Một số bài tập Hình 9

 MỘT TRĂM BÀI TẬP 
 HÌNH HỌC LỚP 9. 
 Phần 1: 50 bài tập cơ bản.
 Lời nói đầu:
Trong quá trình ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 9,chúng ta đều nhận thấy học sinh rất ngại chứng minh hình học. Cũng do học sinh còn yếu kiến thức bộ môn.Hơn nữa giáo viên thường rất bí bài tập nhằm rèn luyện các kỹ năng, đặc biệt là luyện thi tốt nghiệp.Đồng thời do học sinh chúng ta là học sinh có hoàn cảnh gia đình còn nghèo vì vậy học sinh yếu kỹ năng vận dụng nếu chúng ta chỉ chữa một vài bài tập mà thôi.
Do để học sinh có thể chủ động trong quá trình làm bài,các bài tập trong tài liệu này chỉ có tính cất gợi ý phương án chứng minh chứ chưa phải là bài giải hoàn hảo nhất.
Bên cạnh đó để có bài tập riêng của từng giáo viên,người giáo viên cần biết biến đổi bài tập trong tài liệu này sao cho phù hợp với đối tượng học sinh.
Tài liệu được sưu tầm trong các sách và đã được thống kê trong phần phụ lục.Cấm việc in sao,sao chép dưới bất kỳ hình thức nào mà không có sự nhất trí của tác giả.
Dù có nhiều cố gắng song tài liệu chắc chắn kông thể không có sai soat.Mong được sự góp ý của bạn đọc.Thư về:
Bài 1: Cho DABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N.
Chứng minh:BEDC nội tiếp.
Chứng minh: góc DEA=ACB.
Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN.
Chứng tỏ: AM2=AE.AB.
 Giợi ý:
1.C/m BEDC nội tiếp:
C/m góc BEC=BDE=1v. Hia điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông.
2.C/m góc DEA=ACB.
Do BECD ntÞDMB+DCB=2v.
Mà DEB+AED=2v
ÞAED=ACB
3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1)
 y
 A
 x
 N
 E D
 M O
 B C
Hình 1
 Ta phải c/m xy//DE.
 Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB=sđ cung AB.
Mà sđ ACB=sđ AB. Þgóc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt)
ÞxAB=AED hay xy//DE.
 4.C/m OA là phân giác của góc MAN.
Do xy//DE hay xy//MN mà OA^xyÞOA^MN.^OA là đường trung trực của MN.(Đường kính vuông góc với một dây)ÞDAMN cân ở A ÞAO là phân giác của góc MAN.
 5.C/m :AM2=AE.AB.
Do DAMN cân ở A ÞAM=AN Þcung AM=cung AN.Þgóc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);góc MAB chung
 ÞDMAE ∽D BAMÞÞ MA2=AE.AB.
 ÐÏ(&(ÐÏBài 2: 
 Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I.
 1.Tứ giác ADBE là hình gì?
 2.C/m DMBI nội tiếp.
 3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD.
 4.C/m MC.DB=MI.DC
 5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
 Gợi ý:
1.Do MA=MB và AB^DE tại M nên ta có DM=ME.
ÞADBE là hình bình hành.
Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE) vậy ADBE ;là hình thoi.
2.C/m DMBI nội tiếp.
BC là đường kính,IỴ(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc DMB=1v(gt)
ÞBID+DMB=2vÞđpcm. 
 D
 I
 A M O B O’ C
 E
Hình 2
 3.C/m B;I;E thẳng hàng.
 Do AEBD là hình thoi ÞBE//AD mà AD^DC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)ÞBE^DC; CM^DE(gt).Do góc BIC=1v ÞBI^DC.Qua 1 điểm B có hai đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC ^B;I;E thẳng hàng.
 ·C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; DEID vuông ở IÞMI là đường trung tuyến của tam giác vuông DEI ÞMI=MD.
 4. C/m MC.DB=MI.DC.
 hãy chứng minh DMCI∽ DDCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắn cung MI do DMBI nội tiếp)
5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
 -Ta có DO’IC Cân Þgóc O’IC=O’CI. MBID nội tiếp ÞMIB=MDB (cùng chắn cung MB) DBDE cân ở B Þgóc MDB=MEB .Do MECI nội tiếp Þgóc MEB=MCI (cùng chắn cung MI)
Từ đó suy ra góc O’IC=MIB ÞMIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v
Vậy MI ^O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) ÞMI là tiếp tuyến của (O’).
