Ôn tập Toán Lớp 9 - Phương pháp giải Toán hình

CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
	Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
	· Định lí Pi-ta-go:	
	· ;	· 
	· 	· 	
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5cm. AH là đường cao. Tính BH, CH, AC và AH.
	HD:
 , , , .
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10cm, AB = 8cm. AH là đường cao. Tính BC, BH, CH, AH.
	HD:
 BC=241; BH=3241/41 ; CH=5041/41; AH=4041/41.
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12cm. Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết .
	HD: , .
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 10cm, CH = 42 cm. Tính BC, AH, AB và AC.
	HD: 
, , , .
Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A là a) Tính cạnh BC.	b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính MN.
	HD: 
a, Gọi P và Q là chân đường cao kẻ từ D và C xuống AB: AP=QB mà PQ=DC=10cm nên AP=QB=(30-10):2=10cm.
b, NM=DP=AP.tanA=103cm.
Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B bằng và góc A là a) Tính đường chéo BD.	b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC. c)Tính HK.	d) Vẽ BE ^ DC kéo dài. Tính BE, CE và DC.
	HD: 
a, BD2=AB2+AD2 => BD=102cm.
b, ∆ABC đều (AB=AC mà B=600) nên BH=53cm, 
∆ADK có KAD=300 nên KD=1/2AD=5cm,
c, ABH có ABH=300 nên AH=1/2AB=5cm, mà AK2=AD2-DK2=75 nên AK=53cm
suy ra HK=53-5 cm.
d, ∆ADC cân có CAD=300 nên ACD=DCA=750 => BCE=1800-750-600=450
 nên ∆BEC vuông cân tại E nên BE=EC mà BE2+EC2=BC2 => BE=EC=53cm.
Trong ∆KDC có KD=5cm, KC=AC-AK=10-53 cm Dùng pytago tính DC.
Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox ^ AB. Trên Ox, lấy điểm D sao cho . Từ B kẻ BC vuông góc với đường thẳng AD. a) Tính AD, AC và BC theo a. b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường tròn.
	HD: 
a, AD=a52; DADO ∽ DABC nên AD.AC=AB.AO => AC=45a5; Dùng pytago cho tam giác ABC để tính BC= 2a55 .
b, Chỉ ra OA=OB=OC=OE.
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc AMC= góc ANB=900. Chứng minh: AM = AN.
	HD: DABD ∽ DACE Þ . 
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC.
HD:
Đặt . Từ AH.BC = AB.AC Þ . HD: .
 Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết , tính diện tích hình thang ABCD.
	Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5. HD: .
II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1. Định nghĩa: Cho tam giác vuông có góc nhọn a.
	;	;	 ;	
	Chú ý: 
	· Cho góc nhọn a. Ta có: . 
	· Cho 2 góc nhọn a, b. Nếu (hoặc , hoặc , hoặc 	) thì .
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:
	Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.
Sin (900-a) = cosa	tan(900-a)=cotana
cos(900-a)=sina	cotan(900-a)=tana
Ví dụ: sin 250=cos650; tan200=cotan700..
3. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:
a
Tỉ số LG













1



1


4. Một số hệ thức lượng giác
	;	;	 	;
 	;	;	
5. Công thức tính diện tích tam giác:
S∆ABC=12ab.sinC=12bc.sinA=12ac.sinB= P.r = abc4R 
R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp.
( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen giữa hai cạnh đó).
Trong tam giác bất kì:
bsinB=csinC=asinA=2R
Với a là cạnh đối diện góc A, b là cạnh đối diện góc B, c là cạnh đối diện góc C.
BÀI TẬP:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 64cm và CH = 81cm. Tính các cạnh và góc tam giác ABC.
	HD: AB2=BH.BC nên AB=96,3cm; AC2=HC.BC nên AC=108,4cm
	CosC= ACBC=108,4145=0,75 nên C=410; B=490.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các tỉ số lượng giác của góc B khi: a) BC = 5cm, AB = 3cm.	b) BC = 13 cm, AC = 12 cm.	c) AC= 4cm, AB=3cm.
	HD: 
 a) ; 
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 10cm và AC = 15cm. a) Tính góc B.	b) Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI. c) Vẽ AH ^ BI tại H. Tính AH.
