Những công thức căn bản Đại số 9

NHỮNG CÔNG THỨC CĂN BẢN ĐẠI SỐ 9
Chương I: CĂN THỨC BẬC HAI
1. Căn bậc hai số học của a,Kí hiệu x = .Tổng quát: x = 
	Suy ra: (-)2 = ()2 = a (a0).Số a0 không có căn bậc hai,số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0.
2. có nghĩa khi và chỉ khi A 0. Ví dụ có nghĩa khi và chỉ khi: 2x – 3 0 x
3. = = . Ví dụ: A = a – b thì = = 
4. (với A0 và B0) ; 5. (với 0 và >0 )
6. ( B0) ;	7. A = (với A0 và B0) ;	8. A= -(A<0; B0)
9. = (với A.B0; B ≠ 0); 10. = (B>0); 11. ( A0, B0, A ≠ B)
Chương II: HÀM SỐ BẬC NHẤT.
1.Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (với a ≠ 0,b ≠ 0): Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ.
 Cho x = 0, tính được y = b,ta có điểm P(0;b) 
 Cho y = 0, tính được x = ,ta có 1 điểm Q(; 0).Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P,Q ta được đồ thị.
2.* (d1)//(d2) (a = a’; b ≠ b’ ) ; * (d1)(d2) (a = a’; b = b’) ; * (d1) (d2) a ≠ a’ ; 
 Nếu a ≠ a’ và b = b’ thì hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung có tung độ bằng b.
Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
1.Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: (1) 
+ Mỗi đồ thị của mỗi PT là 1 đường thẳng, cách vẽ: + cho x = 0 tìm y = ta được 1 điểm A(0; )
+Cho y = 0 tìm x = ta tìm được 1 điểm B(;0),kẻ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị (d).
 Cách vẽ(d’) tương tự như vẽ đường thẳng (d),nhưng đặt tên hai điểm là C( 0 ; ) và D(; 0 ).
(d) (d’) ≠ thì hệ phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.
(d) //( d’) = ≠ thì hệ phương trình (1) vô nghiệm.
(d) (d’) == thì hệ phương trình(1) vô số nghiệm.
2.Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số,ta làm như sau:
- Nhân hai vế của một PT với cùng một số khác 0(nếu cần) sao cho các hệ số của ẩn x(hoặc ẩn y) trong hai PT của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau
- Sử dụng quy tắc cộng đại số để cộng hoặc trừ từng vế với nhau thì được hệ PT mới, trong đó có 1 PT mà hệ số của 1 trong hai ẩn bằng 0.Giải hệ PT một ẩn vừa thu được, rồi tìm nốt ẩn còn lại.
3.Giải hệ PT bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế,ta làm như sau:
-Từ 1 PT của ẩn, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc ẩn y theo x).
- Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào PT còn lại để được PT 1 ẩn y ( hoặc x) 
- Giải PT bậc nhất vừa tìm được, rồi thay giá trị tìm được của y (hoặc x) vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại.
4. Giải bài toán bằng cách lập PT bậc nhất hai ẩn , ta thực hiện 3 bước như sau:
B1: Lập hệ PT. (bước này gồm có 3 bước nhỏ)
Chọn hai đại lượng cần tìm làm hai ẩn x, y.Đồng thời đặt đơn vị và điều kiện thích hợp cho hai ẩn.
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua hai ẩn và các đại lượng đã biết.
 . Tìm mối liên quan giữa các đại lượng để lập thành hai PT ( ghép lại thành một hệ PT ) 
B2: Giải hệ PT vừa lập được B3: Chọn kết quả thích hợp với điều kiện của hai ẩn và trả lời.
 * CHƯƠNG IV: HÀM SỐ Y = AX2 - PT BẬC HAI MỘT ẨN:
A) Hàm số.
*Tính chất của đồ thị hàm số : Đồ thị hàm số là một đường cong đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Tung Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó gọi là một parabol đỉnh O.
- Nếu a>0 thì đồ thị đó nằm trên trục Hoành Ox và O là điểm thấp nhất của đồ thị. Hàm ĐB khi x>0; NB khi x<0.
- Nếu a0.
*B. Bảng tóm tắt công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Phương trình: .Biệt thức: 
+Nếu : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; 
+Nếu : Phương trình có nghiệm kép: +Nếu : PT vô nghiệm.
