Kinh nghiệm dạy và hướng dẫn học sinh ôn tập về tứ giác nội tiếp đường tròn

kinh nghiệm dạy và hướng dẫn học sinh
 ôn tập về tứ giác nội tiếp đường tròn 
cỏd
a/ đặt vấn đề:
1) Cơ sở lý luận:
	Các kiến thức hình học nói chung đối với học sinh phổ thông, các em đều thấy khó khăn, việc vận dụng các kiến thức vào làm các bài tập là rất khó khăn, riêng phần “Tứ giác nội tiếp” là khái niệm học sinh THCS được học ở cuối chương trình hình học phẳng ở lớp 9, một nội dung cần vận dụng nhiều kiến thức các em đã học ở trước. Đồng thời nội dung này thường được đưa vào bài tập hình học ở các đề thi cuối cấp THCS. 
Vì vậy để học sinh nắm được định nghĩa, tính chất, dấu hiệu từ đó vận dụng kiến thức được học vào làm bài tập là một việc làm không đơn giản. 
2) Cơ sở thực tiễn:
Sau nhiều năm dạy toán lớp 9 và ôn tập cho học sinh thi các kỳ thi cuối cấp THCS , ở phần “Tứ giác nội tiếp” tôi đã cố gắng sắp xếp dạy cho các em theo trình tự: Hệ thống lại lý thuyết từ định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết 1 tứ giác nội tiếp về bài tập chọn các bài tập có nội dung phù hợp với trình độ học sinh, đi theo mạch từ bài dễ đến bài khó, ở một số bài có thể phát triển được nên định hướng cho các em phát triển ở mỗi bài tập đều định hướng cho các em từ cách vẽ hình, hướng chứng minh. 
b/ nội dung: 
I- Phần lý thuyết: 
* Thông qua tiết 49 – 50 phân phối chương trình toán 9 bài “Tứ giác nội tiếp” , “Luyện tập” giáo viên chốt lại cho học sinh các vấn đề: 
1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp:
Một tứ giác có 4 đỉnh năm trên 1 đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). 
2) Tính chất của tư giác nội tiếp: 
Trong 1 tứ giác nội tiếp, tổng số đo 2 góc đối diện bằng 1800 . 
3) Dấu hiệu nhận biết:
+ Dấu hiệu 1: (Dựa theo định nghĩa)
 4 đỉnh của tứ giác cùng thuộc 1 đường tròn
+ Dấu hiệu 2: (Dựa theo tính chất). 
Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 1800
+ Dấu hiệu 3: (Dựa theo cùng chứa góc) 
Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc không đổi. 
* Thông qua tiết luyện tập và ôn tập hướng dẫn học sinh giải hết các bài tập ở SGK.
Qua đó giúp học sinh nắm được, khi đã chứng minh được 1 tứ giác nội tiếp thì:
- Tổng 2 góc đối diện của tứ giác đó bằng 1800
- Có thể vận dụng tính chất của các góc trên đường tròn đi qua 4 đỉnh của tứ giác đó để chứng minh các phần tiếp theo. 
II- Phần bài tập: 
Dạng 1: Vận dụng các dấu hiệu để nhận biết chứng minh tứ giác nội tiếp.
Bài 1: Cho DABC có 3 góc nhọn, các đường cao AK , BM , CN cắt nhau tại H. 
Kể tên các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ ? Vì sao? 
Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp DMNK
Chứng minh: 
a) Trên hình vẽ có 6 tứ giác nội tiếp 
- Tứ giác AMHN nội tiếp vì: (Theo dấu hiệu 2) 
Hoặc: 4 điểm A, M, H, N cùng thuộc đường tròn đường kính AH (theo dấu hiệu 1). 
