Phiếu bài tập môn Hình học Lớp 9 - Tiết 3: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (Mức độ cơ bản) (Có đáp án)

 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 (MỨC ĐỘ CƠ BẢN)
DẠNG 1: TÍNH TOÁN
Bài 1: Hãy tính x và y trong mỗi hình sau:
 6
 9 12
 x y
 x y
 20
 Hình a) Hình b)
Bài 2: Hãy tính x và y trong mỗi hình sau:
 x
 y
 x 4
 x
 9 25
 y
 Hình a) Hình b)
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết AB 4cm, AC 7,5cm . Tính 
 HB, HC .
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH . Biết AH 12cm, BH 9cm . Tính diện 
tích tam giác ABC .
 AB 5
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết , đường cao AH 15cm . Tính HB, HC .
 AC 7
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB 12cm, AC 16cm , phân giác AD , đường cao AH . 
Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HD, HC .
Bài tập về nhà: 
 AB 3
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết , đường cao AH 42cm . Tính HB, HC .
 AC 7 BH 9
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết , đường cao AH 48cm . Tính độ dài các 
 HC 16
cạnh góc vuông của tam giác vuông.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, phân giác AD , đường cao AH . Biết BD 15cm,
 CD 20cm . Tính độ dài các đoạn thẳng BH, HC .
DẠNG 2: CHỨNG MINH
Bài 1: Chứng minh rằng:
 bc
 a) h ;
 a
 b2 b'
 b) 
 c2 c'
Bài 2: Cho hình thang ABCD , đáy nhỏ AB, AD  CD và AD CD . Vẽ đường cao BH . Trên 
tia đối của tia DA lấy K sao cho DK CH . Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và 
 BC . Chứng minh rằng:
 a) Tam giác BC  CK ;
 1 1 1
 b) .
 CD2 CE 2 CB2
Bài 3: Cho hình vuông ABCD và điểm I nằm giữa A và B . Tia DI cắt BC ở E . Đường thẳng 
kẻ qua D vuông góc với DE cắt BC ở F .
 a) Tam giác DIF là tam giác gì? Vì sao?
 1 1
 b) Chứng minh rằng không đổi khi I chuyển động trên đoạn AB ?
 DI 2 DE 2
Bài 4: Cho hình thoi ABCD tâm O . Cho biết khoảng cách từ O đến mỗi cạnh hình thoi là h;
 1 1 1
 AC m; BD n . Chứng minh rằng: .
 m2 n2 4h2
Bài 5: Cho tam giác cân ABC đỉnh A , đường cao AH và BK . Chứng minh rằng:
 1 1 1
 BK 2 BC 2 4AH 2
Bài tập về nhà: Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao BD và CE nhau tại H . Gọi B1, C1 là hai điểm 
 · · 0
tương ứng trên các đoạn HB, HC . Biết AB1C = AC1B 90 . Tam giác AB1C1 là tam giác gì? Vì 
sao?
Bài 2: Cho tam giác ABC có µA < 900 , đường cao BH . Đặt BC a, CA b, AB c, AH c ,
 HC b . Chứng minh rằng: a2 = b2 c2 2bc .
Bài 3: Cho tam giác ABC có µA > 900 , đường cao BH . Đặt BC a, CA b, AC c, AH c ,
 HC b . Chứng minh rằng: a2 = b2 c2 2bc . HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG 
 TAM GIÁC VUÔNG
 (MỨC ĐỘ CƠ BẢN)
DẠNG 1: TÍNH TOÁN
Bài 1: Hãy tính x và y trong mỗi hình sau:
 6
 9 12
 x y
 x y
 20
 Hình a) Hình b)
*Hình a)
 Theo hệ thức b2 a.b', ta có: 
 9
 62 20.x x 
 5
 9 91
 y 20 x 20 
 5 5
*Hình b)
 2
 Theo định lý Pytago, ta có: x y 92 122 x y 15
 Theo hệ thức b2 a.b' và c2 a.c' , ta có: 
 27
 92 15.x x ;
 5
 48
 122 15.x x 
 5
Bài 2: Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: x
 y
 x 4
 x
 9 25
 y
 Hình a) Hình b)
*Hình a)
 Theo hệ thức h2 b'.c' , ta có: 
 x2 9.25 x 15
*Hình b)
 Theo hệ thức h2 b'.c' , ta có: 
 42 x.x x 4
 1 1 1
 Cách 1: Theo hệ thức , ta có: 
 h2 b2 c2
 1 1 1 2 1
 y2 2.42 y 4 2
 42 y2 y2 y2 42
 Cách 2: Theo hệ thức ah bc , ta có: 
 4 4 .4 y.y y2 32 y 4 2
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết AB 4cm, AC 7,5cm . Tính 
 HB, HC .