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 3:
 Cho DABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. 
C/m BADC nội tiếp.
BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED.
C/m CA là phân giác của góc BCS.
 Gợi ý:
1.C/m ABCD nội tiếp:
C/m A và D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông..
2.C/m ME là phân giác của góc AED.
·Hãy c/m AMEB nội tiếp.
·Góc ABM=AEM( cùng chắn cung AM)
Góc ABM=ACD( Cùng chắn cung MD)
Góc ACD=DME( Cùng chắn cung MD)
 D S
 A M
 O
 B E C
Hình 3
 ÞAEM=MED.
 4.C/m CA là phân giác của góc BCS.
 -Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB)
 -Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS)
 -Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD)
 DMS=DCS(Cùng chắn cung DS)
ÞGóc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.
 Vậy góc ADB=SCAÞđpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 4: 
 Cho DABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S.
C/m ADCB nội tiếp.
C/m ME là phân giác của góc AED.
C/m: Góc ASM=ACD.
Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED.
C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy.
 Gợi ý:
1.C/m ADCB nội tiếp:
Hãy chứng minh:
Góc MDC=BDC=1v
Từ đó suy ra A vad D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông
2.C/m ME là phân giác của góc AED.
·Do ABCD nội tiếp nên
 A
 S D
 M 
 B E C
Hình 4
 ÞABD=ACD (Cùng chắn cung AD)
 ·Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD)
 ·Do MC là đường kính;EỴ(O)ÞGóc MEC=1vÞMEB=1v ÞABEM nội tiếpÞGóc MEA=ABD. ÞGóc MEA=MEDÞđpcm
 3.C/m góc ASM=ACD.
 Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD)
 Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung SM)ÞSMD+SDM=SCD+SCM=MCD.
Vậy Góc A SM=ACD.
 4.C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 2)
 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy.
 Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng.
 ·Do CA^AB(gt);BD^DC(cmt) và AC cắt BD ở MÞM là trực tâm của tam giác KBCÞKM là đường cao thứ 3 nên KM^BC.Mà ME^BC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng Þđpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
 Bài 5:
 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.
C/m AEDB nội tiếp.
C/m DB.A’A=AD.A’C
C/m:DE^AC.
Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF.
 Gợi ý:
 A
 N E 
 O I
Hình 5
 B D M C
 F
 A’
 1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm với hai đầu đoạn AB)
 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứng minh được hai tam giác vuông DBA và A’CA đồng dạng. 
 3/ C/m DE^AC.
 Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà góc ACA’=1v nên DE^AC.
 4/C/m MD=ME=MF.
 ·Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là trung điểm BC và AB ÞMN//AC(Tính chất đường trung bình)
Do DE^AC ÞMN^DE (Đường kính đi qua trung điểm một dây)ÞMN là đường trung trực của DE ÞME=MD.
 · Gọi I là trung điểm AC.ÞMI//AB(tính chất đường trung bình)
ÞA’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C).
Do ADFC nội tiếp ÞGóc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) ÞGóc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1vÞMI^DF.Đường kính MI^dây cung DFÞMI là đường trung trực của DFÞMD=MF. Vậy MD=ME=MF.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 6: 
 Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE.
 1/C/m MFEC nội tiếp.
 2/C/m BM.EF=BA.EM
 3/C/M DAMP∽DFMQ.
 4/C/m góc PQM=90o.
 Giải:
1/C/m MFEC nội tiếp:
(Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM)
2/C/m BM.EF=BA.EM
 ·C/m:DEFM∽DABM:
Ta có góc ABM=ACM (Vì cùng chắn cung AM)
 A M
 F
 P
 B E C
Hình 6
 Do MFEC nội tiếp nên góc ACM=FEM(Cùng chắn cung FM).
ÞGóc ABM=FEM.(1)
Ta lại có góc AMB=ACB(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên góc FME=FCM(Cùng chắn cung FE).ÞGóc AMB=FME.(2)
Từ (1)và(2) suy ra :DEFM∽DABM Þđpcm.
3/C/m DAMP∽DFMQ.
