Giáo án ôn tập Hình học 9 năm 2010

Ngày soạn : 15/3/2010
Ngày dạy : 
Số tiết : 30 tiết CHUYÊN ĐỀ 2 : CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔNG HỢP ÔN TẬP THI VÀO PTTH
A.MỤC TIÊU :
* Ôn tập các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông và các hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông .
-Rèn kỹ năng vận dụng linh hoạt các hệ thức trên vào tính độ dài các đoạn thẳng.
*Ôn tập các kiến thức về đường tròn .Rèn luyện các kỹ năng vẻ hình và vận dụng các kiến thức về đường tròn để giải các bài toán về tính toán và chứng minh.
*Ôn tập các kiến thức góc ở tâm ,góc nội tiếp , góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung , góc có đỉnh ở bên trong và bên ngoài đường tròn . Điều kiện để một tứ giác nội tiếp .các công thức tính độ dài đường tròn , cung tròn , diện tích hình tròn . hình quạt tròn .
-Rèn luyện các kỹ năng vẻ hình và vận dụng các kiến thức trên để giải các bài toán về tính toán và chứng minh.
 HS: được rèn luyện các khả năng quan sát , dự đoán , rèn luyện tính chính xác ,cẩn thận.
B.PHƯƠNG PHÁP : Thực hành giải toán .
C . CHUẨN BỊ : GV : Giáo án , chọn lọc các bài tập cơ bản ,nâng cao và các bài tập đề thi vào lớp 10 để ôn tập .
D . NỘI DUNG KIẾN THỨC :
Bài 1. 
Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K.
	1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;
	2. Tính ;
	3. Chứng minh KH.KB = KC.KD;
	4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh .
D
C
K
N
P
A
B
M
H
+ Ta có	= 90o (ABCD là hình vuông)
	= 90o (gt)
	Nên = 180o
	Þ Tứ giác ABHD nội tiếp
+ Ta có	= 90o (gt)
	= 90o (ABCD là hình vuông)
	Nên H; C cùng thuộc đường tròn đường kính DB
	Þ Tứ giác BHCD nội tiếp
Ta có: 	Þ 
mà = 45o (tính chất hình vuông ABCD) Þ = 45o 
Xét DKHD và DKCB
Có Þ DKHD DKCB (g.g)
Þ 
Þ KH.KB = KC.KD (đpcm)
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt đường thẳng DC tại P.
Ta có: 	 (cùng phụ )
	 AB = AD (cạnh hình vuông ABCD)
Nên DBAM = DDAP (g.c.g) Þ AM = AP
Trong DPAN có: = 90o ; AD ^ PN
nên (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Þ 
	Bài tập 2: Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC cã AB = AC = 5cm. §­êng trßn ®­êng kÝnh AC c¾t c¹nh BC t¹ M. Tia ph©n gi¸c cña gãc BAM c¾t ®­êng trßn t¹i N (N kh¸c A) vµ c¾t c¹nh BC t¹i I. §­êng th¼ng AM c¾t ®­êng th¼ng CN t¹i S.
Chøng minh tø gi¸c NIMS lµ tø gi¸c néi tiÕp.
TÝnh ®é dµi ®o¹n IC.
Chøng minh tø gi¸c BISA lµ tø gi¸c néi tiÕp.
 a) Ta cã:
 = 90o(gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn)= 180o- = 90o(hai gãc kÒ bï)
 = 90o(gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn) = 180o- = 90o(hai gãc kÒ bï)
 Tø gi¸c NIMS cã: += += 90o + 90o = 180o NIMS lµ tø gi¸c néi tiÕp.
 b) Tam gi¸c ABC vu«ng c©n nªn ®­êng cao AM còng lµ ®­êng trung tuyÕn.
 AM = BM = MC = BC.
¸p dông ®inh lÝ pitago vµo tam gi¸c vu«ng ABC ta cã:
BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 52 = 50 
 BC = = 5 (cm) 
 AM = MC = (cm) (1)
Tam gi¸c vu«ng AMB cã AM = BM (chøng minh trªn) tam gi¸c AMB vu«ng c©n
 = 45o.
