Giáo án Toán 9 - Tuần 24, Tiết 47+48: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

 TUẦN 24( Tiết 47,48)
 2 (a 0)
 CHUYÊN ĐỀ 1. HÀM SỐ y = ax 
 thời lượng 2 tiết
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
 Hàm số y = ax2 (a 0)
 1.Tính chất 
 • Hàm số y = ax2 (a 0) được xác định vói mọi giá trị của x ¡
 • a > 0. Hàm số đồng biến khi x > 0; nghịch biến khi x < 0
 y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt được khi x = 0
 • a 0
 y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số, đạt được khi x = 0
 2.Đồ thị
 • Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một parapol có đỉnh là góc tọa độ O(0 ; 0) và nhận 
 trục tung làm trục đối xứng.
 y y
 -1 1
 O x
 y = ax2 y = ax2
 -1 O 1 x
 a > 0 a < 0
 ➢ Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
 ➢ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
 ➢ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
 • Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0):
 + Lập bảng các giá trị tương ứng của (P)
 x x 2 x1 0 x1 x 2
 2
 y = ax (a 0 y2 y1 0 y1 y2
 + Dựa và bảng giá trị vẽ (P). B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
 1. Phương pháp chung:
 Thực hiện theo các bước sau:
 a) Hàm số y = ax 2 (a ≠ 0) xác định x R.
 b) Tính biến thiên: phụ thuộc vào a > 0 (hoặc a < 0)
 c) Bảng giá trị: tính tọa độ ít nhất 5 điểm, trong đó có tọa độ của điểm thấp nhất (a > 0) 
 hoặc điểm cao nhất (a < 0).
 d) Vẽ đồ thị và nhận xét: đồ thị của hàm số y = ax 2(a ≠ 0) là một đường cong parabol (như 
 phần II).
 2. Các ví dụ:
Ví dụ 1:Xác định m để đồ thị hàm số (P) y (m2 2)x2
 a) Đồng biến khi x > 0 và nghich biến khi x < 0
 b)Đi qua điểm A(1;2). Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được.
Lời giải:
 a) Đề hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 thì
 m2 2 0 m 2 m 2 0 m 2 hoặc m 2
 b) Đồ thị hàm số y (m2 2)x2 đi qua điểm A(1;2) nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương 
 trình
 2 (m2 2).12 m2 2 2 m2 4 m 2
 2
 • 00Với m = 2 ta được: (P) y = 2x y
 ✓ Hàm số y = 2x2 xác định x R.
 ✓ Tính biến thiên: Hàm số y = 2x2 có a = 2 >0 nên hàm số:
 + Đồng biến khi x > 0. 8
 + Nghịch biến khi x < 0.
 ✓ Bảng giá trị:
 x -2 -1 0 1 2 
 y = 2x2 8 2 0 2 8 
 ✓ Vẽ đồ thị: (như hình trên)
 ✓ Nhận xét: 
 Đồ thị hàm số y = 2x2 là một đường cong parabol (P):
 + Đi qua gốc tọa độ.
 + Nhận trục tung làm trục đối xứng.
 + Nằm phía trên trục hoành.
 x
 -2 -1 O 1 2 + Có đỉnh O là điểm thấp nhất.
 y
 • Với m = -2 ta được: (P) y = -2x2
 ✓ Hàm số y = -2x2 xác định x R. -2 -1 O 1 2 x
 ✓ Tính biến thiên: Hàm số y = 2x2 có a = -2 <0 nên hàm số:
 + Đồng biến khi x < 0.
 + Nghịch biến khi x > 0.
 ✓ Bảng giá trị: -2
 x -2 -1 0 1 2 
 y = -2x2 -8 -2 0 -2 -8 
 ✓ Vẽ đồ thị: (như hình trên)
 ✓ Nhận xét: 
 Đồ thị hàm số y = -2x2 là một đường cong parabol (P):
 + Đi qua gốc tọa độ.
 + Nhận trục tung làm trục đối xứng.
 + Nằm phía dưới trục hoành. -8
 + Có đỉnh O là điểm cao nhất
Ví dụ 2:
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = ax 2, biết đồ thị của nó đi qua điểm 
 A(2; 1).
 b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8 ; –16) và N(–6 ; 9)
 c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hoành độ là 2 , 
 điểm Q có tung độ bằng 3.