 Ta có DEFM∽DABM (theo c/m trên)Þ maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) Þ và góc PAM=MFQ (suy ra từ DEFM∽DABM)
Vậy: DAMP∽DFMQ.
4/C/m góc:PQM=90o.
 Do góc AMP=FMQ ÞPMQ=AMF ÞDPQM∽DAFM Þgóc MQP=AFM Mà góc AFM=1vÞMQP=1v(đpcm).
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 7:
 Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G.
C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn này.
C/m DBFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp DBCD.
C/m GEFB nội tiếp.
Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp DBCD.Có nhận xét gì về I và F
1/C/m BGEC nội tiếp:
-Sử dụng tổng hai góc đối
-I là trung điểm GC.
2/·C/mDBFC vuông cân:
Góc BCF=FBA(Cùng chắn cung BF) mà góc FBA=45o (tính chất hình vuông)
ÞGóc BCF=45o.
Góc BFC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Þđpcm.
·C/m F là tâm đường tròn ngoại tiếp DBDC.ta C/m F cách đều các đỉnh B;C;D
Do DBFC vuông cân nên BC=FC.
 A
 B O C
 F I
 D
Hình 7
 G E
Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung;
Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạnh của hình vuông ABED).ÞDBFE=DE FD ÞBF=FDÞBF=FC=FD.Þđpcm.
3/C/m GE FB nội tiếp:
 Do DBFC vuông cân ở F ÞCung BF=FC=90o. Þsđgóc GBF=Sđ cung BF=.90o=45o.(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF)
Mà góc FED=45o(tính chất hình vuông)ÞGóc FED=GBF=45o.ta lại có góc FED+FEG=2vÞGóc GBF+FEG=2v ÞGEFB nội tiếp.
4/ C/m· C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp ÞGóc BFG=BEG mà BEG=1vÞBFG=1v.Do DBFG vuông cân ở FÞGóc BFC=1v.ÞGóc BFG+CFB=2vÞG;F;C thẳng hàng. C/m G cũng nằm trên :Do GBC=GDC=1vÞtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là FÞG nằn trên đường tròn ngoại tiếp DBCD. ·Dễ dàng c/m được Iº F.
Bài 8:
Cho DABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC).
C/m BDCO nội tiếp.
C/m: DC2=DE.DF.
C/m:DOIC nội tiếp.
Chứng tỏ I là trung điểm FE.
1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai góc đối)
2/C/m:DC2=DE.DF.
Xét hai tam giác:DEC và DCF có góc D chung.
SđgócECD=sđ cung EC(Góc giữa tiếp tuy ...  CF là phân giác của DACK và CF^AKÞCF là đường trung trực của AKÞ E là F lần lượt là trung điểm của AI và AKÞ FE là đường trung bình của DAKIÞFE//KI hay EF//BC.
4/C/m ADIC nt:
DAI=DCIÞADIC nội tiếp
Do AEDF ntÞDAE=DFE(cùng chắn cung DE)
Do FE//BCÞEFD=DCI(so le)
 ÐÏ(&(ÐÏ 
Bài 43:
 Cho DABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài).Dựng đường tròn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC.Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D.
Chứng tỏ D nằm trên BC.
Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC.AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. C/m DE.AC=AE.MC
C/m AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng.
Gọi I là trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o.
1/Chứng tỏ:D nằm trên đường thẳng BC:Do ADB=1v;ADC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) ÞADB+ADC=2vÞD;B;C thẳng hàng.
Tính diện tích tam giác AMC.
 A
 O N O’
I
 B D E C
Hình 43
 M
 -Tính DB: Theo PiTaGo trong D vuông ABC có: BC=.Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: AD.BC=AB.ACÞAD=20.15:25=12
2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xét hai tam giác ADE và AMC.Có ADE=1v(cmt) và AMC=1v (góc nt chắn nửa đường tròn).Do cung MC=DB(gt)ÞDAE=MAC(2 góc nt chắn 2 cung bằng nhau) ÞDDAE∽DMACÞ (1)ÞĐpcm.
3/C/m:AN=NE:
Do BA^AO’(DABC Vuông ở A)ÞBA là tt của (O’)ÞsđBAE=sđ AM 
SđAED=sđ (MC+AD) mà cung MC=DMÞcung MC+AD=AM 
Þ AED =BAC ÞDBAE cân ở B mà BM^AEÞNA=NE.