V× AI lµ tia ph©n gi¸c cña = = 22o30’.
¸p dông hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng AIM ta cã:
IM = AM. tg= . tg22o30’= 1,4544 (cm) (2)
Tõ (1) vµ (2) IC = IM + MC = 1,4544 + (cm).
c) Tam gi¸c AIC cã S lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng cao AM vµ CN IS AC 
 IS//AB = (hai gãc so le trong)
 = = = 22o30’ 
MÆt kh¸c = + (tÝnh chÊt gãc ngoµi cña tam gi¸c)
=+ = 22o30’+90o = 112o30’.
 = + = 112o30’+ 22o30’= 135o.
Tø gi¸c BISA cã: += 45o+ 135o = 180o BISA lµ tø gi¸c néi tiÕp. 
Bài 3:
 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã c¸c ®Ønh A, B cè ®Þnh vµ ®Ønh C thay ®æi trªn tia At vu«ng gãc víi AB t¹i A. Gäi I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC vµ P, Q, R lÇn l­ît lµ c¸c tiÕp ®iÓm cña ®­êng trßn víi c¸c c¹nh AC, BC, AB. C¸c ®­êng th¼ng PQ vµ AI c¾t nhau t¹i D.
Chøng minh bèn ®iÓm B, D, Q, R n»m trªn mét ®­êng trßn.
Chøng minh khi C thay ®æi trªn At th× ®­êng th¼ng PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
 a) Ta cã: gãc BRI + gãcBQI = 90o
 VËy tø gi¸c BRIQ néi tiÕp (1)
 Ta l¹i cã: tam gi¸cDIR=tam gi¸cDIP(c.g.c)
 gãcDRI=gãcDPI
 Mµ tam gi¸c QIP c©n nªn gãcIQP = gãcIPQ
 gãcDRI = gãcDQI
 VËy tø gi¸c QDIR néi tiÕp (2)
 Tõ (1) vµ (2) B,Q,D,I,R cïng thuéc mät ®­êng trßn
 ®pcm
 b) V× tø gi¸c BRID néi tiÕp mµ gãc BRI = 90o nªn gãc BDI= 90o
 VËy tam gi¸c BDA vu«ng c©n, AB cè ®Þnh nªn D cè ®Þnh
 Do ®ã PQ lu«n ®i qua ®iÓm D cè ®Þnh 
Bài 4: 
 Cho ®­êng trßn (O) vµ mét ®­êng kÝnh AB cña nã. Gäi S lµ trung ®iÓm cña OA, vÏ ®­êng trßn (S) cã t©m lµ ®iÓm S vµ ®i qua A.
Chøng minh ®­êng trßn (O) vµ ®­êng trßn (S) tiÕp xóc nhau.
Qua A vÏ c¸c ®­êng th¼ng Ax c¾t ®­êng trßn (S) vµ (O) theo thø tù t¹i M, Q; ®­êng th¼ng Ay c¾t ®­êng trßn (S) vµ (O) theo thø tù t¹i N, F; ®­êng th¼ng Az c¾t c¸c ®­êng trßn (S) vµ (O) theo thø tù t¹i P, T. Chøng minh tam gi¸c MNP ®ång d¹ng víi tam gi¸c QFT.
 a) V× S lµ trung ®iÓm cña OA nªn OS = OA- SA= R- r > 0 
 VËy ®­êng trßn (O) vµ ®­êng trßn (S) tiÕp xóc nhau 
 b) Ta cã: += 180o (tø gi¸c AMNP néi tiÕp)
 + = 180o (tø gi¸c AQFT néi tiÕp)
 = (1)
 MÆt kh¸c: = (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung MN)
 = (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung FQ)
 = (2)
 Tõ (1) vµ (2) suy ra MNP ®ång d¹ng víiQFT (g-g).
