 8 AD = BC (Tính chất của hình thang cân)
 CD - cạnh chung A B
 AC = BD (Tính chất của hình thang cân)
Do đó suy ra: ACD = BDC (c.c.c)
=> ·ACD ·BDC (Hai góc tương ứng) E
b) Ta có: AB // CD (giả thiết)
=> ·ACD ·CAB và ·DBA ·BDC (Hai góc so le trong) D C
Mà ·ACD ·BDC (Câu a)
=> ·CAB ·DBA Hay ·EAB ·EBA => EAB cân tại E
=> EA = EB.
* Nhận xét 
- Khi chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau ta thường đi chứng minh chúng 
là hai cạnh tương ứng, hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
- Ở câu b ta có thể chỉ ra ECD cân tại E để chứng minh EC = ED rồi suy ra EA = EB.
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, M 
và N là giao điểm của AI và CK với BD.
a) Chứng minh: AI // CK
b) Chứng minh: DM = MN = NB
c) Gọi O là trung điểm của BD. Chứng minh IK đi qua điểm O.
Lời giải
 A K B
a) Ta có: ABCD là hình bình hành (giả thiết)
 N
=> AB // CD và AB = CD
 M
Mà K AB: AK = KB và I CD: CI = ID (giả thiết) O
=> AK // CI và AK = CI
 D C
Do đó suy ra tứ giác AKCI là hình bình hành (Dấu hiệu I
nhận biết hình bình hành)
=> AI // CK.
b) Xét tam giác ABM có:
K là trung điểm của AB (giả thiết).
KC // AI (câu a) hay KN // AM.
Do đó suy ra N là trung điểm của BM (Định lí về đường trung bình của tam giác)
=> MN = NB. (1)
Chứng minh tương tự, trong tam giác CDN ta cũng có DM = MN (2)
Từ (1) và (2) => DM = MN = NB.
c) Ta có: ABCD là hình bình hành (giả thiết) 
nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm của BD (giả thiết)
=> O cũng là trung điểm của AC. (3)
Ta lại có: AKCI là hình bình hành (câu a)
 9 Nên AC và KI cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (4)
Từ (3) và (4) => KI đi qua điểm O.
* Nhận xét. Câu c còn có thể hỏi như sau: Chứng minh 3 điểm K, O, I thẳng hàng, hay chứng 
minh 3 đường thẳng AC, BD và IK đồng quy.
Do vậy, phương pháp chứng minh câu c cũng chính là một trong những phương pháp chứng 
minh 2 bài toán nêu trên.
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy 
điểm F sao cho AE = CF.
a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.
b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh BI = DI.
c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Lời giải.
Xét ADE và CDF có
 · · 0
 DAE DCF 90 A B
 E
 AD = CD (ABCD là hình vuông)
 AE = CF (giả thiết)
 Do đó => ADE = CDF (c.g.c) O
=> DE = DF (Hai cạnh tương ứng) (1)
 · ·
và ADE CDF (Hai góc tương ứng) C
 · · · 0 D
Mà ADE EDC ADC 90 I
=> C· DF E· DC 900
Hay E· DF 900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra EDF vuông cân tại D.
b) Ta có EDF vuông cân tại D (Câu a)
Mà EI = IF (giả thiết)
 EF
Suy ra DI 
 2 F
 EF
Tương tự ta cũng có BEF vuông cân tại B nên BI 
 2
Do đó suy ra: BI = DI.
c) Ta có ABCD là hình vuông (giả thiết)
=> AC  BD tại O và OB = OD (tính chất hình vuông)
=> AC là đường trung trực của BD hay CO là đường trung trực của BD. (3)
Mặt khác: Ta có: BI = DI (câu b)
=> I thuộc đường trung trực của DB (4).
Từ (3) và (4) suy ra I thuộc đường thẳng CO
=> Ba điểm O, C, I thẳng hàng.
Ví dụ 4. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trong hình bình hành
A. Hai góc kề một đáy bằng nhau. B. Hai đường chéo bằng nhau.
 10 C. Các góc đối bù nhau. D. Các cạnh đối bằng nhau.
Đáp án. D.
Ví dụ 5. Khẳng định nào sau đây không đúng khi nói về hình chữ nhật?
