Một số bài toán Hình Học 9

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC.
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD( BC // AD). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Trên AB kéo dài về phía A lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q. Chứng minh rằng: MN là phân giác của góc PMQ.
Hướng dẫn: Gọi I, K, R thứ tự là giao điểm của PM, MQ với AD; PQ
với BC.
Ta có: M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC => MN ^ AD
Do đó, để cm: MN là phân giác của góc PMQ,
ta chỉ cần chứng minh: DIMK cân tại M. Thật vậy:
Do BC // AD => 
Và: 
Mà: N là trung điểm của AD => AN = ND => 
DIMK có MN vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến => DIMK cân tại M
 => đpcm
Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M ở miền trong hình vuông sao cho . Lấy điểm N ở miền ngoài hình vuông sao cho tam giác NDC đều. 
Chứng minh: Tứ giác MNCB là hình thoi.
Chứng minh: Tam giác MAB đều. 
Hướng dẫn:
a) DMDC cân tại M( vì ) => MD = MC; 
 DNDC đều => ND = NC = DC
MN là đường trung trực của CD. => MN ^CD
DMDC cân tại M, MN là đường trung trực 
MN là tia phân giác của góc CMD
Mà: 
DMNC cân tại N => MN = NC = CD = BC
Mặt khác: MN ^CD; BC^CD => MN // BC
Tứ giác MNCB có: MN // BC; MN = BC; MN = NC
MNCB là hình thoi.
b) MNCB là hình thoi => MB = BC = AB
 Chứng minh tương tự ta cũng có: MNDA là hình thoi => MA = AD = AB
 Vậy: MB = MA = AB => Tam giác AMB đều.
Bài 3: Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng CD. Chứng minh rằng nếu AD // BC thì đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.
 Hướng dẫn:
 Gọi M là trung điểm AB; N là trung điểm CD. Kẻ MH ^CD; NK ^AB.
 Theo giả thiết: MH = ½.AB
 Mặt khác: ; 
 Mà: AD // BC => BC // AD // MN => SNAM = SBMN và SAMN = SDMN
 ó đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB tại N.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. D là 1 điểm trên AC( khác A và C). Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC tại E. Từ B kẻ tiếp tuyến thứ 2 BF với (O). Gọi M là trung điểm của BC, BF cắt AM tại N. Chứng minh rằng: AN = NF 
Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của BD.
Vì: 
5 điểm: A, B, E, D, F cùng thuộc đường tròn đường kính BD.
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) (1)
Mà: ( góc ngoài tam giác BDC)
Mặt khác: tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến
=> MA = MB = MC => tam giác AMC cân tại M
=> 
( hai tiếp tuyến tại E, F của (O) cắt nhau tại B)
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung DF)
=> (2)
Từ (1) và (2) => => tam giác ANF cân tại N => AN = NF.
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn. BD, CE là các đường phân giác trong của tam giác. Biết ; . Hãy tính số đo các góc của tam giác ABC.
Hướng dẫn: Lấy M đối xứng với D qua CE; 
 N đối xứng với E qua BD.
 => M, N thuộc BC
 Gọi I, O thứ tự là giao điểm của ME và BD; BD và CE.
 Ta có: ( góc ngoài của tam giác BOC)
 Mà: góc EOB cũng là góc ngoài của tam giác DOE nên:
 Và: BD, CE là các đường phân giác nên: 
 Do đó : góc A = 1800 – 840 = 720
 Mặt khác : Do DM ^CE => 
 Còn: ( Vì E, N đối xứng với nhau qua BD) => 
 Vậy: .
 Ta có: => DN là tia phân giác của góc MDB
 Chứng minh tương tự, ta có: ( góc ngoài của tam giác cân NIE)
 Và: 
 Do đó: IN là tia phân giác của góc BIM hay IN là tia phân giác ngoài của tam giác MDI
 Như vậy: N là giao điểm của đường phân giác trong DN và đường phân giác ngoài IN của tam giác MDI => N là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác MDI ứng với góc D.
 => 
Vậy: góc C = 1800 – 2.góc CMD = 1800 – 1080 = 720
góc B = 120
Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Gọi O1, O2 thứ tự là các điểm đối xứng với O qua BC, DE. Chứng minh rằng: O là trọng tâm tam giác AO1O2
Hướng dẫn: Gọi M, N thứ tự là giao điểm của BO2 với AO1; EO1
 với AO2.
Để chứng minh O là trọng tâm tam giác AO1O2. Ta đi chứng minh:
M, N thứ tự là trung điểm của AO1; AO2 
I
Ta có: 
 => ( ABCDE là ngũ giác đều)
 => B, O, O2 thẳng hàng.
Chứng minh tương tự, ta cũng có: E, O, O1 thẳng hàng.
Gọi I là trung điểm của AC => I ÎBO.
Do tính chất đối xứng của ngũ giác đều và của O, O1 qua BC; O, O2 
qua DE mà O1C // MI => M là trung điểm của AO1
Chứng minh tương tự, ta có : N là trung điểm của AO2
đpcm.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại A1, B1, C1. Chứng minh rằng: Nếu AA1 = BB1 = CC1 thì tam giác ABC đều.
Hướng dẫn: Giả sử các đường tròn (O1); (O2); (O3) bàng tiếp
 trong các góc A, B, C. Các tiếp điểm trên BC thứ
 tự là M, A1, N. Các tiếp điểm trên AB thứ tự là
 M1, C1, N1.
Ta có: 2p = AB + BC + AC = AB + BC + AB1 + B1C
( với p là nửa chu vi của tam giác ABC)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
 AB1 = AM1; B1C = CM; BM = BM1 
 Do đó 2p = AB + AM1 + BC + CM = BM1 + BM = 2.BM
BM = BM1 = p.
Chứng minh tương tự, ta có: CN = p
BM = CN => BN = CM => BC1 = CB1
Theo giả thiết: BB1 = CC1 nên: DBC1C = DCB1B(c.c.c) => góc B = góc C
Chứng minh tương tự, ta có: góc A = góc B
đpcm.
Làm thêm:
Bài 8: Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho tam giác AMN có chu vi bằng nửa chu vi tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của BC.
Hãy tính số đo góc MDN.
Bài 9: Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh BC = a; AC = b; AB = c. Một đường thẳng d đi qua A và song song với BC; trên d lấy hai điểm D, E đối xứng với nhau qua A. Gọi M, N thứ tự là giao điểm của tia BD với BC; giao điểm của tia CE với AB. Hãy tính theo a, b, c độ dài AD, AE sao cho MN qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 10: Cho hình vuông ABCD, I là một điểm bất kì trên cạnh AB( I khác A, B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đường thẳng CI cắt AE tại M. Chứng minh rằng: DE ^ BM
Bài 11: Cho tam giác ABC có góc C < góc B < 900. Đường cao AH, đường trung tuyến AM, đường phân giác trong AD.
Chứng minh rằng: D nằm giữa hai điểm H, M.
Biết rằng: . Hãy tính số đo góc BAC.