	HD:
	a, tanB=ACAB=1510 nên B=560.
	b, tanABI=AIAB nên AI=AB. tanABI=10.tan280 =5,3cm
	c, sinABH=AHAB nên AH=AB.sinABH = 10.sin280 =4,7cm.
Tính giá trị các biểu thức sau: a) . b) . c) 	d) e) 	f) 
HD: Dùng công thức: sin(900-a)=cosa; tan(900-a)=cota.
a)(cos2150+ cos2750)+ cos2250+ cos2650+cos2350+ cos2550+cos2450=(cos2150+ sin2150)+ cos2250+ sin2250+cos2350+ sin2350+cos2450=1+1+1+ (22)2= 	
b) 	c) 	d) 0	e) 2	f) 0.
Cho biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn a, tính các tỉ số lượng giác còn lại của a: a) 	b) 	c) 	d) 
	HD: Dùng các công thức trong mục 4 ( một số hệ thức lượng ) để tính. Chú ý góc a nhọn thì sina >0; cosa >0.
 a) 	b) 
a. Cho góc nhọn a. Biết . Tính . b. Cho tana=2. Tính A=(sina-3cosa)/(3sina+7cosa)
	HD: 
a, cosa- sina= 15 (1) nên (cosa -sina )2= 125 hay cos2a + sin2a -2cosa.sina = 125 hay sina.cosa = 1225 
Ta có: (cosa + sina )2= cos2a + sin2a + 2cosa.sina= 1+ 2425=4925 nên cosa+sina= 75 (2)Từ (1)(2) tính được cosa và sina, từ đó tính cota. (HD: )
b, Chia cả tử số và mẫu số cho cosa ta được: A= tana -33tana +7=- 113 .
Cho tam giác ABC vuông tại C. Biết . Tính .
	HD: .
Rút gọn các biểu thức sau: a) 	b) 	c) d) 	e) 	f) 
	HD: 
a) 	b) 2	c) 	d) 1	e) 	f) 1.
Chứng minh các hệ thức sau: a) 	b) 
	HD: 
a, Biến đổi tương đương hai vế
b, Biến đổi vế trái.
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. a) Chứng minh:	. b) Có thể xảy ra đẳng thức không? c) Chứng minh: S∆ABC=12ab.sinC=12bc.sinA=12ac.sinB ( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen giữa hai cạnh đó).
	HD: a) Vẽ đường cao AH. Xét ∆AHB và ∆AHC có:
	sinC=AHAC; sinB=AHAB nên sinCsinB=ABAC hay ACsinB=ABsinC.
Tương tự ta cũng chứng minh : ABsinC=BCsinA
 	b) không. Vì bsinB=csinC=asinA=b+csinB+sinC. (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Nếu sinB+sinC=sinA thì a=b+c: Vô lí.
c) S∆ABC=12AH.BC mà sinC=AHAC nên AH=AC.sinC
Suy ra:
S∆ABC=12AC.BC.sinC=12ab.sinC. Các công thức khác chứng minh tương tự.
III. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
	Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.
	;	
	;	
BÀI TẬP:
Giải tam giác vuông ABC, biết góc A=900 và: a) 	b) 
	HD: 
a)B=420, C=480, c=11,18cm 	b) B=600, C=300, a=14cm.
Cho tam giác ABC có góc B=600, C=500, AC=35cm. Tính diện tích tam giác ABC.
	HD: . Vẽ đường cao AH. Tính AH, HB, HC.
Cho tứ giác ABCD có góc A=D=900, C=400, AB=4cm, AD=3cm. Tính diện tích tứ giác.
	HD: . Vẽ BH ^ CD. Tính DH, BH, CH.
Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết , góc AOB =500. Tính diện tích tứ giác ABCD.
	HD: . Vẽ AH ^ BD, CK ^ BD. Chú ý: .
Chứng minh rằng: a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
	HD: a) Gọi a là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. Vẽ đường cao CH. 
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m. a) Chứng minh tam giác ABC vuông.	b) Tính .
	HD: 
a, Dùng Pytago	b, sinB=45; sinC=35
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết HB = 112, HC = 63. a) Tính độ dài AH.	b) Tính độ dài AD.
	HD: a) AH = 84	b) .
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 5, CH = 6. a) Tính AB, AC, BC, BH.	b) Tính diện tích tam giác ABC.
	HD: a) , , 	b) .