Bài 5: 
 Cho mét nöa ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB; mét ®iÓm M n»m trªn cung AB vµ mét ®iÓm C n»m trªn ®­êng kÝnh AB sao cho CA < CB. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm M ng­êi ta kÎ c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. §­êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By theo thø tù t¹i P, Q. Gäi R lµ giao ®iÓm cña AM víi CP; S lµ giao ®iÓm cña BM víi CQ.
Chøng minh c¸c tø gi¸c APMC, BQMC néi tiÕp ®­îc.
Chøng minh RS //AB
Tø gi¸c ARSC cã thÓ lµ h×nh b×nh hµnh ®­îc kh«ng? T¹i sao?
 a) Ta cã:
 Tø gi¸c APMC néi tiÕp ®­êng trßn(v× +=180o)
 Tø gi¸c BQMC néi tiÕp ®­êng trßn(v× +=180o)
 b) Ta cã:
 =(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung PA)
 =(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung QB)
 MÆt kh¸c: =90o(gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn)
+=+=90o
=90o Tø gi¸c MRCS néi tiÕp ®­êng trßn(v× +=180o)
 =(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung RM) (1)
 Ta l¹i cã: 
 =(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung PM) (2)
 =(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AM) (3)
 Tõ (1); (2) vµ (3) suy ra =(ë vÞ trÝ ®ång vÞ) 
 RS//AB
 c) Tø gi¸c ARSC kh«ng thÓ lµ h×nh b×nh hµnh. V×: 
 NÕu tø gi¸c ARSC lµ h×nh b×nh hµnh CS//AM CSMB PC//MB AMPC
PC lµ trung trùc cña AM CA = CM CO CA = CB m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt CA< CB
Bài 6: Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh BC, M lµ mét ®iÓm trªn ®­êng trßn (M 
 kh¸c B vµ C). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M c¾t hai tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i B 
 vµ C ë c¸c ®iÓm t­¬ng øng lµ P vµ Q.
a) Chøng minh c¸c tø gi¸c BPMO vµ CQMO néi tiÕp.
b) Chøng minh tam gi¸c POQ lµ tam gi¸c vu«ng t¹i O.
c) H¹ MA vu«ng gãc víi BC (A n»m trªn BC), h¹ AE vu«ng gãc víi MB (E n»m trªn MB), h¹ AF vu«ng gãc víi MC (F n»m trªn MC). Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp.
 a) Tø gi¸c BPMO néi tiÕp ®­êng trßn(v× +=180o)
 Tø gi¸c CQMO néi tiÕp ®­êng trßn(v× +=180o)
 b)Ta cã:= (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BP)
 = (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CQ) 
 MÆt kh¸c: =90o(gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn)
 += += 90o
 =90otam gi¸c POQ vu«ng t¹i O.
 c) Ta cã: +=90o(hai gãc phô nhau)
 Tø gi¸c AEMF néi tiÕp ®­êng trßn(v× +=180o) 
 = (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung EA) 
 Tø gi¸c BEFC cã: += ++=++=90o+90o = 180o
 Tø gi¸c BEFC néi tiÕp ®­êng trßn
Bài7: 
 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), víi = 45o, néi tiÕp trong ®­êng trßn t©m O. §­êng trßn ®­êng kÝnh BC c¾t AB ë E, c¾t AC ë F
CMR: O thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC
CM: AEC; AFB lµ nh÷ng tam gi¸c vu«ng c©n.
Chøng minh tø gi¸c EOFB lµ h×nh thang c©n. Suy ra EF = BC.
Ta cã =s®= 45o(gãc néi tiÕp)s®=90o
 =s®=90o(gãc ë t©m)
 O n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC
 b) Ta cã: 
 =90o(gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn)
 = 180o- =90o(hai gãc kÒ bï)
 AEC lµ tam gi¸c vu«ng cã = 45o
 AEC lµ tam gi¸c vu«ng c©n.