A. Các cạnh đối song song.
B. Các góc đối bằng nhau.
C. Hai đường chéo vuông góc với nhau.
D. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Đáp án. C.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Biết AB = 6 cm, AC = 8 
cm. Độ dài của AM bằng:
A. 7 cm; B. 5 cm; C. 14 cm; D. Một kết quả khác.
Hướng dẫn
Ta có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABC nên 
 1
AM BC . Do đó để tính được AM ta phải tính cạnh huyền BC theo định lý Pitago
 2
Đáp án. B
DẠNG 3. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CỦA CÁC HÌNH TỨ 
GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH
1. Phương pháp chung
 Sử dụng các tính chất và các dấu hiệu nhận biết sau:
- Tính chất của các hình: Hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. 
- Tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang
- Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.
- Dấu hiệu nhận biết các hình: Hình thang cân; hình bình hành; hình chữ nhật; hình thoi; hình 
vuông.
2. Các ví dụ
Ví dụ. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC.
a) Chứng minh BE DF và ·ABE ·CDF .
b) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành.
c) Chứng minh các đường thẳng EF, DB và AC đồng qui.
Lời giải
a) Ta có ABCD là hình bình hành (giả thiết) A
Suy ra: AB = CD; µA Cµ (1) và AD = BC (tính chất B
hình bình hành) E
 AD BC
Mà AE = DE = ; BF = CF = (giả thiết) O F
 2 2
Nên suy ra: AE = CF (2). D C
Từ (1) và (2) => ABE = CDF (c.g.c)
 11 => BE = DF (hai cạnh tương ứng) và ·ABE ·CDF (hai góc tương ứng).
b) Ta có AD // BC và AD = BC (tính chất hình bình hành)
 AD BC
Mà E AD và AE = DE = ; F BC và BF = CF = 
 2 2
Do đó suy ra DE // BF và DE = BF.
=> Tứ giác BEDF là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. (3)
=> O là trung điểm của AC và BD (Do ABCD là hình bình hành) (*)
Mặt khác: ta có BEDF là hình bình hành (câu b)
=> BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành).
Mà O là trung điểm của BD (theo (*))
=> EF phải cắt BD tại O hay EF đi qua điểm O (4)
Từ (3) và (4) => Ba đường thẳng EF, DB và AC đồng qui.
* Nhận xét. Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hay chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta 
thường sử dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành (Hay hình chữ nhật, hình thoi, hình 
vuông). Cụ thể:
- Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Ta có thể đi chứng minh 3 điểm ấy là hai đỉnh và giao điểm 
hai đường chéo của một hình bình hành (Hay hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
- Chứng minh ba đường thẳng đồng quy: Ta có thể đi chứng minh 2 trong 3 đường thẳng ấy là 
hai đường chéo của hình bình hành (Hay hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, µA 600 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm 
của BC và AD.
a) Chứng minh AE  BF.
b) Chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân.
c) Lấy điểm M đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật.
d) Chứng minh ba điểm M, E, D thẳng hàng.
Lời giải
a) Ta có: ABCD là hình bình hành (giả thiết)
=> AD // BC và AD = BC (tính chất hình bình hành)
 AD
Mà F AD và AF = DF = , M
 2
 BC
 E BC và BE = EC = .
 2
Do đó => AF // BE và AF = BE. B E
=> Tứ giác ABEF là hình bình hành (Dấu hiệu nhận C
biết hình bình hành) (1)
Mặt khác ta có: AD = 2AB (giả thiết)
=> AF = AB. (2) A F D
Từ (1) và (2) => tứ giác ABEF là hình thoi (Dấu hiệu 
 nhận biết hình thoi)
 12 => AE  BF (Tính chất hình thoi).
b) Ta có AD // BC (ABCD là hình bình hành)
=> DF // BC.
=> Tứ giác BCDF là hình thang. (3)
 Xét ABF có AB = AF (theo (2))
=> ABF cân. Mà µA 600 (giả thiết)
=> ABF đều. => µA ·AFB = 600 mà ·AFB ·FBC (Hai góc so le trong). 
=> ·FBC 600 .
Mặt khác ta có ABCD là hình bình hành (giả thiết)
=> µA Cµ 600 (tính chất hình bình hành).
Do đó => ·FBC µC 600 (4).
Từ (3) và (4) => tứ giác BCDF là hình thang cân.
c) Ta có ABCD là hình bình hành (giả thiết).
=> AB // CD và AB = CD (Tính chất hình bình hành).