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 16, BH = 25. a) Tính AB, AC, BC, CH.	b) Tính diện tích tam giác ABC.
	HD: 
a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHB để tính AB.
Dùng công thức: AB2=BH.BC để tính BC và suy ra HC.
AH.BC=AC.AB để tính AC.
b, S∆ABC=12AC.AB.
Cho hình thang ABCD có góc A=D=900 và hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. a) Chứng minh hình thang này có chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy. b) Cho AB = 9, CD = 16. Tính diện tích hình thang ABCD. c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD.
	HD: a) Vẽ AE // BD Þ AB = ED và AE ^ AC. 	b) S = 150	
	c) .
Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35.
	HD: S = 210. Vẽ BE // AC (E Î CD) Þ .
Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17. a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông. b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh.
	HD: a) Tính được AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm Þ DABC vuông tại A.
	b) Gọi O là giao điểm ba đường phân giác. .
Với SOBC=r.BC2; SOCA=r.AC2; SOAB=r.AB2; SABC=AB.BC2 ta được r=9cm.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết góc A=480, AH=13cm. Tinh chu vi DABC
	HD: .
 Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC. a) Chứng minh .	b) Chứng minh đồng dạng CDB. c) Tính tổng góc (AEB+BCD).
	HD: a) 	c) Góc(AEB+BCD)=ADB=450.
 Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a. a) Tính .	b) Tính diện tích hình thang ABCD.
	HD: a) 	
	b) TH1: ABCD là hình thang cân, kẻ CH và DM cùng vuông góc với AB, 
- Tính CH rồi suy ra HB, mà AM=HB nên DC=HM. => SABCD 
	TH2: Nếu ABCD là hình bình hành thì SABCD=2SABC=AC.CB
 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE. a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm.	 b) Tính tanIED; tanHEC	c) Chứng minh IED=HEC d) Chứng minh: .
HD: a) , , 	b) tanIED; tanHEC=3/2
d)góc DEC=IED+ HEC =900.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h. Chứng minh rằng tam giác có các cạnh là một tam giác vuông.
	HD: Chứng minh .
Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng: a) .	b) .
	HD: a) Chứng minh 	b) 
Cho ABC vuông tại A có . Tính các tỉ số lượng giác của góc B và C.
	HD: ; ; ; .
 Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh: a) DANL ∽DABC	b) 
	HD: 
a, Xét ∆ALC và ∆ANB có A chung; ALC=ANB=900 nên ∆ALC ∽ ∆ANB (g.g) nên 
ALAN=ACAB .
Xét ∆ANL và ∆ABC có A chung; ALAN=ACAB nên ∆ANL ∽ ∆ABC (c.g.c)
b, AN=AB.cosA; BL=BC.cosB; CM=AC.cosC.
 Cho tam giác ABC vuông tại A có C=150, BC = 4cm. a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính AMH , AH, AM, HM, HC. b) Chứng minh rằng: .
	HD: a) AMH=300; ; ; ; 
	b) .
 Cho tam giác ABC cân tại A, Có A=360, BC = 1cm. Kẻ phân giác CD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC. a) Tính AD, DC.	b) Kẻ CK BD. Giải tam giác BKC. c) Chứng minh rằng .
	HD: 
a, ∆BCD cân tại C, ∆CDA cân tại A ( Hai góc ở đáy bằng nhau)
Nên DC=DA=BC=1cm
b, ∆BKC có: B=720; C=180 
sinB=CKBC nên CK=BC.sinB=1.sin720
cosB=BKBC Nên BK=BC.cosB=1.cos720
c, cos360=cosA= AHAD; đặt AB=AC=2x, suy ra DB=AB-AD=2x-1, theo tính chất phân giác ta có:
ADDB=ACBC suy ra 12x-1=2x1. Tìm được x= 1+54 ( vì x>0) hay AH= 1+54. 
Thay AD,AH vào cos360=cosA=  ... của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
HD :
Bài 85. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O). CM : 
a) bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn.	b. AOC=BIC
c) BI//MN.	 d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
HD :
Bài 86 . Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Người ta vẽ đường tròn tâm A bán kính nhỏ hơn AB, nó cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt AB tại E. Trên cung nhỏ CE của (A), ta lấy điểm M. Tia BM cắt tiếp (O) tại N. CMR : 
a) BC, BD là các tiếp tuyến của đường tròn (A).	b) NB là phân giác của góc CND.
c) ∆CNM ∽∆MND.	d) Giả sử CN = a; DN = b. Tính MN theo a và b.