Lời giải 
a) Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = ax2.
 1
 • A(2; 1) (P): y = ax2 y a.x2 1 a.22  a 
 A A 4
 1
 Vậy (P) là đồ thị của hàm số: y x2 .
 4
 1
 • Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P): y x2
 4
 1
 ✓ Hàm số y x2 xác định x R.
 4
 1 1
 ✓ Tính biến thiên: Hàm số y x2 có a 0 nên hàm số:
 4 4
 - Đồng biến khi x > 0. y
 4
 x
 -4 -2 O 2 4 - Nghịch biến khi x < 0.
 ✓ Bảng giá trị:
 x –4 –3 –2 0 2 3 4 
 1 9 9
 y x2
 4 4 4 1 0 1 4 4 
 ✓ Vẽ đồ thị: (như hình trên)
 1
 ✓ Nhận xét: Đồ thị hàm số y x2 là một đường cong parabol 
 4
 (P):
 - Đi qua gốc tọa độ.
 - Nhận trục tung làm trục đối xứng.
 - Nằm phía trên trục hoành.
 - Có đỉnh O là điểm thấp nhất.
b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8; –16) và N(–6;9)
 • Với điểm M(–8; –16):
 1 1
 Giả sử M(–8; –16) (P): y x2 y x2
 4 M 4 M
 1
 16 ( 8 )2 16 16 (sai)
 4
 Vậy M(–8; –16) (P).
 • Với điểm N(–6;9):
 1 1
 Giả sử N(–6;9) (P): y x2 y x2
 4 N 4 N
 1
 9 ( 6 )2 36 36 (đúng)
 4
 Vậy N(–6;9) (P).
c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hoành độ là 2 , điểm Q 
 có tung độ bằng 3:
 1 1 1
 • R( 2; y ) ( P ) y x2 Y ( 2 )2 y 
 R R 4 R R 4 R 2
 1
 Vậy R( 2; )
 2
 1 1
 • Q( x ;3 ) ( P ) y x2 3 x2 x2 12
 Q Q 4 Q 4 Q Q
 xQ 2 3 hoặc xQ 2 3
 Vậy có 2 điểm Q thỏa đề bài: Q1( 2 3;3 ), Q2 ( 2 3;3 )
 1 2
Ví dụ 3: Hàm số y = m x đồng biến khi x > 0 nếu:
 2 1 1 1
 A. m C. m > D. m = 0
 2 2 2
 Đáp 
 án: B
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng xOy, đồ thị hàm số nào nhận trục Oy làm trục đối xứng?
 A. y = 2x + 1 B. y = x C. y = 3 x2 D. x = y2
 Đáp án: C
Dạng 2. Tìm giao điểm và xác định số giao điểm của hai đồ thị (P): y = ax2 (a 0) và (D): y = 
 ax + b
 1) Phương pháp chung:
 a) Tìm giao điểm của hai đồ thị (P): y = ax2 (a 0) và (D): y = ax + b
 • Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 
 hàm số bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
 • Giải pt hoành độ giao điểm:
 + Nếu > 0 pt có 2 nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
 + Nếu = 0 pt có nghiệm kép (D) và (P) tiếp xúc nhau.
 + Nếu < 0 pt vô nghiệm (D) và (P) không giao nhau.
 2
 b) Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax (a 0) và (Dm) theo tham số 
 m:
 • Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m): cho 2 vế phải của 2 hàm số 
 bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
 • Lập (hoặc ' ) của pt hoành độ giao điểm.
 Biện luận:
 + (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt tìm m.
 + (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt tìm m.
 + (Dm) và (P) không giao nhau khi < 0 giải bất pt tìm m.