Mà M đối xứng với A qua B => BM // CD và BM = CD.
Do đó => Tứ giác BMCD là hình bình hành. (5)
Mặt khác ta có ABF đều (câu b).
 AD
=> BF = AF. Mà AF = (F là trung điểm của AD).
 2
 AD
=> BF = .
 2
Xét ABD có F AD và AF = FD => BF là đường trung tuyến của ABD.
 AD
Mà BF = 
 2
 => ABD vuông tại B
=> AB  BD hay BM  BD => D· BM 900 (6)
Từ (5) và (6) => Tứ giác BMCD là hình chữ nhật.
d) Ta có tứ giác BMCD là hình chữ nhật (câu c).
=> BC và DM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà E là trung điểm của BC.
Do đó DM cắt BC tại E => ba điểm M, E, D thẳng hàng. đpcm
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. E là điểm t.rên cạnh DC, F là điểm trên tia đối của tia BC sao 
cho BF = DE.
a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân
b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh I thuộc BD.
c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.
Lời giải
a) Xét ABF và ADE có:
·ABF ·ADE 900
AB = AD (cạnh của hình vuông ABCD)
BF = DE (giả thiết)
 13 Do đó suy ra ABF = ADE (c.g.c). F
=> AF = AD (hai cạnh tương ứng) (1)
Và B· AF D· AE (hai góc tương ứng) A
Mà D· AE E· AB D· AB 900 (góc của hình vuông ABCD) B
=> B· AF E· AB 900 Hay E· AF 900 (2) I
Từ (1) và (2) => AEF vuông cân tại A. đpcm
b) Ta có ABCD là hình vuông (giả thiết)
 K
=> AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi 
đường.
 D E C
=> BD là đường trung trực của AC. (3)
Ta lại có: AEF vuông cân tại A (câu a) và I là trung điểm của EF (giả thiết)
 EF
=> AI (Tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền)
 2
 EF
Tương tự ta cũng có CEF vuông tại C => CI 
 2
Do đó => AI = CI
=> I thuộc đường trung trực của AC. (4)
Từ (3) và (4) => I thuộc BD. Đpcm
c) Xét tứ giác AEKF có AK cắt EF tại I.
Mà AI = KI và EI = FI
Nên suy ra tứ giác AEKF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (5)
Mặt khác, ta có AEF vuông cân tại A (câu a)
=> AI là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực của AEF.
=> AI  EF hay AK  EF. (6)
Từ (5) và (6) => Tứ giác AEKF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) (7)
 EF
Ta lại có: AI (câu b) => 2AI = EF Hay AK = EF. (8).
 2
Từ (7) và (8) => Tứ giác AEKF là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông) đpcm
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, I là trung điểm AC, K là trung điểm AB, 
E là trung điểm AM. Gọi N là điểm đối xứng của M qua I 
a) Chứng minh tứ giác AKMI là hình thoi.
b) Tứ giác AMCN, MKIC là hình gì? Vì sao?.
c) Chứng minh E là trung điểm BN
d) Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AMCN là hình vuông.
Lời giải
a) Ta có BM = CM và AK = BK (Theo giả thiết).
=> MK là đường trung bình của ABC 
 AC
=> MK // AC và MK (Tính chất đường trung bình của tam giác).
 2
 AC
Mà AI CI (vì I là trung điểm của AC).
 2
 14 Do đó => MK // AI và MK = AI. A N
=> Tứ giác AKMI là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình 
bình hành) (1)
Mặt khác: Ta có AB = AC (theo giả thiết). K E
 AC I
Mà AI CI (vì I là trung điểm của AC) 
 2
 AB
và AK CK (vì K là trung điểm của AB)
 2 B C
=> AK = AI (2) M
Từ (1) và (2) => Tứ giác AKMI là hình thoi (Dấu hiệu nhận 
biết hình thoi) đpcm
*Nhận xét. Ta cũng có thể chứng minh theo cách: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
b) Xét tứ giác AMCN có AC cắt MN tại I.
Mà AI = CI và MI = NI (theo giả thiết)
=> Tứ giác AMCN là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (3)
Mặt khác: ABC cân tại A (theo giả thiết)
=> Trung tuyến AM đồng thời là đường cao.
=> AM  BC => ·AMC 900 (4)
Từ (3) và (4) => Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
* Xét tứ giác MKIC:
Ta có: MK // AI và MK = AI (theo câu a).