- Tương tự các tứ giác BNHK và tứ giác CMHK nội tiếp 
- Tứ giác ANMC nội tiếp vì:
 (theo dấu hiệu 3)
- Tương tự các tứ giác BKMA và tứ giác CKNA nội tiếp . 
b) Theo câu a ta có tứ giác BNHK nội tiếp 
=> 	(1)
Tứ giác BNMC nội tiếp => 
	Hay 	(2)
Tứ giác CKHM nội tiếp => 	(3)
Tứ (1) (2) và (3) => 
Hay KH là phân giác 
Chứng minh tương tự ta có: NH, MH là phân giác ; 
Vậy H là giao điểm các đường phân giác trong của DMNK.
Hay H là tâm đường tròn nội tiếp DMNK
ð
Bài 2: Cho DABC, AH là đường cao, hạ HP, HQ lần lượt vuông góc với AB, AC. 
Chứng minh: Tứ giác BPQC nội tiếp
Chứng minh: Xét Tứ giác APHQ có: 	
=> Tứ giác APHQ nội tiếp 
=> (2 góc nội tiếp cùng chắn cung )
Mà (cùng phụ với )
=> 
Lại có: 	(2 góc kề bù) 
=> 
hay 
=> Tứ giác BPQC nội tiếp (theo dấu hiệu 2)
ð
Sau khi chứng minh bài toán, giáo viên đưa ra (hoặc có thể gợi ý để học sinh tự nêu) vấn đề: 
Nếu lấy 1 điểm H’ bất kỳ thuộc đường cao AH’, kể H’P’ , H’Q’ lần lượt vuông góc với AB, AC. 
Liệu tứ giác BP’Q’C có phải là tứ giác nội tiếp không ?
Giáo viên hướng dẫn học sinh cách chứng minh hoàn toàn tương tự trên. 
Bài tậi tương tư về nhà: 
Bài 3: Cho Tứ giác ABCD có AC vuông góc BA tại 0. Hạ 0H , 0N lần lượt vuông góc với AB, AC, CD, DA. 
Hãy kể tên và chứng minh các tứ giác nội tiếp tạo ra từ các điểm A, B, C, D, H, K, M, N, O.
*Có một số bài toán, ở nội dung bài không nói đến tứ giác nội tiếp nhưng khi chứng minh nếu sử dụng kiến thức tứ giác nội tiếp thì sẽ có cách giải đơn giản hơn. 
Dạng 2: Sử dụng kiến thức về tứ giác nội tiếp để chứng minh . 
Bài 1: Cho DABC nội tiếp (0) kể các đường cao BH và CK 
Chứng minh rằng 0A vuông góc HK 
Chứng minh : Gọi giao điểm KH và AO là I 
Ta có: 
=>Tứ giác BKHC nội tiếp (Theo dấu hiệu 3)
=> (cùng bù với )	(1)
Kéo dài AO cắt (O) tại điểm thứ 2 là D
=> (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra 	(3)
Lại có: DABD vuông tại B (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 
=> 	(4)
Từ (3) và(4) => 
Hay 
=> 
=> 
Bài 2: Cho (O) từ điểm A ở ngoài (0) kẻ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm) lấy 1 điểm M trên cung nhỏ BC. Kẻ MI, MH , MK lầ lượt vuông góc với BC, CA, AB gọi P là giao điểm BM và IK, Q là giao điểm CM và IH. 
Chứng minh DMIK và DMHI đồng dạng. 
Chứng minh PQ ^ BC 
Chứng minh: a) Ta có các tứ giác MKBI , MHCI nội tiếp (theo dấu hiệu 2). 
=> (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
 (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Mà 	(cùng chắn 1 cung CM của (O))
=> 	(1)
Chứng minh tương tự ta có: 	(2)
Từ (1) và (2) => DMIK	DMHI	(gg)
b) Theo câu a ta có: 
Chứng minh tương tự ta có 
=> 
Xét tứ giác MPIQ có: (tổng 3 góc trong 1D)
Tứ giác MPIQ nội tiếp . 
