Những ứng dụng của hệ thức Vi – et

Phần I - Đặt vấn đề
1. Lí do chọn đề tài: 
a) Cơ sở lí luận: 
Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dưỡng và phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá trình dạy học là nội dung của việc đổi mới phương pháp dạy học. 
Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm vững cách giải 1 dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học. Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh. 
b) Cơ sở thực tiễn: 
Các bài toán úng dụng hệ thức Vi – ét có một vị trí quan trọng trong chương trình dạy học toán THCS. Học sinh vận dụng những ứng dụng của hệ thức Vi - ét như: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp ;, hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn. Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng. Biết cách biểu diễn tổng các bình phương, các lập phương của hai nghiệm qua các hệ số của phương trình còn lúng túng, khó khăn trong quá trình vận dụng vào giải các bài toán có liên quan. 
Các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi - et rất phương phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy.
 Những ứng dụng của hệ thức Vi – ét đối với học sinh THCS là khó và mới các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này; có những bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chương trình đã học? Làm thế nào để tìm được giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán ấy? Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc cụ thể trong cuộc sống sau này.
Chính vì vậy bài toán này thường xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua một số năm giảng dạy toán THCS được giao công tác bồi dưỡng học sinh lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này. Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề: 
 “Những ứng dụng của hệ thức Vi – et”
2) Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:
a, Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh lớp 9
b, Phương pháp nghiên cứu:
 - Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9, sách nâng cao.
 - các đề thi vào các trường THPT, các chuyên đề đại số.
PHần II - giải quyết vấn đề
A. Một số vấn đề lí thuyết:
1) Hệ thức Vi – ét:
- Nếu ; là hai nghiệm của phương trình bậc hai : 
 thì 
- Nếu phương trình bậc ba: có 3 nghiệm là ; ; 
 thì 
Và ngược lại nếu 3 số ; ; là thỏa mãn hệ thức thì ;;là nghiệm của phương trình bậc ba 
+) Hệ quả 1: Nếu phương trình có a + b + c = 0
 thì phương trình có một nghiệm còn nghiệm kia là .
+) Hệ quả 2: Nếu phương trình có a - b + c = 0
 thì phương trình có một nghiệm còn nghiệm kia là .
+) Hệ quả 3: Nếu phương trình có nghiệm 
 thì phương trình phân tich được thành 
 +) Có nghiệm nếu 
 +) Có nghiệm nếu 
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: 
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S vả tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai: 
Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm của phương trình: 
Như vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm được hai số đó thông qua việc giải phương trình bậc hai. Điều kiện để có hai số là: 
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đồ thị hàm số
 - Số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số 
 là nghiệm của hệ phương trình 
	- cắt tại 2 điểm phân biệt phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
	- tiếp xúc với tại 1 điểm phương trình có 1 nghiệm kép. 
	- không cắt (không có điểm chung) phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Số nguyên lớn nhất không vượt quá x là phần nguyên của x ký hiệu là .
	Ví dụ: Cho b = 2,134 ; a = - 2,7544 
4. Khái niệm về giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất: 
 Cho hàm số xác định trên miền D
 1) m được gọi là một giá trị lớn nhất của trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện sau đây:
a, với D
	b, x0 D sao cho ; Kí hiệu m = max, D
 2) m được gọi là một giá trị nhỏ nhất của trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện sau đây:
a, với D
	b, x0 D sao cho ; Kí hiệu m = min,D
Với x2 0 2n 0 với R, n Z 
 2n + M M (M là giá trị nhỏ nhất)
 Hoặc M -2n M (M là giá trị lớn nhất)
*Hệ quả:
 - Nếu x > 0, y > 0 và (không đổi) thì tổng x + y đạt GTNN x = y
 - Nếu x > 0, y > 0 và (không đổi) thì tích x.y đạt GTLN x = y
B. một số ví dụ về những ứng dụng của hệ thức Vi- ét 
I. Dạng I: ứng dụng hệ thức Vi – et vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai khi biết các hệ số a; b; c.
Hệ quả 1: Nếu phương trình có a + b + c = 0 
 thì phương trình có một nghiệm còn nghiệm kia là x2 = .
Hệ quả 2: Nếu phương trình có a - b + c = 0 
 thì phương trình có một nghiệm x1 = - 1 còn nghiệm kia là x2 = - .