—C/m O;N;O’ thẳng hàng:ON là đường TB của DABEÞON//BE và OO’//BE
ÞO;N;O’ thẳng hàng.
4/Do OO’//BC và cung MC=MD ÞO’M^BCÞO’M^OO’ÞDNO’M vuông ở O’ có O’I là trung tuyến ÞDINO’ cân ở IÞIO’M=INO’ mà INO’=ONA(đ đ);DOAN cân ở OÞONA=OANÞOAI=IO’OÞOAO’I ntÞOAO’+OIO’=2v mà OAO’=1v ÞOIO’=1v.
5/ Tính diện tích DAMC.Ta có SAMC=AM.MC .Ta có BD=ÞDC=16
Ta lại có DA2=CD.BD=16.9ÞAD=12;BE=AB=15ÞDE=15-9=6ÞAE=
Từ(1) tính AM;MC rồi tính S.
 ÐÏ(&(ÐÏ 
Bài 44:
 Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều,kể từ điểm A một cung AB=60o, rồi cung BC=90o và cung CD=120o.
C/m ABCD là hình thang cân.
Chứng tỏ AC^DB.
Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD.
Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB.Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q.C/m MN là phân giác của góc PMQ.
1/C/m:ABCD là hình thang cân:Do cung BC=90o ÞBAC=45o (góc nt bằng nửa cung bị chắn).do cung AB=60o;BC=90o;CD=120oÞ
AD=90o ÞACD=45o ÞBAC=ACD=45o.ÞAB//CD.
Vì cung DAB=150o.Cung ABC =150o.Þ BCD=CDA. ÞABCD là thang cân.
2/C/mAC^DB:
Gọi I là giao điểm của AC và BD.sđAID=sđ cung(AD+BC)=180o=90o.ÞAC^DB.
3/Do cung AB=60oÞAOB=60oÞDAOB là tam giác đềuÞAB=R.
 P
 A J N K B
 Q
 I
 —O
 D
 M 
 C E
Hình 44
Do cung BC=90o ÞBOC=90oÞ DBOC vuông cân ở OÞBC=AD=RDo cung CD=120o ÞDOC=120o.Kẻ OK^CDÞDOK=60oÞsin 60o=ÞDK=. ÞCD=2DK=R
-Tính AC:Do DAIB vuông cân ở IÞ2IC2=AB2ÞIA=AB= Tương tự IC=; AC = DB=IA+IC =
4/PN cắt CD tại E;MQ cắt AB tại I;PM cắt AB tại J.
Vì NB=NA
 Þ 
—Do JN//ME Þ 
Do AN//DE Þ
—Do NI//ME Þ
 NB//ME Þ
ÞNI=NJ.Mà MN^AB(tc thang cân)ÞDJMI cân ởp MÞMN là phân giác
 ÐÏ(&(ÐÏ 
Bài45:
 Cho D đều ABC có cạnh bằng a.Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B của tam giấcBC.Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB.Trên Dx lấy điểm E sao cho ED=DB(D và E nằm hai phía của đường thẳng AB).Từ E kẻ EF^BC. Gọi O là trung điểm EB.
C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a.
Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M.EC cắt (O) ở N.C/m EBMC là thang cân.Tính diện tích.
c/m EC là phân giác của góc DAC.
C/m FD là đường trung trực của MB.
Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng.
Tính diện tích phần mặt trăng được tạo bởi cung nhỏ EB của hai đường tròn.
 E A
 N 
 O —
 D
 B F C
 M
1/Do DABC là tam giác đều có D là giao điểm 2 đường phân giác góc A và BÞBD=DA=DC mà DB=DEÞA;B;E;C cách đều DÞAEBC nt trong (D).
Tính DB.Aùp dụng công thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều ta có: DB=
Do góc EDB=EFB=1vÞEDFB nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go trong tam giác vuông EDB có:EB2=2ED2=2.( )2.
ÞEB=ÞOE=
2/C/m EBMC là thang cân:
Góc EDB=90o là góc ở tâm (D) chắn cung EBÞCung EB=90oÞgóc ECN=45o.ÞDEFC vuông cân ở FÞFEC=45oÞMBC=45o(=MEC=45o) ÞEFC=CBM=45oÞBM//EC.Ta có DFBM vuông cân ở FÞBC=EM ÞEBMC là thang cân.