 (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) 
Mà 	(chứng minh trên) 
=> 
Mặt khác và ở vị trí đồng vị đối với 2 đường thẳng PQ và BC. 
=> PQ // BC
Lại có: MI ^ BC (gt)
=> MI ^ PQ 

Bài tập tương tự về nhà
Bài 3:	Cho nửa đường tròn đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn , điểm C thuộc đoạn OA . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M vẽ tiếp tuyến Ax, By đường thẳng qua M và vuông góc MC cắt Ax, By tại P và Q . AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F. 
Chứng minh 
Chứng minh EF// AB
 Dạng 3: Dạng toán tổng hợp
Đối với các bài toán tổng hợp có nhiều câu, hình vẽ có nhiều đường rườm rà , nên hướng dẫn cho học sinh vẽ mỗi câu, mỗi hình, hình vẽ của câu nào thì chỉ vẽ các đường cần thiết liên quan đến câu đó mà thôi. 
Có thể vẽ (ở nháp) các yếu tố liên quan với nhau, yếu tố cần chứng minh 1 màu mực. 1 hình có thể vẽ nhiều màu mực để nối rõ yếu tố cần chứng minh. Từ đó các em sẽ dễ dàng chứng minh hơn. 
Bài 1: Cho DABC nhọn, kẻ các đường cao AA’ , BB’ , CC’ . Gọi E, F là hình chiếu của A’ trên AB, AC.Gọi K, L là hình chiếu của B’ trên BC, BA. Gọi M, N là hình chiếu của C’ trên CA , CB . 
Chứng minh FK//AB
Chứng minh tứ giác ALKC nội tiếp
Chứng minh tứ giác MLKF nội tiếp
Chứng minh 6 điểm M, L, E, N, K, F cùng thuộc 1 đường tròn. 
Chứng minh: a) Chứng minh FK//AB
Ta có tứ giác AB A’ B’ nội tiếp (vì 
=> (cùng bù A B’ A’ )	(1)
Tương tự ta có tứ giác A’ B’ FK nội tiếp (dấu hiệu 3) 
=> (cùng bù với )	(2)
Từ (1) và (2) => 
Mà 2 góc ở vị trí đồng vị đối với 2 đường thẳng KF và AB. 
=> KF // AB
b) Chứng minh tứ giác ALKC nội tiếp
Chứng minh tương tự bài 2 (dạng 1) 
c)Chứng minh tứ giác MLKF nội tiếp 
Chứng minh tương tự câu a ta có: LM // BC 
=> 	(1)
Theo câu b: 	(cùng bù )	(2)
Theo câu a: KF// AB 
=> 	(so le trong) 	(3)
Kết hợp (1) (2) và (3) suy ra 
Lại có: 	(2 góc kề bù)
=> 
=> tứ giác MLKF nội tiếp (dấu hiệu 2)
e) Chứng minh 6 điểm M, L, E, N, K, F cùng thuộc 1đường tròn.
Chứng minh tương tự câu b ta có tứ giác AMNB nội tiếp . 
=> 	
Mà 	(theo câu a) 
=> 
Lại có: 	(2 góc kề bù)
=> 
=> Tứ giác NMFK nội tiếp (dấu hiệu 2)
=> Điểm N thuộc đường tròn qua 3 điểm M, K, F	(*) 
Theo câu c ta có tứ giác MLKF nội tiếp 
=> Điểm L thuộc đường tròn qua 3 điểm M, K, F 	(**)
Chứng minh tương tự câu c ta có: tứ giác ENKF nội tiếp 
=>Điểm E thuộc đường qua 3 điểm N, K, F 
Kết hợp (*) => điểm E thuộc đường tròn 3 điểm M, K, F	(***)
Từ (*) (**) và (***) suy ra 6 điểm M, L, E, N, K, F cùng thuộc 1 đường tròn đi qua 3 điểm M, K, F. 