Hệ quả 3: Nếu phương trình có nghiệm 
 thì phương trình phân tich được thành 
+) Có nghiệm nếu 
+) Có nghiệm nếu 
1. Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình ( Bài 31 - SGK Toán 9 - Trang 54)
a) b) 
c) d) 
Hướng dẫn cách giải:
Muốn giải phương trình trên ta làm như thế nào ?
Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phương trình này
Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai có thì phương trình có một nghiệm còn nghiệm kia là hoặc thì phương trình có một nghiệm còn nghiệm kia là .
- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi– ét vào nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai các em đã trình bày lời giải như sau:
Giải:
a) - 5x2 + 3x + 2 = 0 (a = - 5; b = 3; c = 2) 
 Vì a + b + c = + 3 + 2 = 0 phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = .
b) (a = 2008; b = 2009; c = 1) 
 Vì phương trình có hai nghiệm là: ; .
c) 
Vì 
 phương trình có hai nghiệm là: ; 
d) 
 	Vì 
 phương trình có hai nghiệm là: ; .
Sau khi tính được nghiệm của phương trình xong tôi đã yêu cầu các em sử dụng máy tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra các nghiệm vừa tìm được ở phần a và b. 
Kết luận: 
- Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi – et để tính nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể. Nếu không tính nhẩm được nghiệm của phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải. 
- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi – et và tính toán cho phép tính nhanh chóng nghiệm của phương trình.
Các em có nhận xét gì nếu ta thay đổi yêu cầu của bài toán như sau:
2. Ví dụ 2: Giải phương trình 
a) b) 
Hướng dẫn cách giải:
Hãy vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm các nghiệm của phương trình bậc ba 
+) Có nghiệm nếu 
+) Có nghiệm nếu 
- Khi đó các em trình bày lời giải như sau:
Giải:
a) có tổng các hệ số 
nên phương trình có nghiệm khi đó phương trình 
+) Giải phương trình 
+) Giải phương trình 
Ta có 
 phương trình có 2 nghiệm ;
Vậy phương trình có 3 nghiệm ; ; 
b) có 
nên phương trình có nghiệm khi đó phương trình 
+) Giải phương trình 
+) Giải phương trình 
Ta có 
 phương trình có 2 nghiệm 
Vậy phương trình có 3 nghiệm ; ; 
Như vậy:
Qua 2 ví dụ trên tôi đã hướng dẫn cho học sinh cách giải phương trình bằng cách vận dụng hệ 
thức Vi – ét vào tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai và phương trình bậc ba một ẩn.
 Chú ý trong quá trình giải phương trình chúng ta nên vận dụng linh hoạt hệ thức vi – ét để 
 nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai bậc ba một ẩn. 
3. Ví dụ 3: Giải phương trình 
Giải:
Nhận thây không là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế của phương trình cho ta được phương trình: 
Đặt ta dược phương trình 
 bằng phương pháp nhẩm nghiệm ta tính được và 
+) Với 
 Giải phương trình này ta được 2 nghiệm ; 
+) Với 
 Giải phương trình này ta được 2 nghiệm ; 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm ; ;;
Qua ví dụ 3 tôi đã hướng dẫn cho học sinh cách giải phương trình bằng cách vận dụng hệ thức Vi - ét vào tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn và hướng dẫn cách biến đổi linh hoạt (đặt ẩn phụ) để đưa phương trình bậc 4 về phương trình bậc hai một ẩn có thể nhẩm nghiệm được qua đó các em được rèn luyện kĩ năng biến đổi và trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả năng phân tích, dự đoán. . . 
Phương pháp chung: 
- Vận dụng các hệ quả của hệ thức Vi – ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai, bậc ba. Hoặc các phương trình đưa được về dạng cơ bản để tinh nhẩm nghiệm.
II. Dạng II: ứng dụng của hệ thức Vi – et vào việc tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng: 
Nếu hai số u và v có tổng và tích thì hai số u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ( SGK Toán 9 - Trang 52)
 Điều kiện để có hai số là: 
1. Ví dụ 1: a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
 b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5.
Hướng dẫn cách giải: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180. 