 Chøng minh t­¬ng tù ta cãAFB lµ tam gi¸c vu«ng c©n.
 c) Ta cã: gãc OEC= 45o(gãc néi tiÕp ch¾n 1/4®­êng trßn)
 Mµ tam gi¸c AEC vu«ng c©n t¹i E nªn EO lµ ph©n gi¸c 
 ®ång thêi lµ ®­êng caoEOAC
 L¹i cã BFAC(c/m trªn)
 VËy EO//BF
 MÆt kh¸c gãcEBF= gãc OFB = 45o.
 VËy tø gi¸c BEOF lµ h×nh thang c©n.
 EF = BO
 ¸p dông hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng OBC ta cã: 
 OB = BC.Sin= BC. Sin45o = BC. 
 Do =EF = OB = BC.
Bài 8: Cho ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB; Trªn tia AB lÊy ®iÓm C sao cho B n»m gi÷a AC, tõ C kÎ ®­êng th¼ng x vu«ng gãc víi AB, trªn x lÊy ®iÓm D (DC). Nèi DA c¾t ®­êng trßn t¹i M, nèi DB c¾t ®­êng trßn t¹i N, nèi CN c¾t ®­êng trßn t¹i K.
Chøng minh ADCN lµ tø gi¸c néi tiÕp ®­îc ®­êng trßn.
Chøng minh AC lµ ph©n gi¸c cña gãc KAD.
KÐo dµi MB c¾t ®­êng th¼ng x t¹i S. Chøng minh ba ®iÓm S, A, N th¼ng hµng.
 a) Ta cã: = 90o (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn)
 = 90o
 MÆt kh¸c: = 90o
 Do ®ã hai ®iÓm N vµ C cïng nh×n AD d­íi mét gãc vu«ng
 Hai ®iÓm N vµ C cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AD
 Hay tø gi¸c ADCN néi tiÕp ®­êng trßn.
 b) Ta cã: =(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BK)
 =(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CD)
 =AC lµ ph©n gi¸c cña .
 c) Ta cã: = 90o (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn)
 B lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng cao SM vµ AC cña ADS 
 nªn B lµ trùc t©mADS 
 MÆt kh¸c DNAN (chøng minh trªn)
 Do ®ã DN lµ ®­êng cao cßn l¹i cña ADS
 Hay ba ®iÓm A, N, S th¼ng hµng.
Bài 9: Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A néi tiÕp trong ®­êng trßn t©m O. Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm chÝnh gi÷a c¸c cung nhá AB, BC, CA; BP c¾t AN t¹i I; MN c¾t AB t¹i E. Chøng minh r»ng:
 1) Tø gi¸c BCPM lµ h×nh thang c©n; Gãc ABN cã sè ®o b»ng 90o.
 2) Tam gi¸c BIN c©n; EI//BC.
 1. Ta cã: AB = AC ==
 ==(gt)
 ==(gt)
 ==== 
 Do =s® (gãc néi tiÕp ch¾n cung) 
 =s®(gãc néi tiÕp ch¾n cung)
 =
 MÆt kh¸c +=180o(V× tø gi¸c BCPM néi tiÕp ®­êng trßn)
+=+=180o MP//BC
Tø gi¸c BCPM lµ h×nh thang cã MB = PC(v×=) nªn tø gi¸c BCPM lµ h×nh thang c©n
 Ta l¹i cã: ==(gt) NB = NC
 =s®(gãc néi tiÕp ch¾n cung)
 = s®(+) = s®=s®=.360o = 90o.
 2. Ta cã: =s®(gãc néi tiÕp ch¾n cung) (1)
 =s®(gãc néi tiÕp ch¾n cung)
 =s®(gãc néi tiÕp ch¾n cung)
 =+(gãc ngoµi cña tam gi¸c)
 = s®+s®=+=(+) = (2)
 Tõ (1) vµ (2)= tam gi¸c BIN c©n.