Do EBMC là thang cân có hai đường chéo vuông gócÞSEBMC=BC.EM (BC=EM=a)ÞSEBMC=a2.
3/C/m EC là phân giác của góc DCA:
Ta có ACB=60o;ECB=45oÞACE=15o.
Do BD;DC là phân giác của Dđều ABC ÞDCB=ACD=30o và ECA=15o ÞECD=15o ÞECA=ECDÞEC là phân giác của góc ECA.
4/C/m FD là đường trung trực của MB:
Do BED=BEF+FED=45o và FEC=FED+DEC=45oÞBEF=DEC và DEC=DCE=15o.Mà BE F=BDF(cùng chắn cung BF) và NED=NBD(cùng chắn cung ND)ÞNBD=BDFÞBN//DF mà BN^EC(góc nt chắn nửa đuờng tròn (O) ÞDF ^EC.Do DC//BM(vì BMCE là hình thang cân)ÞDF^BM nhưmg DBFM vuông cân ở FÞFD là đường trung trực của MB.
5/C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta có BND=BED=45o (cùng chắn cung DB) và ENB=90o(cmt);ENA là góc ngoài DANCÞENA=NAC+CAN=45o
ÞENA+ENB+BND=180oÞA;N;D thẳng hàng.
6/Gọi diện tích mặt trăng cần tính là:S.
Ta có: S =Snửa (O)-S viên phân EDB
—S(O)=p.OE2=p.()2=ÞS(O)=
—S quạt EBD==
—SDEBD=DB2=
—Sviên phân=S quạt EBD - SDEDB=-=
— S =-=.
 ÐÏ(&(ÐÏ 
Bài 46:
 Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F.Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E.
C/m BD là phân giác của góc ABC và OD//AB.
C/m ADEF nội tiếp.
Gọi I là giao điểm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB.
C/m góc AFD=AED
1/* C/mBD là phân giác của góc ABC:Do cung AD=DC(gt)ÞABD=
DBC(hai góc nt chắn hai cung bằng nhau)ÞBD là phân giác của góc ABC.
*Do cung AD=DC Þgóc AOD=DOC(2 cung bằng nhau thì hai góc ở tâm bằng nhau).
 F
 A
 D E
 I
 F
 A
 B O C
Hình 47
OD//BA
Hay OD là phân giác của D cân AOCÞOD^AC.
Vì BAC là góc nt chắn nửa đường tròn ÞBA^AC 
 2/C/m ADEF nội tiếp:
ÞADB=AFE
 Do ADB=ACB(cùng chắn cung AB)
 Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC) 
Mà ADB+ADE=2vÞAFE+ADE=2vÞADEF nội tiếp.
3/C/m: *CI=CE:
Ta có:sđ DCA=sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD=sđ cung DC (góc giữa tt và 1 dây)
Mà cung AD=DCÞDCA=ECD hay CD là phân giác của DICE.Nhưng CD^DB (góc nt chắn nửa đt)ÞCD vừa là đường cao,vừa là phân giác của DICEÞDICE cân ở CÞIC=CE.
*C/m DIAD∽DIBC(có DAC=DBC cùng chắn cung DC)
4/Tự c/m:
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài47:
 Cho nửa đtròn (O);đường kính AD.Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho cung AB<AC.AC cắt BD ở E.Kẻ EF^AD tại F.
C/m:ABEF nt.
Chứng tỏ DE.DB=DF.DA.
C/m:I là tâm đường tròn nội tiếp DCJD.
Gọi I là giao điểm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC
1/Sử dụng tổng hai góc đối.
2/c/m: DE.DB=DF.DA
Xét hai tam giác vuông BDA và FDE có góc D chung.
ÞDBDA∽DFDEÞđpcm.
3/C/m IE là tâm đường tròn ngoại tiếp DFBC:
Xem câu 3 bài 35.
4/ C/m: BI2=BF.BC-IF.IC
 C
 B
 E
 I M
 A F O D
Hình 47
Gọi M là trung điểm ED.
*C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM là trung tuyến của tam giác vuông FEDÞFM=EM=MD=EDÞCác tam giác FEM;MFD cân ở MÞMFD=MDF và EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngoài DMFD)
Vì CA là phân giác của góc BCFÞ2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF
ÞBMF=BCFÞBCMF nội tiếp.