Tức là ta cần tìm 2 số và biết . Nếu áp dụng hệ thức Vi – et đảo thì và là 2 nghiệm của phương trình bậc hai ta có lời giải như sau:
Giải:
a) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 27 và tích bằng 180
Nên 2 số là nghiệm của phương trình: 
Ta có: 
 	 phương trình có 2 nghiệm ; 
Vậy không có hai số cần tìm là 15 và 12. 
b) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 1 và tích bằng 5, Nên 2 số là nghiệm của phương trình: 
Ta có: phương trình trên vô nghiệm 
 Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài. 
Khai thác ví dụ 1 tôi nêu ra ví dụ sau:
2. Ví dụ 2: 
 	a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m2
 b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm2
Hướng dẫn cách giải - Bài toán cho biết gì ? cần tìm gì? 
- Nếu gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì? . .
- Vậy thì a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai nào? () 
Với gợi ý trên tôi cho các em thảo luận 5 phút và đại diện 1 em trình bày lời giải.
Giải:
a) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phương trình: 
Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 
 phương trình có 2 nghiệm ; 
Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 27 (m ) và 23 (m).
b) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phương trình 
 	Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình  ... ách giải đối với dạng tam thức bậc hai để tìm GTLN; GTNN ta thường biến đổi biểu thức A về dạng 
 A = M - k.f2(x) ( M; k là hằng số, f(x) là nhị thức bậc nhất) 
 Hoặc A = k.f2(x) + m ( m; k là hằng số, f(x) là nhị thức bậc nhất)
Từ hướng dẫn tổng quát trên các em đã tìm được cách giải bài toán trên như sau:
Giải
Thay m = 2 vào phương trình ta được 
 Ta có: 
 phương trình có 2 nghiệm phân biệt ; .
Xét phương trình 
 Ta có: 
Để phương trình có nghiệm ; thì 
 áp dụng hệ thức Vi – ét cho phương trình ta có 
Khi đó 
Vậy tổng đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi 
2. Ví dụ 2: 
1. Cho 2 số và . Chứng tỏ là số nguyên. 
2. Số nguyên lớn nhất không vượt quá x là phần nguyên của x ký hiệu là .Tìm 
Giải
1) 
Cách 1: Thay và vào biểu thức 
Ta có: 
 = 
 = 
 Vậy A là số nguyên. 
Cách 2: Ta có và 
 Mà 
 Vậy A là số nguyên. 
b) Vì 
 Mà (không đổi) Vậy 
Nhận xét: - Đối với phần a) ta có thể sử dụng hằng đẳng thức hoặc một cách hợp lí thì ta có thể tính được giá trị của biểu thức từ đó suy ra điều phải chứng minh.
 Đối với phần b) ta nhận thấy số mà (không đổi) nên ta tìm được phần nguyên của b3 ( )
Khai thác ví dụ trên tôi nêu ví dụ 3 và yêu cầu học sinh suy nghĩ cách làm bài.
3. Ví dụ 3: Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá 
Hướng dẫn giải: 
- Trước hết ta hiểu số nguyên lớn nhất không vượt quá chính là phần nguyên của số . Hãy tính tổng ?
- Em có nhận xét gì về tổng ( tổng của hai số không đổi )
 Từ đó em có thể có cách giải như thế nào ? 
 ( Nếu hoc sinh không nêu được cách giải thì GV có thể trình bày như sau)
Giải
Đặt x1 + x2 = 3 và x1x2 = 1 
Ta có: 
Mà: 
 mặt khác 
 Vậy số nguyên lớn nhất không vượt quá là 842
Nhận xét:
Trong bài tập này để tìm được số nguyên lớn nhất không vượt quá . dựa vào ví dụ 2 và vận dụng linh hoạt, sáng tạo hệ thức Vi – et để tính tổng và tích của 2 số từ đó ta tìm được số nguyên lớn nhất không vượt quá .
4. Ví dụ 4: Cho Parabol và điểm 
1) Chứng minh rằng phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt Parabol tại 2 
 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k.
2) Gọi , là hoành độ giao điểm của A và B. Xác định k để đạt giá 
 trị lớn nhất. Tìm giá trị ấy.
Giải
1) Giả sử phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k có dạng 
Vì đường thẳng đi qua điểm nên ta có: 
Khi đó phương trình đường thẳng là: 
Tọa độ giao điểm của đường thẳng với Parabol là nghiệm của hệ phương trình 
Xét phương trình 
 	 Ta có: 
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k 
Hay đường thẳng luôn cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt với .