 Theo định lý Pytago, ta có: BC 2 AB2 AC 2 42 7,52 72,25 BC 8,5cm
 Theo hệ thức b2 a.b' và c2 a.c' , ta có: 
 AB2 42 15
 AB2 BC.BH BH 1 cm ;
 BC 8,52 17
 21
 Tương tự, ta tính được: CH 6 cm 
 34 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH . Biết AH 12cm, BH 9cm . Tính diện 
tích tam giác ABC .
 Theo định lý Pytago, ta có: AB2 AH 2 HB2 122 92 225
 Theo hệ thức c2 a.c' , ta có: 
 AB2 225
 AB2 BC.BH BC 25 cm 
 BH 9
 1 1 2
 Vậy SABC BC.AH .25.12 150 cm 
 2 2
 AB 5
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết , đường cao AH 15cm . Tính HB, HC .
 AC 7
 ABH ∽ CAH g g 
 AB AH 5 15 15.7
 nên hay CH 21 cm .
 AC CH 7 CH 5
 Theo hệ thức h2 b'.c' , ta có: 
 AH 2 152 75 5
 AH 2 BH.CH BH 10 cm 
 CH 21 7 7
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB 12cm, AC 16cm , phân giác AD , đường cao AH . 
Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HD, HC .
 Theo định lý Pytago, ta có: A
 BC 2 AB2 AC 2 122 162 400
 BC 20 cm 15
 AD là phân giác của góc A nên:
 C
 BD AB 12 3 B H D
 DC AC 16 4 ,
 BD 3
 DC BD 4 3
 BD 3 BD 3 4
 BD 8 cm 
 Hay BC 7 hay 20 7 7 4 3
 từ đó, CD BC BD 20 8 11 cm 
 7 7
 Áp dụng hệ thức lượng tính BH 7,2 cm . Từ đó suy ra HD 1,4 cm .
DẠNG 2: CHỨNG MINH
Bài 1: Chứng minh rằng:
 bc
 a) h ;
 a
 b2 b'
 b) 
 c2 c'
a) Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có:
 1 1 bc
 S ah bc h 
 2 2 a
 2 2
b) Theo hệ thức b a.b' và c a.c' , suy ra: 
 b2 b'
 c2 c'
Bài 2: Cho hình thang ABCD , đáy nhỏ AB, AD  CD và AD CD E
. Vẽ đường cao BH . Trên tia đối của tia DA lấy K sao cho 
 DK CH . Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC . 
Chứng minh rằng:
 B
 a) Tam giác BC  CK ; A
 1 1 1
 b) .
 CD2 CE 2 CB2
 1
a) HBC DCK CB CK và Cµ 1 Kµ
 D C
 H
dùng cách cộng góc để suy ra B· CK 900
 1 1 1 K
b) Dùng hệ thức 
 h2 b2 c2
Bài 3: Cho hình vuông ABCD và điểm I nằm giữa A và B . Tia DI cắt BC ở E . Đường thẳng 
kẻ qua D vuông góc với DE cắt BC ở F .
 a) Tam giác DIF là tam giác gì? Vì sao? 1 1
 b) Chứng minh rằng không đổi khi I chuyển động trên đoạn AB ?
 DI 2 DE 2
 E
a) AID CFD g c g 
 I
 nên DF DI A B
 Vậy tam giác DIF vuông cân ở D .
b) Tam giác EDF vuông cân ở D , có DC  EF
 1
 1 1 1 2
 Suy ra , mà DF DI
 2 2 2 D C
 DE DF DC 3
 1 1 1
Do đó không đổi.
 DI 2 DE 2 DC 2
Bài 4: Cho hình thoi ABCD tâm O . Cho biết khoảng cách từ O đến mỗi cạnh hình F
 1 1 1
thoi là h; AC m; BD n . Chứng minh rằng: .
 m2 n2 4h2
 A
Ta có: AC  BD . Kẻ OH  AD . Khi đó OH là đường H
cao của tam giác vuông OAD nên: 
 h
 1 1 1 1 1 1
 B D
 2 2 2 2 2 2 . O
 OH OA OD h m n 
 2 2 
 C
 1 1 1
 4h2 m2 n2
Bài 5: Cho tam giác cân ABC đỉnh A , đường cao AH và BK . Chứng minh rằng:
 1 1 1
 BK 2 BC 2 4AH 2 Kẻ BM / / AH và M trên AC kéo dài.
 M
 BK là đường cao của tam giác vuông BCM và BM 2AH
 1 1 1 1 1
nên 
 BK 2 BC 2 BM 2 BC 2 4AH 2
 A
 K
 C
 B H