 Ta cã: =s®(gãc néi tiÕp ch¾n cung)
 =s®(gãc néi tiÕp ch¾n cung)
 Mµ ==BEN = IEN(c.g.c)
 ==90o (3)
 V× AB = AC; NB = NCAN lµ trung trùc cña BCANBC (4)
 Tõ (3) vµ (4)EI//BC.
Bài 10: Cho B vµ C lµ c¸c ®iÓm t­¬ng øng thuéc c¸c c¹nh Ax vµ Ay cña gãc vu«ng xAy (BA; CA). Tam gi¸c ABC cã ®­êng cao AH vµ ph©n gi¸c BE. Gäi D lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A lªn BE, O lµ trung ®iÓm cña AB.
a) Chøng minh ADHB vµ CEDH lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp ®­îc trong ®­êng trßn.
b) Chøng minh AH OD vµ HD lµ ph©n gi¸c cña gãc OHC.
c) Cho B vµ C di chuyÓn trªn Ax vµ Ay tho¶ m·n AH = h (h kh«ng ®æi). TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ADHO theo h khi diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
 a) Ta cã: ==90o
 §iÓm H vµ D cïng nh×n AB d­íi mét gãc vu«ng
 D vµ H cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB
 Do ®ã tø gi¸c ADHB néi tiÕp ®­êng trßn.
 =(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AD) (1)
 Ta l¹i cã: +=+= 90o (2)
 Tõ (1) vµ (2) =
 Tø gi¸c CEDH cã +=+= 180o nªn tø gi¸c CEDH néi tiÕp ®­êng trßn.
 b) Ta cã: OH = OA(A vµ H cïng n»m trªn ®­êng trßn (O;)
 =s®(gãc néi tiÕp ch¾n cung) 
 =s®(gãc néi tiÕp ch¾n cung)
 MÆt kh¸c=(gt)=AD = HD 
 Do ®ã: OD lµ trung trùc cña AH AHOD.
 ODA=ODH(c.g.c)=
 Ta l¹i cã:=(cïng phô víi gãc ) 
 =
 V× ==
 HD lµ ph©n gi¸c cña gãc OHC.
AH = h kh«ng ®æiSABC nhá nhÊt khi BC nhá nhÊt 
 Mµ BC2 = AB2 + AC2 2AB.AC
 DÊu “=” x¶y ra khi AB = AC tam gi¸c ABC vu«ng c©ntam gi¸c AHB vu«ng c©n BH = AH = h AB = hOD = h. V× AHOD nªn SADHO = h2
Bài 11: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A vµ N lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. VÏ ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh NC. §­êng trßn (O) c¾t BN kÐo dµi t¹i D vµ c¾t c¹nh BC t¹i E.
 a) Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
 b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC, chøng minh r»ng MN lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O).
 c) KÐo dµi BA vµ CD gÆp nhau t¹i F. Chøng minh ba ®iÓm E, N, F th¼nghµng.
Bài 12:
 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). d lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i C. Gäi AH; BK lµ ®­êng cao cña tam gi¸c; M,N,P,Q lÇn l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A,K,H,B xuèng ®­êng th¼ng d.
 1.Chøng minh tø gi¸c AKHB néi tiÕp; tø gi¸c HKNP lµ h×nh ch÷ nhËt.