ở bài toán này, nếu giáo viên không hướng dẫn các em tách thành các hình a, hình b, hình c, hình d để làm các câu tưong ứng a, b, c, d mà để các em vẽ chung trên 1 hình như ở hình 1 – 3 thì hình vẽ rất rậm, có nhiều đường, các em em rất khó nhìn ra các yếu tố cần để chứng minh. Từ đó việc chứng minh sẽ khó khăn hơn nhiều. 
Khi hướng dẫn các em tách thành các hình như trên thì mỗi câu trở thành 1 bài toán nhỏ, hình vẽ đơn giản ít đường, các em sẽ dễ thấy mỗi liên hệ giữa các yếu tố từ đó việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn. 
Bài tập tương tự: 
Bài 2: (đề thi vào THPT năm 2007 – 2008- Tỉnh Nghệ An). 
Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB, điểm H nằm giữa 2 điểm A và B (H không trùng với O) đường thẳng vuông góc với AB tại H, cắt nửa đường tròn tạo điểm C. gọi D và E lần lượt là chân các đường vuôgn góc kẻ từ H đến AC và BC 
Tứ giác HDCE là hình gì ? Vì sao 
Chứng minh tứ giác A D E B nội tiếp. 
Gọi K là tâm đường ngoài tiếp tứ giác ADEB 
Chứng minh DE = 2KO
	c/ kết luận: 
Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ khi dạy và hướng dẫn học sinh ôn tập về tứ giác nội tiếp đường tròn, nhằm giúp các em chuẩn bị tốt các kỳ thi cuối cấp THCS. Tôi thiết nghĩ khi đã được học và hệ thống đầy đủ về lý thuyết cần có hệ thống bài tập phù hợp với các đối tượng học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi đáp ứng với nhu cầu học tập của các em. 
Chẳng hạn ở bài 1 , bài 3 dạng 1 rèn luyện cho học sinh yếu, trung bình biết cách nhận xét,dự đoán các tứ giác nội tiếp trong hình vẽ từ đó củng cố các dấu hiệu, kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp. 
ở bài 2 dạng 1, bài 2 dạng 2 nhằm để nâng cao kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp từ đó đưa ra được bài toán tương tự hay bài toán tổng quát. 
ở các bài tập dạng 2, dạng 3 nhằm giúp các em thấy được các ứng dụng của tứ giác nội tiếp, để chứng minh 2 góc bằng nhau , 2 đường thẳng song song , 2 đường thẳng vuông góc, chứng minh 1 tập hợp điểm cùng thuộc 1 đường tròn... từ đó các em sẽ từng bước nắm vững các kiến thức, gây hứng thú học tập trong học toán, nâng cao tư duy lô gíc, vận dụng hợp lý khi giải toán. Với kiến thức có hạn, tôi mạnh dạn đưa ra kinh nghiệm nhỏ. Trên đây nhằm giúp học sinh không còn bớ ngỡ khi gặp các bài toán về tứ giác nội tiếp hay sử dụng ứng dụng, tứ giác nội tiếp để chứng minh và đã có kết quả khả quan trong các kỳ thi cuối cấp THCS. Tuy nhiên đây chỉ là ý kiến mang tính chủ quan của bản thân, nên không thẻ tránh khỏi những khiếm khuyết , thiết sót. Vì vậy rất mong sự góp ý phê bình của các đồng nghiệp để tôi có thể rửa đối trong các bài dạy và ôn tập lần sau có hiệu quả hơn.
d/Kiến nghị đề xuất: 
Hàng năm, sau các đợt thi SKKN nên giới thiệu các SKKN hay, có tính sáng tạo và áp dụng rộng rãi và có hiệu quả và có hiệu quả quả bằng cách gửi các bản photo đong theo từng môn, để giáo viên toàn huyện có thể học tập, áp dụng vào các bài dạy của mình./. 
Xin cảm ơn nhiều !
 Đô Lương, ngày 2 tháng 4 năm 2008