Phiếu bài tập môn Hình học Lớp 9 - Tiết 24: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (Có đáp án)

 TIẾT 24 - VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Nhận biết
Bài 1: Điền vào ô trống
 Vị trí của đường 
 Số Điểm Chung Hệ thức giữa R và D Hình Vẽ
 thẳng và đường tròn
 Cắt Nhau
 Tiếp Xúc
 Không Giao Nhau
Bài 2: Vẽ hình theo yêu cầu và xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
a) Vẽ O,5cm đường thẳng d cách tâm O 6cm 
b) Vẽ O,10cm đường thẳng k cách tâm O 7cm 
c) Vẽ O,5cm đường thẳng n cách tâm O 6cm 
d) Vẽ O,d 10cm dường thẳng m cách tâm O 5cm 
Dạng 2: Các bài toán chứng minh
Bài 1 
Đường tròn O , đường kính AB , tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại 
 C và D . Vẽ đường tròn tâm I có đường kính CD . 
a) Chứng minh OI  AB 
b) Chứng minh AB tiếp tuyến với đường tròn I tại O .
Bài 2 
Trên tiếp tuyến của đường tròn O, R tại A , Lấy điểm P sao cho AP R 3 
a) Tính các cạnh và các góc của PAO
b) Kéo dài AH của PAO cắt đường tròn O tại B . Chứng tỏ PB là tiếp tuyến của O 
Bài 3 
Cho nửa đường tròn O , đường kính AB và một dây cung CD . Vẽ AP và BS vuông góc 
với CD . Chứng minh:
 a) P và S ở bên ngoài đường tròn.
 b) PC DS .
Bài 4 
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3cm , AC 4cm . Vẽ đường tròn tâm A bán kính 
 2,8cm . Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn A;2,8cm . 
Bài 5 
Cho hình vuông ABCD . Trên đường chéo BD lấy BH BA ( H nằm giữa hai điểm B và D 
). Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với BD và đường này cắt AD tại O .
 a) So sánh OA,OH và HD . b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BD với đường tròn O;OA .
Bài 6
Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH và BK cắt nhau tại I . Chứng minh rằng HK 
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI .
Bài 7
Cho tam giác ABC có AB 6cm , AC 8cm và BC 10cm . Vẽ đường tròn B; BA và đường 
tròn C;CA .
 a) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn C;CA và AC là tiếp tuyến của 
 đường tròn B; BA ;
 b) AB cắt đường tròn B tại D và AC cắt đường tròn C tại E . Chứng minh rằng ba 
 điểm D, M , E thẳng hàng ( M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn). HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Nhận biết
Bài 1: Điền vào ô trống
 Vị trí của đường 
 Số Điểm Chung Hệ thức giữa R và D Hình Vẽ
 thẳng và đường tròn
 Cắt Nhau 2 R>D Học sinh tự vẽ 
 Tiếp Xúc 1 R=D Học sinh tự vẽ
 Không Giao Nhau 0 R<D Học sinh tự vẽ
Bài 2: Vẽ hình theo yêu cầu và xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
a) Vẽ (O,5cm) dường thẳng (d) cách tâm O 6cm
Đường thẳng không cắt đường tròn
 d
 k
b) Vẽ (O,10cm) dường thẳng (k) cách tâm O 7cm
Đường tròn cắt đường thẳng c) Vẽ (O,5cm) dường thẳng (n) cách tâm O 6cm
 n
d) Vẽ (O,d=10cm) dường thẳng (m) cách tâm O 5cm
 m
 Dạng 2: Các bài toán chứng minh
Bài 1 
Cho đường tròn (O), đường kính AB, tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và 
D. Vẽ đường trong tâm I có đường kính CD. 
a) Chứng minh OI  AB
b) Chứng minh AB tiếp tuyến với đường trong (I) tại O.
 Giải 
a) Xét tứ giác ACDB
 Ta có: AC và BD là tiếp tuyến của (O) 
 Nên AC  AB và BD  AB
 Suy ra AC//BD
 Do đó ACDB là hình thang vuông
 Xét hình thang ACDB
 Lại có AO=OB 
 CI=ID
 Vậy IO là đường trung bình của hình thang vuông 
ACDB
 Suy ra OI//AC
 OI  AB (1)
b) 
Ta chứng minh OAC OMC suy ra AC=MC Ta chứng minh OMD OBD suy ra DB=MD
 AC BD
Ta có OI= (IO là đường trung bình của hình thang vuông ACDB)
 2
 AC BD MC MD CD
Hay IO R (2)
 2 2 2
Từ (1) và (2) suy ra AB tiếp tuyến với đường trong (I) tại O.