*Ta có BFM∽DBIC vì FBM=CBI(BD là phân giác của FBC-cmt) và BMF=BCI(cmt) ÞÞBF.BC=BM.BIu
*D IFM∽DIBC vì BIC=FIM(đđ).Do BCMF nội tiếpÞCFM=CBM(cùng chắn cung CM)Þ ÞIC.IF=IM.IB v
Lấy utrừv vế theo vế
Þ BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 48:
 Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vuông APQR vào phía trong đường tròn.Tia PR cắt (O) tại C.
C/m DACB vuông cân.
Vẽ phân giác AI của góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC tại J.C/m 4 điểm J;A;Q;B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP.
RR
1/ C/mDABC vuông cân:
Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đt) Và APB=1v ;Do APQR là hvuông có PC là đường chéo ÞPC là pg của góc APBÞ cung AC=CB Þdây AC=CB ÞDABC vuông cân.
2/C/m JANQ nội tiếp:
Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQÞDPAJ=DQPJ
Þ góc PAJ=PQJ mà JAB=PAJ và PQJ+JQB=2vÞ JAB+JQB=2vÞJQBA nt.
 I
 P
 J Q
 B
— ÂO
 A 
 R
 C
Hình 48
3/C/m: CI.QJ=CJ.QP.
 Ta cần chứng minh DCIJ∽DQPJ vì AIC=APC(cùng chắn cung AC) và APC=JPQ=45oÞJIC=QPJ
 Hơn nữa PCI=IAP( cùng chắn cung PI);IAP=PQJ(cmt)Þ PQJ=ICJ
4/
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 49:
 Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho cung AM<MB.Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt tt Ax và By lần lượt ở D và C.
Chứng tỏ ADMO nội tiếp.
Chứng tỏ AD.BC=R2.
Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F;MB cắt Ax ở E. Chứng minh:AMFN là hình thang cân.
Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để DE=EF
Hình 49
 F
 C
 E
 M
 D
 N A O B
1/C/m ADMO nt:Sử dụng tổng hai góc đối.
2/C/m: AD.BC=R2.
ßC/m:DOC vuông ở O: Theo tính chất hai tt cắt nhau ta có ADO=MDO ÞMOD=DOA.Tương tự MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v
ÞAOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v.
ßAùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOC có OM là đường cao ta có:DM.MC=OM2.Mà DM=AD;MC=CB(t/c hai tt cắt nhau) và OM=R Þđpcm.
3/Do AD=MD(t/c hai tt cắt nhau)và ADO=ODM ÞOD là đường trung trực của AM hay DO^AM. Vì FA^ON;NM^FO(t/c tt) và FA cắt MN tại D 
ÞD là trực tâm của DFNOÞDO^FN.Vậy AM//FN.
Vì DOAM cân ở OÞOAM=OMA.Do AM//FN ÞFNO=MAO và AMO=NFO ÞFNO=NFO vậy FNAM là thang cân.
4/Do DE=FE nên EM là trung tuyến của D vuông FDMÞED=EM.u Vì DMA=DAM và DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1vÞEDM=DEM hay DEDM cân ở D hay DM=DEv.Từ uvà vÞDEDM là D đều ÞODM=60oÞAOM=60o.Vậy M nằm ở vị trí sao cho cung AM=1/3 nửa đường tròn.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 50:
 Cho hình vuông ABCD,E là một điểm thuộc cạnh BC.Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE ,đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
Chứng minh:BHCD nt.
Tính góc CHK.
C/m KC.KD=KH.KB.
Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào?
1/ C/m BHCD nt(Sử dụng H và C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng DB)
2/Tính góc CHK:
Do BDCE nt ÞDBC=DHK(cùng chắn cung DC) mà DBC=45o (tính chất hình vuông)ÞDHC=45o mà DHK=1v(gt)ÞCHK=45o.
3/C/m KC.KD=KH.KB.
Chứng minh hai tam giác vuông 
 A D
 B E C
 H
 K
Hình 50
KCB và KHD đồng dạng.
4/Do BHD=1v không đổi ÞE di chuyển trên BC thì H di động trên đường tròn đường kính DB.
 ÐÏ(&(ÐÏ
 Hết phần I