HD :
Bài 87. Cho (O; R), AB là đường kính cố định. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) tại B. MN là đường kính thay đổi của (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M ≠ A, M ≠ B. Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi, CMR :
a) Tích AM.AC không đổi. 	b) Bốn điểm C, M, N, D cựng thuộc một đường tròn.
c) Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định.
d) Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định.
HD :
Bài 88. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B lớn hơn góc C. Kẻ đường cao AH. Trên đoạn HC đặt HD = HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD tại E. 
a) Chứng minh các tam giác AHB và AHD bằng nhau.
b) Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp và hai góc HCE và HAE bằng nhau.
c) Chứng minh tam giác AHE cân tại H.	d) Chứng minh DE.CA = DA.CE	
d) Tính góc BCA nếu HE//CA.
HD :
Bài 89. Cho (O;R), đường kính AB cố định, CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại B; các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q. AI trung tuyến của tam giác APQ	 
a) CM: PAQ=900.
b) CM: CPQD nội tiếp 	c)AICD.
d) Xác định vị trí của CD để diện tích tứ giác CPQD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC.
HD :
Bài 90. Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B lớn hơn góc C, AH là đường cao, AM là trung tuyến. Đường tròn tâm H bán kính HA cắt đường thẳng AB ở D và đường thẳng AC ở E.
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng.	b) Chứng minh :MAE=DAE.
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm trên đường tròn tâm O. Tứ giác AMOH là hình gì?
d) Cho góc ACB bằng 300 và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC.
HD :
Bài 91. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC). Đường tròn (O) đi qua B và C, đường kính DE vuông góc với BC tại K. AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I.
a) Chứng minh tứ giác DFIK nội tiếp được.	
b) Chứng minh góc DHA và góc DEA bằng nhau.
c) Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC.
d) AT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) của (O). Điểm T chạy trên đường nào khi (O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm B, C.
HD :
Bài 92. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ trung tuyến AM, phân giác AD của góc BAC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB tại P và cắt AC tại Q. a).Chứng minh BAM=PQM; BPD=BMA	
b)Chứng minh BD.AM = BA.DP.	
c)Giả sử BC = a; AC = b; BD = m. Tính tỉ số theo a, b, m.
d) Gọi E làđiểm chớnh giữa cung PAQ và K là trung điểm đoạn PQ. Chứng minh ba điểm D, K, E thẳng hàng.
HD :
Bài 93. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn, P là một điểm trên cung nhỏ AC ( P khỏc A và C). AP kéo dài cắt đường thẳng BC tại M.	
a) Chứng minh: ABP=AMB.
b) Chứng minh AB2 = AP.AM.	
c) Giả sử hai cung AP và CP bằng nhau, Chứng minh AM.MP = AB.BM.
d) Tìm vị trí của M trên tia BC sao cho AP = MP.
e) Gọi MT là tiếp tuyến của đường tròn tại T, chứng minh AM, AB, MT là ba cạnh của một tam giác vuông.
HD :
Câu 94. Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với A) BO1 cắt CO2 tại E	.CMR :	
a) ∆BCD là tam giác vuông.
b) O1D là tiếp tuyến của (O2).	
c) 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
d) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất.
HD :
Câu 95 .Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại E và F. CMR:	 
a) AE = AF.	b) A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH.
c) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành.
HD :
Câu 96 . Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. CMR : 
a) MN là đường kính của đường tròn đường kính AH.	
b) tứ giác BMNC nội tiếp.	c)BI = IC.
HD :
Câu 97. Cho tam giác ABC vuông tại C, O là trung điểm của AB và D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B). Gọi I và J thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD. CMR : 	
a) OI // BC.	b) 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đường tròn.	
c) CD là tia phân giác của góc BAC khi và chỉ khi OI = OJ.
HD :
Bài 98. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. CMR :	
a) CEFD là tứ giác nội tiếp.	 b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM.	
c) BE.DN = EN.BD.
HD :
Bài 99. tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD.	
a) Chứng minh OM // DC.	
b) Chứng minh tam giác ICM cân.	
c) BM cắt AD tại N. Chứng minh IC2 = IA.IN.