 2.Chøng minh: gãc HMP = gãc HAC; HMP = gãc KQN
 3.Chøng minh MP = QN
Gi¶i:
 1.ta cã: gãc AHB = AKB = 90o(gt)Tø gi¸c AKHB néi tiÕp
 Ta cã: gãc KNP = gãc NPH = 90o (gt)
 MÆt kh¸c ACN = gãc ABC ( cïng ch¾n cung AC)
 Gãc HKC = gãc ABH( cïng bï víi gãc AKH)
 gãc ACN = gãc HKC HI//NPgãcNIH = 90o
 VËy tø gi¸c HKNP lµ h×nh ch÷ nhËt
 2.Ta cã gãc AHC = gãc AMC = 90oTø gi¸c AHCM néi tiÕp
 gãc HAC= gãcHMP(cïng ch¾n cung HC)
T­¬ng tù ta cã tø gi¸c BQCK néi tiÕpgãcKQC = gãcKBC
 Mµ gãc KBC = gãcKAH(cïng ch¾n cung HK); gãc KAH = gãcHBP(chøng minh trªn)
gãcHMP = gãcKQC
3.XÐt tam gi¸c MHP vµ tam gi¸c NKQ cã:
 KN= HP(c¹nh h×nh ch÷ nhËt)
 gãc KNQ= gãcMPH=90o
 gãcHMP = gãcKQN(chøng minh trªn)
VËy tam gi¸c MHP = tam gi¸c NKQMP = QN
Bài 13:
 Cho tam gi¸c ABC vu«ng tại A, cã đường cao AH. Đường trßn (O) đường kÝnh HB cắt cạnh AB tại điểm E. Tiếp tuyến với (O) tại E cắt cạnh AC tại F. Chứng minh:
 a) HE//AC và tứ gi¸c BEFC nội tiếp.
 b) Tứ gi¸c AEHF là h×nh chữ nhật.
 c) = 1 + 
Gi¶i:
 a)ta cã: gãc BEH= 90o(ch¾n nöa ®­êng trßn)
 Mµ BAC = 90o(gt)
 HE//AC
 ta cã: ABC + ACB = 90o
 MÆt kh¸c FEH = ABC(cïng ch¾n cung EH)
 nªn gãc FEH + ACB = 90oACB + BEF =180o
 VËy tø gi¸c BEFC néi tiÕp
b) gãc FAE = gãc AEH =90o(c/mtrªn)
 MÆt kh¸c AFE= FEH(so le trong) vµ EHA= FEH (cïng ch¾n mét cung)
 AFE=EHAAEHF néi tiÕpAFH = 90oAEHF lµ h×nh ch÷ nhËt
c)
= 1 + 
Ta cã: ===1+=1+=1+
Bài 14:
 Cho tam gi¸c MNP cã ba gãc nhän, gãc N gÊp ®éi gãc P vµ MK lµ ®­êng cao. Gäi H lµ trung ®iÓm cña c¹nh MP, c¸c ®­êng th¼ng HK vµ MN c¾t nhau t¹i ®iÓm G. Chøng minh:
 a) Tam gi¸c HKP c©n 
 b) Tø gi¸c GNHP néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn.
 c) 2HK2 = MN2 + MN.NK
Gi¶i:
a) Ta cã KH = HP = MP( tÝnh chÊt trung tuyÕn c¹nh huyÒn)
VËy tam gi¸c HKP c©n
b) Ta cã: =2==tø gi¸c GNHP néi tiÕp ®­êng trßn
c) Tam gi¸c MNH®ång d¹ng víi tam gi¸c MPG (gãc M chung; gãc MGP= gãcMHN)
=MN.MG = MP.MH2MH2=MN.(MN+GN)= MN2 + MN.GN
2HK2= MN2+MN.GN (v× HK= MH)
MÆt kh¸c ta cã gãc NGH = gãc NPH ( cïng ch¾n cung NH)
gãc NKG = gãc HKP (®èi ®Ønh) gãc NGH = gãc NKGtam gi¸c NGK c©nNK = NG
VËy 2HK2= MN2+MN.NK
Bài 15:
 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®­êng cao AH. §­êng trßn t©m (O) ®­êng kÝnh BH c¾t c¹nh AB t¹i ®iÓm M (MB); ®­êng trßn t©m O’ ®­êng kÝnh CH c¾t c¹nh AC t¹i ®iÓm N (NC). Chøng minh r»ng:
Tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt.
Tø gi¸c BMNC néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn.
MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH vµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’.
a) Ta cã: = 90o (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn) = 90o
 = 90o (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn) 
 Tø gi¸c AMHN cã === 90o nªn tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt.
b) Ta cã: KM = KA (tÝnh chÊt h×nh ch÷ nhËt)
 Tam gi¸c AKM c©ngãc KAM = gãc KMA
 Mµ Gãc KAM = gãc C (cung phô víi gãc CAH)
 gãcAMK = gãc C. Mµ AMK + NMB = 180o
 gãc C + gãc NMB = 180o
 VËy tø gi¸c BMNC néi tiÕp
c) Ta cã: tam gi¸c CMH c©ngãc OMH = gãc OHM
 Tam gi¸c HKM c©ngãc MHK = gãc KMH
 Mµ gãc MHK + MHO = 90oOMH +KMH = 90o
 OMMNMN lµ tiÕp tuyÕn cña (O). T­¬ng tù ta cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (O’)
 Gäi P lµ trung ®iÓm cña OO’ ta cã PK lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang OMNO’
 nªn PK = 1/2(OM+O’N) = 1/2(OH+O’H) =1/2OO’PK lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO’ mµ PKMN(v× PK//OM)
 VËy MN lµ tiÕp tuyÕnchung cña hai ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH vµ OO’
Bài 16:
 Trong mÆt ph¼ng cho ®­êng trßn (O), AB lµ d©y cung cè ®Þnh kh«ng ®i qua t©m cña ®­êng trßn (O). Gäi I lµ trung ®iÓm cña d©y cung AB, M lµ mét ®iÓm trªn cung lín AB (M kh«ng trïng víi A,B). VÏ ®­êng trßn (O’) ®i qua M vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng AB t¹i B. Tia MI c¾t ®­êng trßn (O’) t¹i ®iÓm thø hai N vµ c¾t ®­êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai C.
1)Chøng minh r»ng AIC = BIN, tõ ®ã chøng minh tø gi¸c ANBC lµ h×nh b×nh hµnh.
2)Chøng minh r»ng AI lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN.
3)X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn cung lín AB ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c ANBC lín nhÊt.
Gi¶i:
 1) XÐt tam gi¸c AIC vµ BIN cã:
 IA = IB (gt)
 gãc AIC = gãc BIN (®èi ®Ønh)
 gãc CAI = gãc IBN (= gãc BMC)
 VËy AIC = BIN (g.c.g)
 Ta cã IA = IB (gt)
 IN = IC (AIC = BIN)
 2) Ta cã: gãcIAN = gãcIBC(so le trong)
 Vµ gãc IBC = gãcAMC(cïng ch¾n cung AC)
 gãcIAN = gãcAMN
 s®gãcIAN = 1/2s® cungAN
 VËy AI lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN 
 3) SANBC = 2SABC
 Nªn SANBC lín nhÊt khi SABC lín nhÊt
 Mµ AB cè ®Þnh ®­êng cao h¹ tõ C xuèng AB lín nhÊt
 C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB. Khi ®ã M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung lín AB.
 VËy khi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung lín AB th× diÖn tÝch ANBC lín nhÊt.
CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập1.Cho hình vuông ABCD ,điểm E thuộ cạnh BC (E không trùng với B,C).Qua B kẻ đường thẳng vuông với DE ,đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
chứng minh rằng BHCD nội tiếp. 
Tính góc CHK.
Chứng minh KC.KD=KH.KB
Bài tập2.Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.vẽ đường cao BI và CK của tam giác ABC.
Chứng minh tứ giác BKIC nội tiếp.
Chứng minh KI song song với tiếp tuyến Ax của đường tròn tại A.
Chứng minh khi A di chuyển trên cung lớn BC,đường thẳng qua A vuông góc với KI luôn đi qua một điểm cố định.
Bài tập 3.Trong mặt phẳng cho đường tròn (O).AB là dây cung cố định không đi qua tâm của đường tròn (O).Gọi I là trung điểm của dây cung AB ,M là một điểm trên cung lớn (M không trùng với A,B ).Vẽ đường tròn (O’) đi qua M tiếp xúc với đường thẳng AB tại A .Tia MI cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai N và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C.