 2) Các ví dụ
Ví dụ 1:Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx 1
 a)Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai 
 điểm phân biệt.
 b) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm 
 2 2
 giá trị của m để : x1 x2 x2x1 x1x2 3
Lời giải
 a)Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
 – x2 = mx – 1 x2 + mx – 1 = 0 (1), phương trình (1) có a.c = –1 < 0 với mọi m
 (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
 b)Ta có x1, x2 là nghiệm của (1) nên theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = – m và x1. x2 = – 1 2 2
 Theo giả thiết: x1 x2 x2 x1 x1x2 3 x1 x2 (x1 x2 1) 3
 1( m 1) 3 m + 1 = 3 m = 2
 Vậy với m = 2 thì hoành độ giao điểm của (d) và (P) thỏa mãn đẳng thức trên.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x2 và y = x + m ( m là tham số ).
 a)Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x 2 và đồ thị (D) cắt y = x + m có hai giao điểm phân 
 biệt A và B.
 b)Tìm phương trình của đường thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P).
Lời giải:
 a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là : x2 = m + x x2 x + m = 0 (*)
 (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt: (*) có hai nghiệm phân biệt 
 1
 = 1 + 4m > 0 m >
 4
 b) Phương trình của đường thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P) có dạng : 
 (d)  (D) nên a.1 = 1 a = 1 . Ta có (d) : y = x + b
 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : x2 = x + b x2 x + b = 0
 (d) tiếp xúc với (P) x2 x + b = 0 có nghiệm kép.
 1
 = 1 + 4b = 0 b = .
 4
 1
 Phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = – x –
 4
Ví dụ 3: Trªn mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, ®å thÞ c¸c hµm sè y = x2 vµ y = 4x + m c¾t nhau t¹i hai 
®iÓm ph©n biÖt khi vµ chØ khi
 A. m > 1. B. m 4
 Đáp 
 án: D
Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 và (P): y = x2. Khi đó số điểm chung của (d) và (P) là: 
 A. 1 B. 2 C. không có điểm chung nào?
 Đáp 
 án: B
Ví dụ 4:Hai địa điểm A và B cách nhau 200km. Cùng một lúc một xe máy đi từ A và một ôtô đi 
từ 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
 1. BÀI TẬP TỰ LUẬN
TL 1.1Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = x2 có đồ thị (P).
 a)Vẽ (P).
 b)Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là 1 và 2. Chứng minh rằng 
 tam giác OAB vuông . TL 1.2Cho hàm số y ax2 (a 0) .
 a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 2).
 b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
 c) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4.
 d) Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục toạ độ.
 x2
TL 4.1Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho parabol (P) : y = và đường thẳng (D) đi qua điểm 
 4
 3 
 I = ; 1 có hệ số góc m.
 2 
 a) Viết phương trình của (D).
 b) Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
 1
TL 4.2Trong cùng một mặt phẳng toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) : 
 4
 y = mx 2m 1 .Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
TL 4.3 Cho hàm số số y = ax2 ( a 0 )
 a) Xác định hàm số y = ax2 biết đồ thị của nó đi qua A ( 2; 2 ).
 b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số vừa tìm tại hai điểm 
 c) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số vừa tìm 
 được. Hãy tìm tiếp điểm đó.
 1
TL 4.4Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d): y mx 2m 3
 2
 a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn đi qua một điểm cố định.
 b) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N.
 Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
TN 1.1Cho hàm số y = (–m2 – 1)x2. Với x < 0 thì hàm số trên:
 A. Luôn nghịch biến với mọi m thuộc R. B. Luôn đồng biến với mọi m thuộc R.
 C. Nghịch biến khi m –1
TN 1.2:Vôùi x > 0 . Haøm soá y = (m2 +3) x2 ñoàng bieán khi m :
 A. m > 0 B. m 0 C. m < 0 D. Vôùi moïi m ¡
 2. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
 2.1.TỰ LUẬN
 6 y
TL 1.1 Hàm số y = x2
 Bảng giá trị 5
 x – 2 – 1 0 1 2 4 B
 y = x2 4 1 0 1 4
 3
 2
 A 1
 x
 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5
 -1 Ta có A (P) và xA 1 yA 1
 B (P) và xB 2 yB 4
 2 2 2 2 2
 AB (xA xB ) (yA yB ) ( 1 2) (1 4) 18
 AO2 ( 1 0)2 (1 0)2 2
 BO2 (2 0)2 (4 0)2 20
 Ta có: AB2 AO2 BO2 (18 2 20)
 Theo định lý Pytago đảo suy ra AOB vuông tại A
 x2
TL 4.1Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho parabol (P) : y = và đường thẳng (D) đi qua điểm 
 4
 3 
I = ; 1 có hệ số góc m.