HD :
Câu 100. Cho tam giác vuông ABC tại C , nội tiếp trong đường tròn tâm O . Trên cung nhỏ AC ta lấy một điểm M bất kỳ ( M khác A và C ) . Vẽ đường tròn tâm A bán kính AC , đường tròn này cắt đường tròn (O) tại điểm D ( D khác C ) . Đoạn thẳng BM cắt đường tròn tâm A ở điểm N . 
a, Chứng minh MB là tia phân giác của góc CMD. b, Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm A nói trên . c, So sánh góc CNM với góc MDN . d, Cho biết MC = a , MD = b . Hãy tính đoạn thẳng MN theo a và b . 
HD :
Câu 101 . Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn ngoại tiếp tại I .
Chứng minh rằng OI vuông góc với BC .
Chứng minh BI2 = AI.DI .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC . Chứng minh góc BAH = góc CAO .
HD :
Câu 102. Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC . Giả sử BAM=BCA .
Chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBA .
Chứng minh minh : BC2 = 2 AB2 . So sánh BC và đường chéo hình vuông cạnh là AB .
Chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC . 
Đường thẳng qua C và song song với MA , cắt đường thẳng AB ở D . Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC . 
HD :
Câu 103 . Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC . CM:
Tứ giác CBMD nội tiếp .
Khi điểm D di động trên trên đường tròn thì BMD+BCD không đổi .
DB . DC = DN . AC 
HD:
Câu 104. Cho tam giác nhọn ABC và đường kính BON . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , Đường thẳng BH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M .
Chứng minh tứ giác AMCN là hình thanng cân .
Gọi I là trung điểm của AC . Chứng minh H , I , N thẳng hàng .
Chứng minh rằng BH = 2 OI và tam giác CHM cân .Câu 105. Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a .E là điểm đi chuyển trên đoạn CD ( E khác D ) , đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F , đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K .
Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy ra tam giác AFK vuông cân .
Gọi I là trung điểm của FK , Chứng minh I là tâm đường tròn đi qua A , C, F , K .
Tính số đo góc AIF , suy ra 4 điểm A , B , F , I cùng nằm trên một đường tròn 
HD:
Câu 106. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Đường phân giác trong của góc A , B cắt đường tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đường phân giác là I , đường thẳng DE cắt CA, CB lần lượt tại M , N .
Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân .
Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC .
Tứ giác CMIN là hình gì ?
HD:
Câu 107. Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đường tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I , CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng AB tại F .
Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh góc CAE bằng góc MEB .
Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB 
HD:
Câu 108. Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 1 v ) có AC < AB , AH là đường cao kẻ từ đỉnh A . Các tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M . Đoạn MO cắt cạnh AB ở E , MC cắt đường cao AH tại F . Kéo dài CA cho cắt đường thẳng BM ở D . Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM ở N . 
Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của đoạn thẳng BD . 
Chứng minh EF // BC .
Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN .
HD:
Câu 109. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC . 	
1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp . 	
2) Chứng minh AMB=HMK	3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK . 
HD:
Bài 110. Cho ∆PBC nhọn. Gọi A là chân đường cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC. Đường tròn đường khinh BC cắt cạnh PB và PC lần lượt ở M và N. Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC tại điểm thứ 2 là E.
1. Chứng minh 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ấy?
2. Chứng minh EM vuông góc với BC.	
3. Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng: AM.AF=AN.AE
HD:
Bài 111. Cho BC là dây cung cố định của đường tròn tâm O, bán kính R(0<BC<2R). A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của ∆ABC cắt nhau tại H(D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB).
1. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp trong một đường tròn. Từ đó suy ra AE.AC=AF.AB.
2. Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh AH=2A’O.
3. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích của ∆ABC, 2p là chu vi của ∆DEF.
a. Chứng minh: d//EF.	b. Chứng minh: S=pR.
HD:
Bài 112. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O).Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N, B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh:
1. Tứ giác IECB nội tiếp.	2. AM2=AE.AC	3. AE.AC-AI.IB=AI2
HD:
Bài 113. Trên một đường thẳng lấy ba điểm A, B, C cố định theo thứ tự ấy. Gọi (O) là đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và B. Vẽ đường kính I J vuông góc với AB; E là giao điểm của I J và AB. Gọi M và N theo thứ tự là giao điểm của CI và C J ( M I, N J). CM :
1/. IN, JM và CE đồng quy tại D.	 
2/. Gọi F là trung điểm của CD. Chứng minh OF MN.