Chứng minh rằng ,từ đó chứng minh tứ giác ANBC là hình bình hành .
Chứng minh BI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.
Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB để diện tích tứ giác ANBc lớn nhất.
Bài tập4.Cho (O) bán kính R và đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm A,B.Từ một điểm M thuộc đường thẳng d và nằmg ngoài dường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MN và MP với đường tròn cho (N,P là các tiếp điểm ).
Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh .
Gọi K là trung điểm của dây AB. Chứng minh bốn điểm O,M,N,K cùng nằm trên một đường tròn.
Cho OM=2R. tính số đo góc NOP.
 Bài tập 5.Trên một đường thẳng lấy ba điểm A,B,C cố định theo thứ tự ấy .Gọi (O) là đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua A và B.Vẽ đường kính IJ vuông góc với AB ; E là giao điểm của Ị và AB.Gọi M và N theo thứ tự là gaio điểm của CI và CJ ( M khác I,N khác J ).
chứng minh IN,JM và CE cắt nhau tại một điểm D.
Gọi F là trung điểm của CD. chứng minh OF MN.
Chứng minh FM,FN là hai tiếp tuyến của (O).
Chúng minh EA.EB=EC.ED.Từ đó suy ra D là điểm cố định khi (O) thay đổi.
Bài tập 6.Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến AEF ( B,C là hai tiếp điểm , cát tuyến ÀEF không đi qua O). gọi H là trung điểm của EF; I là giao điểm của BC và OA; K là giao điểm của hai đường thẳng BC và OH .
Chứng minh 5 điểm A,B,C,O,H cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh OH.OK=OA2-AB2.
Bài tập 7 .Cho (O) bán kính R và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A, B (d không đi qua tâm O).từ một điểm M thuộc đường thẳng d và ở ngoài đường tròn đã cho kẻ các tiép tuyến MN và MP với đường tròn (N,P là các tiếp điểm ).
chứng minh tứ giác ONMP nội tiếp .Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Gọi K là trung điểm của dây AB. Chứng minh tam giác NIK cân.
Cho MA.MB=R2().Tính độ dài đoạn OM theo R.
Bài tập 8.Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm A nằm ngoài đường tròn với OA=2R.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C là tiếp điểm )
Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tam giác ABC đều. Tính cạnh của tam giác đều ABC theo R.
Từ A kẻ cát tuyến với đường tròn cắt đường tròn lần lượt tại hai điểm M,N (MN<2R).
Chứng minh AM.AN =AB2.
Cho AM+AN=R .Tính độ dài đoạn AM,AN theo R.
Bài tập 9.Cho tam giác vuông cân ABC ( )có độ dài CA=CB=a, E là một điểm tùy ý trên cạnh BC (không trùng B,C).Qua B kẻ một tia vuông góc với tia AE tại H và cát tia AC tại K .
Chứng minh tứ giác BHCA nội tiếp .
Xác định tâm đường tròn và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BH CA theo a.
Chứng minh .
KHi E di chuyển trên cạnh BC, chứng minh BE.BC+AE.AH không đổi.
Bài tập 10.Cho tam giác ABC vuông tại A và N là trung điểm của cạnh AC .Vẻ đường tròn (O) đường kính NC .Đường tròn (O) cắt BN kéo dài tại D và cắt cạnh BC tại E .
Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
Gọi M là trung điểm của cạnh BC .Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Kéo dài BA và CD gặp nhau tại F .Chứng minh NA2=NE.NF
Bài tập 11.Cho đường tròn (O;R).Từ một điểm M ở ngoài (O;R)vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (a,B là các tiếp điểm ).lấy một điểm C trên cung nhỏ AB (c khác A,B) .gọi D ,E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB,AM,BM.
chứng minh AECD là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh 
Gọi I là giao điểm của AC và DE ;K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh :IK song song AB.
Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để AC2+CB2 nhỏ nhất .tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM=2R.
E.BỔ SUNG RÚT KINH NGHIỆM