Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
A. Dãy số và phương trình sai phân tuyến tính 
I. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng
Cho dãy số biết điều kiện đầu (tức là biết và bội s thì ta thay , khi đó (1) cũng có nghiệm . Khi đó, ứng với 2 nghiệm và lần lượt thay bằng biết điều kiện đầu và là nghiệm tổng quát của (1), (tức bội s thì ta tìm nghiệm thì tìm nghiệm là nghiệm bội bậc s của phương trình đặc trưng thì tìm nghiệm ở trên có thể dễ dàng thực hiện nhờ phương pháp hệ số bất định .
- Khi đã tìm được biết điều kiện đầu và theo rồi thế vào (3) ta được phương trình tuyến tính tính theo 
Bài tập 
Tìm công thức tổng quát của dãy số sau :
1) 
2) 
3) 
B. Dãy số dạng phi tuyến 
I. Tuyến tính hoá 1 số dạng phương trình sai phân
1. Định nghĩa : Các bài toán phy tuyến và các bài toán có hệ số là hàm số của n, đôi khi có thể đổi biến để dẫn về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hoá.
2. Cách dự đoán dạng tuyến tính :
Giả sử phương trình sai phân là tuyến tính hoá được. Khi đó, điều kiện cần là tồn tại các số để 
Để tìm , trước hết ta tính rồi giải hệ phương trình :
Tiếp theo, cần kiểm nghiệm lại công thức bằng phương pháp quy nạp 
3. Các dạng cơ bản (có thể tuyến tính hoá)
Các bài toán được cho dưới dạng dãy nguyên, 2 vế có cùng bậc đối với các số hạng của dãy . Khi đó, người ta thường nghĩ đến việc tuyến tính hoá nó.
a) Căn thức :
Dạng thường gặp là : 
VD: Tìm CTTQ dãy 
Từ (5) suy ra với 
Bằng phương pháp trên, dự đoán (dễ dàng chứng minh bằng quy nạp)
Tại sao và như thế nào? 
Ở bài trên Phong Lan Đỏ đã trình bày một số cách tìm công thức tổng quát của dãy số,vậy thì ở bài viết này tôi sẽ trình bày hướng suy nghĩ tại sao lại hướng tới được những công thức có vẻ như là khó tìm đến vậy,qua đó sẽ mở rộng thêm 1 phần nhỏ .
Xin được bắt đầu với 1 dãy số đơn giản nhất::
Dạng dãy này có liên hệ tới phương trình như thế nào.
Chúng ta xét trường hợp 1: phương trình có 2 nghiệm ( có thể phân biệt hoặc không phân biệt ) như vậy ta có luôn theo định lí Viét : 
Thế ngược kết quả trên vào phương trình dãy số ta có:
(1)
Đến đây chúng ta thực hiện thêm 1 bước chuyển biến như sau
Xét dãy: vậy phương trình (1) ở trên quy về 
với đã biết trước ở trên.
Như vậy mở rộng ra bản chất của các dãy số dạng:
đều có 1 phương trình đặc trưng là: thông qua định lí Viét cho nghiệm của phương trình thì chúng ta lần lượt quy dãy trên về 1 dãy cuối cùng đó là cấp số nhân như đã làm với trường hợp đặc biệt ở trên.
Xét trường hợp phương trình vô nghiệm.
Chúng ta làm quen 1 chút với số phức và nghiệm của phương trình bậc 2.
Nói nôm na đơn giản nhất thì 1 số phức z được biểu diễn như sau:
với ( Moivre Formular ). Với 
Hơn nữa nếu z là không điểm của đa thức P(x) thì số phức liên hợp của z được định nghĩa bởi : cũng là nghiệm.
Tiếp tục đường lối Viét ở trên và sau đó phân tách phần thực và phần ảo ta có nghiệm của dãy .
Cách tiếp cận thứ hai đối với những bài dạng này là việc quy về cùng 1 toán tử E.
Viết trực tiếp phương trình:
về dạng công nhận rằng nghiệm của phương trình này dạng:
đối vơi trường hợp nghiệm ảo,chúng ta thực hiện separate hai phần thực ảo của dãy bằng viêc đồng nhất cho các giá trị cho trước, để suy ra giá trị các tham số A1,A2.Với trường hợp nghiệm ảo,công thức Moivre ở trên là hữu dụng để suy ra công thức tổng quát của dãy dưới dạng tổng của các hàm điều hoà ( sin và cos ).
Mở rộng ra 1 chút cho các bài toán dạng này,những bài như thế này còn hay gặp ở dưới hình thức:
với dãy dương cho trước. Vậy nên làm thế nào?
Rõ ràng vì dãy dương nên ta thực hiện lấy ln cả 2 vế rồi chuyển ẩn sẽ thu được phương trình khởi thuỷ. 
Nhưng trong trường hợp vé trái của phương trình dãy số không phải là hằng số mà là 1 hàm số theo n thì sao?
Dưói đây tôi xin trả lời 1 số dạng thường gặp:
(1) nếu a không phải là không điểm của đa thức thì có thể viết luôn: .
Nếu a là nghiệm bội cấp 1 của đa thức P(E) thì viết lại: , tương tự nghiệm bội cấp p của P(E) ta có: 
(2) Dạng hoặc coskn rõ ràng theo công thức Moivre ta có: còn đến đây lại quy về trường hợp đầu nhưng với số mũ phức.
(3) Dạng thế thì trực tiep với về dạng:
rồi thực hiện như với bước ban đầu tôi đã trình bày ở trên.
Một chút làm quen với phương trình vi phân.
Rõ rang ý tưởng sử dụng định lí Viét hay phương trình đặc trưng của 1 dãy là rất hay.Chúng ta hãy thử đêm nó áp dụng vào phương trình vi phan xem sao.
Xét phương trình dạng đơn giản ay+y’=0 . Nhân cả hai vế của phương trình trên với ta có phương trình tương đương như sau:
điều này kéo theo với C là hằng số. 
Như vậy ta đã giải quýet xong PT cơ bản trên.
Quay lại 1 chút với dạng PT thư hai ( có tồn tại đạo hàm cấp 2 ):
lại xét phương trình :
đến đây có lẽ các bạn đã rõ định làm gì. Chúng ta lại tiếp tục đường lối Viét cho phưuơng trình trên. để quy vè dạng PT vi phân đơn giản ban đầu.
Thực vậy:
với 
Và với phương trình đặc trưng: vô nghiệm thực đặc biệt lại có hạng tử a=0 phương trình này quy vè phương trình dao động đièu hoà của vật thể được gắn vào lò xo, tuân theo định luật II Newton: . Còn với a khác 0 các bạn sẽ có phương trình của dao động cưỡng bức. đây cũng là 1 lí giải nho nhỏ với các bạn học phổ thông tại sao lại công nhận hàm điều hoà là hàm số của dao động.
(II) Dạng căn thức:
Những bài Phong Lan Đỏ nêu ở trên phần đông xuất phát từ quan điểm của hàm Hypecbollic chứ không tự nhiên xuất phát từ quy nạp.
Lấy ví dụ như thế này, đặc điẻm của hàm Hypecbollic như sau:
Như vậy với bài của PLD, các bạn có thể đặt :
để rút gọn thành phần trong căn.
Sau đó dung hệ số bất định để tìm sự lien lạc giữa dạng với Q(t) là tổng các hàm mũ theo cơ số e của biến t,trường hợp lí tưởng,Q(t) thường được quy về 0.