*C. Bảng tóm tắt công thức nghiệm thu gọn:
Phương trình: Với .Biệt thức: 
+Nếu : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; 
+Nếu : Phương trình có nghiệm kép: + Nếu : Phương trình vô nghiệm.
 Đặc biệt: Nếu a và c trái dấu nhau thì phương trình bậc hai: có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
*D. HỆ THỨC VIÉT VÀ ỨNG DỤNG:
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp:
 a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : 
 - Có một nghiệm duy nhất
 - hoặc vô nghiệm
 - hoặc vô số nghiệm
 b)Nếu a 0 
Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac
* < 0 (/ < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm
* = 0 (/ = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - 
 (hoặc x1,2 = -)
* > 0 (/ > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
 x1 = ; x2 = 
 (hoặc x1 = ; x2 = )
2. Định lý Viét.
 a) Thuận: Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì 
 S = x1 + x2 = - 
 p = x1x2 = 
 Lưu ý: Khi đó ta cũng có: 
 b) Đảo : Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph­¬ng tr×nh bËc 2:
 x2 – S x + p = 0 ( Điều kiện để có hai số đó là : S2 – 4P 0 )
3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph­¬ng tr×nh bËc hai.
Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:
 Hai nghiệm x1 vµ x2 tr¸i dÊu( x1 < 0 < x2 ) p < 0 
 Hai nghiÖm cïng dấu ( x1 > 0 vµ x2 > 0 hoặc x1 < 0 vµ x2 < 0 ) 
 Hai nghiÖm cïng d­¬ng( x1 > 0 vµ x2 > 0 ) 
 Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < 0 vµ x2 < 0) 
 Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm d­¬ng( x2 > x1 = 0) 
 Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) 
4. Một số bµi to¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt :
a)TÝnh nhÈm nghiÖm.
XÐt ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) 
NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = 
NÕu a – b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - 
NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m
b) LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm x1 ,x2 cña nã
 C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 
 - LËp tÝch p = x1x2
 - Ph­¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = 0 
c)T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã nghÖm x1 , x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc.(C¸c ®iÒu kiÖn cho tr­íc th­êng gÆp vµ c¸ch biÕn ®æi):
 	 *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
 	*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*) = 
*) = 
*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
*) 
(Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót ra tõ ®iÒu kiÖn cho tr­íc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn )
d)T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiÖm x = x1 cho tr­íc .T×m nghiÖm thø 2
C¸ch gi¶i:
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tr­íc cã hai c¸ch lµm
+) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm:
 (hoÆc ) (*)
 - Thay x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®­îc gi¸ trÞ cña 
 tham sè
§èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*)
 ®Ó kÕt luËn
 +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn (hoÆc ) mµ ta thay lu«n 
 x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè 
 - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®­îc cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh vµ
 gi¶i ph­¬ng tr×nh 
Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho mµ ph­¬ng tr×nh bËc hai nµy cã < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tr­íc.
Để t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm
+) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo ph­¬ng tr×nh råi gi¶i ph­¬ng tr×nh (nh­ c¸ch 2 tr×nh bÇy ë trªn)
+) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®­îc nghiÖm thø 2
+) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiÖm ,tõ ®ã t×m ®­îc nghiÖm thø 2
* Nếu phương trình bậc hai : có hai nhgiệm là và thì: 
*E. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
* Phương trình trùng phương: Đặt để đưa về phương trình bậc hai: ( khi giải PT ẩn phụ t<0 thì không TMĐK , nếu cả hai ẩn t1 , t2 đều <0 thìPT ban đầu vô nghiệm
* Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Quy đồng mẫu và khử mẫu.
- Giải phương trình vừa có được.
- Chọn kết quả thỏa mãn ĐKXĐ và trả lời về nghiệm của phưong trình cần giải.
* Phương trình tích: A.B = 0 A=0 hoặc B=0
 GHI CHÚ: Còn một số kiến thức đại số 9 quan trọng nữa, nhưng do khổ giấy A4 có hạn, mong các em tự tìm tòi và tự học cho thật vững chắc. Chúc các em thành đạt trên lĩnh vực TOÁN HỌC . ( GV bộ môn : Trần Tiến Dũng )
	. Tạm hết