Bài 2 
Trên tiếp tuyến của đường tròn (O,R) tại A, Lấy điểm P sao cho AP = R 3 
a) Tính các cạnh và các góc của PAO
b) Kéo dài AH của PAO cắt đường tròn (O) tại B. Chứng tỏ PB là tiếp tuyến của (O)
 Giải
a) Ta có AP là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) nên AP  OA
 Xét PAO  A
Theo định lý Pytago
 OP OA2 PA2 R2 (R 3)2 2R 
Dễ thấy PAO là nửa tam giác đều nên Pµ 30o và Oµ 60o
b) Xét OAH và OBH 
 Hµ 90o 
 OA=OB=R
 OH cạnh chung
 Vậy OAH OBH (CH-CGV)
 µ ¶
 Suy ra O1 O2
 Xét OAP và OBP
 OA=OB=R
 µ ¶
 O1 O2 (cmt)
 OP cạnh chung
 Vậy OAP OBP (cgc)
 Suy ra µA Bµ 900
 Hay PB  OB 
 Vậy PB là tiếp tuyến (O)
Bài 3 
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một dây cung CD. Vẽ AP và BS vuông góc với CD. 
Chứng minh:
 c) P và S ở bên ngoài đường tròn.
 d) PC = DS.
 Giải: a) Xét tứ giác APSB 
 Ta có: AP // BS (cùng vuông góc với CD) 
 nên tứ giác APSB là hình thang vuông.
 Lại có: PA / /EO(PA  PS, EO  PS) 
 OA=OB
 Suy ra EP = ES
 Trong hình thang vuông APSB có:
 O· AP O· BS 180o
 Và giả sử: O· AP ≥ 90o,
 Xét tam giác PAO ta có 
 P· AO ·APO 
  OP > OA
 Mà AO là bán kính, do đó P nằm ngoài (O).
 Mặt khác: EP = ES (cmt)
  SO = PO > OA nên S nằm ngoài (O).
 b) Ta có: CE = DE (định lý đường đính dây cung)
 Và EP = ES (cmt)
  EP – CE = ES – DE 
 hay PC = DS.
Bài 4 
 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2,8 
cm. Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn (A; 2,8cm). Giải:
 Kẻ AH  BC. Trong tam giác vuông ABC, ta có: 
 1 1 1
 AH 2 AB2 AC 2
 1 1 1
 hay 
 AH 2 32 42
 1 5
 AH = 2,4 cm
 AH 12
 Ta có: 2,4 < 2,8 (d < R)
 Do đó đường thẳng BC và (A; 2,8 cm) cắt nhau.
Bài 5 
Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy BH = BA (H nằm giữa hai điểm B và D). Qua 
H kẻ đường thẳng vuông góc với BD và đường này cắt AD tại O.
 c) So sánh OA, OH và HD.
 d) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BD với đường tròn (O; OA).
 Giải: 
 a) Xét BAO và BHO, ta có:
 µA Hµ 90o 
 OB chung,
 BH = BA (gt).
 Vậy tam giác BAO = BHO (CH - CGV)
  OA = OH.
 Mặt khác hình vuông ABCD có đường chéo là phân 
giác
  D¶1 45o
 1
 Trong tam giác vuông OHD có một góc 45o 
 nên cân hay OH = DH.
 Vậy OA = OH = DH.
 b) Ta có OA = OH, 
 Lại có OH  BD. 
 Do đó BD tiếp xúc với (O,OH) tại điểm H.
Bài 6
Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh rằng HK là tiếp 
tuyến của đường tròn đường kính AI. Giải:
Gọi O là tâm đường trọng đường kính AI. Hiển nhiên K thuộc (O) (vì ^AKI = 90o)
 ABC cân tại A có AH là đường cao 
 Nên AH đồng thời là đường trung tuyến
  HB = HC
 Xét BHK cân tại H 
 µ ·
 => B1 BKH
 (1) 2
 1
Lại có IOK cân tại O (OI = OK = 2 )
 µ ·
  I2 OKI
 1
 µ µ
 mà I2 I1 (đối đỉnh)
 µ ·
  I1 OKI
 (2)
 Mặt khác BHI vuông tại H 
 µ µ o
 nên B1 I1 = 90 (3)
 Từ (1), (2) và (3), ta có: B· KH O· KI 90o 
 hay HK vuông góc với OK.
 Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 7
Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm và BC = 10cm. Vẽ đường tròn (B;BA) và đường tròn 
(C;CA).
 c) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn (C;CA) và AC là tiếp tuyến của đường 
 tròn (B;BA);
 d) AB cắt đường tròn (B) tại D và AC cắt đường tròn (C) tại E. Chứng minh rằng ba điểm D, 
 M, E thẳng hàng (M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn).
 Giải:
 a) Ta có: AB2 AC 2 CB2
 (62 + 82 = 102)
Theo định lý Py-ta-go đảo ta có tam giác ABC 
vuông tại A 
Hay AB  AC 
=> AB là tiếp tuyến của (C;CA) và AC là tiếp 
tuyến của (B;BA).
 b) Ta có: ·AMD 900 (AD là đường kính) 
 => MD vuông góc AM (1)
 Tương tự: ·AME 900 
 => ME vuông góc với AM (2)
 Từ (1) và (2) suy ra ME và ME phải trùng nhau hay ba điểm D, M, E thẳng hàng.