Mà I AC và AI = CI
=> MK // CI và MK = CI 
=> Tứ giác MKIC là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Ta có tứ giác AMCN là hình chữ nhật (theo câu b)
=> AN // MC và AN = MC (Tính chất hình chữ nhật)
Mà M thuộc BC và BM = MC (theo giả thiết)
=> AN // BM và AN = BM
=> Tứ giác ABMN là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
=> AM và BN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. (Tính chất hình bình hành).
Mà E là trung điểm của AM (Theo giả thiết)
=> AM cắt BN tại E => E là trung điểm của BN. Đpcm.
d) Ta có tứ giác AMCN là hình chữ nhật (theo câu b)
Do đó hình chữ nhật AMCN là hình vuông 
 BC
 AM = MC. Mà MC (M là trung điểm của BC)
 2
 BC
=> AM ABC vuông tại A.
 2
Mà ta lại có ABC cân tại A (Theo giả thiết).
Do đó => ABC vuông cân tại A.
Vậy để tứ giác AMCN là hình vuông thì ABC phải vuông cân tại A. 
 15 Ví dụ 5. Chọn đáp án đúng
Hình thoi là tứ giác có
A. Hai đường chéo vuông góc.
B. Hai đường chéo bằng nhau.
C. Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
D. Hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Đáp án. D.
Ví dụ 6. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau
A. Hình bình hành có một góc vuông là hình vuông.
B. Hình thang có một góc vuông là hình chữ nhật.
C. Hình bình hành có một đường chéo là tia phân giác của một góc là hình thoi.
D. Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Đáp án. C.
Ví dụ 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào không đúng
A. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau là hình thoi. 
C. Hình thang cân có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
D. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau là hình vuông.
Đáp án. B
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
1 .BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ GÓC VÀ TÍNH CHẤT CỦA CÁC LOẠI TỨ 
GIÁC, TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 
ĐỂ CHỨNG MINH VÀ TÍNH GÓC, TÍNH CẠNH
TL 1.1. Tính các số đo x, y trong hình vẽ dưới đây
 A K t
 E 1050 I 88°
 0 D
 y 125 118°
 x
 600
 x C x x
 B H G
 Hình 1 Hình 2
 1
TL 1.2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB > CD) có µA µB (µC µD) . Đường chéo 
 2
AC vuông góc với cạnh bên BC.
a) Tính các góc của hình thang.
 16 b) Chứng minh AC là phân giác của góc ·DAB .
TL 1.3. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, µC 600,µA 1000 .
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.
b) Tính µB, µD .
TL 1.4. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. 
Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.
a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID.
b) Cho AB = 6, CD = 10. Tính EI, KF, IK.
TL 1.5. Cho tam giác ABC cân tại A có µA 700.
Từ điểm D thuộc cạnh BC, kẻ DH  AC (H AC)
a) Tính số đo các góc của tứ giác ABDH.
b) Chứng minh rằng: µA 2.H· DC
c) Chứng minh rằng hệ thức trên đây không phụ thuộc vào độ lớn góc A.
DẠNG 2. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA CÁC HÌNH TỨ GIÁC, TÍNH CHẤT ĐƯỜNG 
TRUNG BÌNH ĐỂ CHỨNG MINH 
TL 2.1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB vad CD, M 
và N là giao điểm của AI và CK với BD.
a) Chứng minh: AI // CK.
b) Chứng minh: DM = MN = NB .
TL 2.2. Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt 
AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF.
a) Chứng minh tam giác AED cân.
b) Chứng minh AD là phân giác của góc A.
TL 2.3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên 
AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho AE = CF.
a) Chứng minh E đối xứng với F qua O.
b) Từ E dựng Ex // AC cắt BC tại I, dựng Fy // AC cắt AD tại K. Chứng minh rằng: EI = FK.
c) Chứng minh các đường thẳng AC, EF, KI đồng quy.
TL 2.4. Cho tam giác ABC cân tại A, CH là đường cao (H AB). Gọi D là điểm đối xứng với 
điểm B qua A. 
a) Chứng minh tam giác DCB là tam giác vuông.
b) Chứng minh ·DCA ·HCB .
TL 2.5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Gọi M và 
N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AH và DH.
a) Chứng minh MN // AD;
b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành;
c) Chứng minh tam giác AIN vuông tại N.