 2 
Lời giải. 
 3 
 a) Phương trình đường thẳng (D) có dạng y = mx + b. (D) đi qua I = ; 1 nên tọa độ 
 2 
 điểm I thỏa mãn
 3 3 3
 1 = m + b b = 1 m. Vậy (D) : y = mx 1 m 
 2 2 2
 b) Ta có: phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và (D) là:
 x2 3
 mx 1 m x2 4mx 6m 4 0 (1)
 4 2
 Để (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
 1
 = 16m2 24m 16 > 0 m > 2 hoặc m < .
 2
 1
 Vậy với m > 2 hoặc m < thì (D) cắt (P) tại hai điểm.
 2
 1
TL 4.2Trong cùng một mặt phẳng toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) : 
 4
 y = mx 2m 1 .Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
Lời giải
 Ta có: phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và (D) là: 
 1
 x2 mx 2m 1 x2 4mx (8m 4) 0 (1) 
 4
 (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép ' (2m)2 8m 4 0
 4(m + 1)2 = 0  m = 1. 
 Vậy: Với m = 1 thì (D) tiếp xúc với (P)
TL 4.3 Cho hàm số số y = ax2 ( a 0 )
Lời giải. 
 a) Vì đồ thị của hàm số y = ax2 đi qua điểm A ( 2; 2 ) nên ta có : 
 1 1
 2 = a.22 a = . Vậy hàm số cần xác định là : y = x2
 2 2 1
 b) Để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 tại hai điểm thì hệ phương trình 
 2
 y 2x m
 1
 1 có 2 nghiệm x2 = 2x + m có hai nghiệm phân biệt
 y x2 2
 2
 1 1
 x2 + 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân = 4 – 4. .m > 0 m < 2.
 2 2
 1
 Vậy khi m < 2 thì hàm số y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 tại hai điểm phân biệt.
 2
 1
 c) Để đường thẳng y = 2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x2 thì hệ phương trình 
 2
 1
 hoành độ giao điểm: x2 = 2x + m có nghiệm kép
 2
 1
 x2 + 2x + m = 0 có nghiệm kép = 0 m = 2
 2
 Gọi M (x; y) là tiếp điểm cần tìm : 
 y 2x m y 2x 2
 x 2
 Thay m = 2 vào hệ 1 2 1 2 
 y x y x y 2
 2 2
 1
TL 4.4Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d): y mx 2m 3
 2
Lời giải
 a) Gọi A(x0 ; y0) là điểm cố định cần tìm, ta có
 x0 2 0 x0 2
 (x0 2)m 3 y0 0, đúng với m 
 3 y0 0 y0 3
 Do (d) luôn đi qua điểm cố định A(2 ; 3) với mọi m.
 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
 1
 x2 mx 2m 3 x2 2mx 4m 6 0 (*)
 2
 2
 Ta có: ' m2 ( 4m 6) m2 4m 6 m 2 2 0, vôùim
 Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi m, tức là (d) luôn cắt (P) tại hai 
 điểm phân biệt M , N. Đặt M(x1;y1), N(x2;y2 ) vaø I(x;y) là trung điểm của MN, với x 1 
 , x2 là hai nghiệm của (*). Khi đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét ta suy ra: 
 x x
 x 1 2 m
 2
 y y m(x x ) 4m 6
 y 1 2 1 2
 2 2 x m
 hay y x2 2x 3
 2
 y (m 2m 3)
 Vậy tập hợp trung điểm I (x ; y) của đoạn thẳng MN khi m thay đổi là những điểm trong 
 mặt phẳng Oxy có tọa độ thỏa mãn hệ thức: y x2 2x 3
TRẮC NGHIỆM
Hướng dẫn cách chọn
TN 1.1Vì –m2 – 1 < 0 m ¡ nên với x < 0 thì hàm số đồng biến với m ¡ chọn B
TN 1.2Vì m2 +3 > 0 m ¡ nên với x > 0 thì hàm số đồng biến với m ¡ chọn D