2) Vì hoành độ giao điểm của đồ thị của hai hàm số là ,nên , là nghiệm của phương trình 
- áp dụng hệ thức Vi–et cho phương trình ta có: 
Đặt 
 vì 
Vậy A đạt giá trị lớn nhất bẳng 9 khi 
5. Ví dụ 5: Cho Parabol (P) và đường thẳng (D) đi qua 2 điểm A và B nằm trên P có hoành độ lần lượt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x 
 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất ?
(50 bộ đề thi vào THPT)
Giải
Vì 2 điểm A và B nằm trên P có hoành độ lần lượt là -2 và 4 nên ta có
 ; 
Giả sử phương trình đường thẳng đi qua và có dạng nên ta có hệ phương trình 
Khi đó phương trình đường thẳng (D) là 
- Tam giác MAB có đáy AB không đổi nên diện tích tam giác MAB lớn nhất khi độ dài đường cao MH lớn nhất. Gọi (D) là đường thẳng song song với AB có dạng và tiếp xúc với (P) khi đó phương trình hoành độ có nghiệm kép. có nghiệm kép 
 có nghiệm kép. 
Khi đó phương trình đường thẳng (D) là 
Thay vào 
Vậy vói thuộc (P) thì tam giác MAB có diện tích lớn nhất. 
Mọi điểm M’ M (M là tiếp điểm) trên cung AB đều nằm giữa 2 đường thẳng song song AB và (D) thì khoảng cách từ M’ đến đường thẳng AB đều nhỏ hơn khoảng cách giữa 2 đường thẳng này. 
Vậy tam giác MAB có diện tích lớn nhất khi M là tiếp điểm của tiếp tuyến của (D) song song với 
AB và tiếp xúc với (P), Điểm M cần tìm có tọa độ là 
* Phương pháp chung: 
- Muốn tìm cực trị của biểu thức M ta viết biểu thức M dưới dạng tổng của các biểu thức mà ta có thể xét dấu một cách thuận lợi (chẳng hạn tổng các bình phương hoặc hiệu của các bình phương) từ đó ta áp dụng các tính chất của bất đẳng thức.
- Nếu biểu thức A tìm được là một tam thức bậc hai để tìm được GTLN; GTNN 
ta thường biến đổi biểu thức A về dạng 
 +) A = M - k.f2(x) M (M là giá trị lớn nhất) ( M; k là hằng số, f(x) là nhị thức bậc nhất) 
 +) A = k.f2(x) + m m (m là giá trị nhỏ nhất) ( m; k là hằng số, f(x) là nhị thức bậc nhất)
* Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2) có hệ số góc k.
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của k đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại 2 điểm A, B. Tìm k cho A, B nằm về hai phía của trục tung.
2. Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ của các điểm A, B nói trên tìm k cho tổng đạt giá trị lớn nhất.
2 Bài 2: Cho phương trình: 
1) Tìm a để phương trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
2) Gọi ; là các nghiệm của phương trình. Tìm a để phương trình có tổng bình
 phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
3. Bài 3: Cho Parabol và đường thẳng (d) có phương trình 
a. Tìm hoành độ của các điểm thuộc Parabol biết tung độ của chúng 
b. Chứng minh rằng Parabol và đường thẳng (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm của chúng. Với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất?
4. Bài 4 Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x + 2 và Parabol (P): y = x2
 1) Xác định toạ độ hai giao điểm A và B của (d) với (P)
 2) Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m với . CMR: 
5. Bài 5: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình .
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
VIII. Dạng VIII: ứng dụng của hệ thức Vi – et vào việc tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số. 
- Xét các bài toán đối với các nghiệm của một phuơng trình chứa tham số. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào tham số. 
Muốn giải bài toán này trước hết ta phải đặt điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm, sau đó áp dụng hệ thức Vi - et để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình (S và P)
+) Nếu tổng và tích không chứa tham số thì ta có ngay hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
+) Nếu tổng và tích có chứa tham số thì khử tham số từ S và P. Từ đó tính được hệ thưc phải tìm (Lưu ý: Phép khử thường là phép thế hoặc phép cộng đại số).