 (Đề thi học kỳ I năm học 2014 – 2015)
 17 DẠNG 3. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CỦA CÁC HÌNH TỨ 
GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH
TL 3.1. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là 
trung điểm của BG và CG.
a. Chứng minh tứ giác MNDE là hình bình hành .
b. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNDE là hình chữ nhật.
c. Chứng minh DE + MN = BC
TL 3.2. Cho ABC cân tại A . Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Q là điểm 
đối xứng của P qua N .
a) Chứng minh tứ giác PMAQ là hình thang .
b) Chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật .
c) ABC phải thoả mãn điều kiện gì để các tứ giác PMAQ là hình thang cân, APCQ là hình 
vuông.
TL 3.3. Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD. Trên tia 
đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD. 
Chứng minh rằng: 
a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật.
b) AF song song với BD và KH song song với AC.
c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng
TL 3.4. Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm 2 đường chéo. Trên cạnh AD lấy điểm M, 
đường thẳng OM cắt BC tại N.
a) CMR Tứ giác BMDN là hình bình hành. 
b) Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = BN . Chứng minh OE vuông góc với MN . 
c) Đường thẳng OE cắt DC tại F. Chứng minh tứ giác MFNE là hình vuông
TL 3.5. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , kẻ AH  BC tại H. Trên tia HC lấy 
điểm D sao cho HD HB. Gọi P,Q theo thứ tự là hình chiếu của D trên AC, AB. 
a) Chứng minh rằng tứ giác APDQ là hình chữ nhật
 1
b) Gọi K là giao điểm của AD và PQ. Chứng minh rằng HK AD 
 2
c) Đường thẳng DP cắt AH tại E, vẽ hình chữ nhật ABGC. Chứng minh rằng tứ giác BEGC 
là hình thang cân.
 (Đề thi chất lượng học kỳ I năm học 2017 – 2018)
 18 2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
TN 1.1. Cho tứ giác ABCD có µA 750 ; Bµ 1050 ;Cµ 1100 . Số đo của góc Dµ là
A. 750 B. 850 C. 700 D. 650.
TN 1.2. Hình thang ABCD (AB // CD) có µA 1050 ; Cµ 650 . Số đo của các góc Bµ va Dµ lần 
lượt là
A. 1050 và 650 B. 750 và 1150 C. 1150 và 750 D. 650 và 1050.
TN 1.3. Tứ giác ABCD có số đo các góc µA; Bµ;Cµ; Dµ lần lượt tỉ lệ với các số 1; 2; 3; 4 thì số đo 
của góc Bµ là
A. 720 B. 600 C. 360 D. 800.
TN 1.4. Hình bình hành ABCD có µA 600 . Số đo của góc Bµ là
A. 600 B. 1200 C. 1000 D. Một kết quả khác.
TN 1.5. Cho hình thoi ABCD. Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. µA Cµ B. µA Bµ 1800 C. µA Dµ Bµ Cµ D. Bµ Dµ 1800
TN 2.1. Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AC = BD B. AD = BC C. AB = BC D. µA Bµ
TN 2.2. Khẳng định nào sau đây không đúng khi nói về hình thoi?
Trong hình thoi
A. Hai đường chéo bằng nhau. B. Các cạnh đối bằng nhau
B. Các cạnh đối song song. C. Hai đường chéo vuông góc với nhau.
TN 2.3. Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AB = AD B. AC = BD C. AC  BD D. AB  AC.
TN 2.4. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi M là trung điểm của BC. 
Khi đó độ dài đoạn thẳng AM là
A. 4 cm B. 3 cm C. 10 cm D. 5 cm.
TN 2.5. Trong các hình sau, hình nào vừa có tâm đối xứng, vừa có trục đối xứng?
A. Hình bình hành B. Hình thang cân C. Hình thang vuông D. Hình thoi.
TN 3.1. Chọn đáp án đúng
Hình bình hành là tứ giác có
A. Hai cạnh đối song song; B. Hai cạnh đối bằng nhau;
C. Các cạnh đối song song; D. Hai đường chéo bằng nhau.
TN 3.2. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
B. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
C. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.
D. Hình chữ nhật có hai dường chéo bằng nhau là hình vuông.
TN 3.3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào không đúng?
A. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình 
chữ nhật.
B. Hình thang cân có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
C. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau là hình thoi. 
 19