1. Ví dụ 1: Cho phương trình: (1)
a) CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) CMR: Giá trị biểu thức không phụ thuộc vào m.
Giải
Xét phương trình: 
Ta có: 
 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 
b) - áp dụng hệ thức Vi – et cho phương trình 
 ta có: 
Khi đó 
Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào m.
2. Ví dụ 2: Cho phương trình: (1)
a) CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi là nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải
a) Xét phương trình: 
Ta có: 
 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 
b) * Cách 1: - áp dụng hệ thức Vi – et cho phương trình 
 ta có: 
Khi đó là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
* Cách 2: 
- áp dụng hệ thức Vi – et cho phương trình ta có: 
Từ Thay m vào ta được: 
Khi đó là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m 
Kết luận: Muốn chứng minh biểu thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số ta áp dụng hệ thức Vi – et để tính tổng và tích các nghiệm rồi thay vào biểu thức cần chứng minh và rút gọn và kết luận. 
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: Cho phương trình: (1)
1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?
2) Gọi là nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
2. Bài 2: Cho phương trình: (1)
1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép.
2) Gọi là nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
Qua tiến hành kiểm tra viết đối với lớp 9A (tôi đã vận dụng SKKN) và lớp 9B (không áp dụng) tôi thu được kết quả như sau:
Kết quả thực nghiệm:
Lớp
sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
9A
43
8
18,6%
11
25,6%
19
44,2%
5
11,6%
9B
43
3
7%
12
27,9%
20
46,5%
8
18,6%
Bài học kinh nghiệm :
Qua quá trình giảng dạy: “Những ứng dụng của hệ thức Vi – et”
Nhìn chung các em đều có kĩ năng vận dụng tương đối thành thạo các kiến thức các bất đẳng thức đã học vào giải quyết một số bài tập tương tự và nâng cao cũng như các ứng dụng thực tế đã tạo nên hứng thú học tập cho học sinh.
	Đối với mỗi dạng bài tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu cùng với sự phân tích để các em hiểu và nắm bắt và vận dụng được phương pháp làm bài. Từ một bài tập cụ thể giáo viên cần phải khai thác các cách giải cũng như mở rộng kiến thức (khái quát hoá)
	Khi xây dựng đề tài giáo viên phải chọn lọc và sắp xếp phân loại các bài tập theo trình tự lôgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát cách giải từng dạng bài tập đó vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học cũng như các hình thức tổ chức dạy học phù hợp sao cho hiệu quả nhất .
Phần III: Kết luận và kiến nghị
 1) Kết luận: 
Sau một thời gian nghiên cứu kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy cũng như trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vào THPT cùng với sự giúp đỡ của bạn bè đồng nghiệp tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm : 
“Những ứng dụng của hệ thức Vi – et”
Tôi thấy rằng đa số các em đều tự giác, tích cực trong học tập vận dụng tương đối linh hoạt những ứng dụng của hệ thức Vi - et vào giải các bài tập có liên quan; các bài tập tương tự và nâng cao cũng như các ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống.
Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi thiếu sót kính mong được sự góp ý xây dựng của các đồng nghiệp để đề tài ngày càng phong phú và đầy đủ hơn tạo được hứng thú học tập của học sinh phát huy được tính tích cực chủ động của các em trong quá trình học tập. Từ đó giúp các em thêm yêu thích môn Toán.
Đối với giáo viên cần đầu tư thời gian, với sự tìm tòi lựa chọn xây dựng hệ thống bài toán, phân dạng bài tập, xây dựng cách giải tổng quát thì trong quá trình giảng dạy sẽ rèn luyện được kĩ năng vận dụng, trình bày lời giải, tư duy sáng tạo của học sinh qua đó giúp các em tự tin, phấn khởi trong quá trình học tập. 
2) Kiến nghị:
Đối với nhà trường : 
- Cần tạo điều kiện thuận lợi hơn nữa để giúp giáp viên giảng dạy tốt hơn. 
- Trang bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt công tác tại trường .
Đối với ngành :
- Mở những buổi hội thảo chuyên đề về bộ môn Toán để nâng cao trình độ chuyên môn và học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp.
	Tuy nhiên đề tài không thể tránh khỏi những sai xót rất mong các thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp, cấp trên góp ý xây dựng để đề tài được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!