Phiếu bài tập môn Hình học Lớp 9 - Tiết 67: Ôn tập cuối năm (Có đáp án)

 HH9 – Tiết 67 - ễN TẬP CUỐI NĂM
Dạng 1: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng, tỉ số lượng giỏc
Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Kẻ HE  AB, HF  AC
 a) Tớnh EF, biết BH 13,5cm, CH 6cm .
 b) Chứng minh AE.AB AF.AC .
 c) Qua A kẻ AK vuụng gúc EF , cắt BC ở I . Chứng minh I là trung điểm của 
BC .
 d) Chứng minh rằng nếu SABC 2SAEHF thỡ tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng cõn.
Bài 2: Cho hỡnh thang cõn ABCD ( BC// AD ). Biết AB 5a, BC 3a, AD 13a , AB  BD .
 tan A tan D
Tớnh .
 cot A cot D
Dạng 2: Đường trũn
Bài 3: Cho hỡnh chữ nhật ABCD . Gọi I là một điểm tựy ý trờn cạnh AB . Qua I kẻ 
IN  CD, IM  AC .
 a) Chứng minh tứ giỏc BMNC nội tiếp.
 b) CHứng minh MA.MN MB.MI .
 c) Cho biết AB 5cm, BC 2cm . Xỏc định vị trớ của điểm I trờn cạnh AB để AN 
là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc BMNC .
Bài 4: Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn O . Phõn giỏc của gúc A cắt BC 
tại D , cắt đường trũn O tại E . Gọi K và M lần lượt là hỡnh chiếu của điểm D trờn 
AB và AC .
a) Chứng minh tứ giỏc AMDK nội tiếp được đường trũn.
b) Chỳng minh tam giỏc AKM cõn.
c) Đặt Bã AC . Chứng minh MK AD.sin .
d) So sỏnh SAKEM với SABC . Bài 5: Cho nửa đường trũn O đường kớnh AB . Cỏc điểm C và D thuộc cung AB sao 
cho sđ CằD 900 (C thuộc cung AD ). Gọi E là giao điểm của AC và BD , K là giao 
điểm của AD và BC .
a) Tớnh số đo gúc CED .
b) Chứng minh rằng ECKD nội tiếp.
c) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp của tứ giỏc ECKD .
d) Khi cung CD di chuyển trờn nửa đường trũn thỡ điểm K di chuyển trờn đường nào?
Dạng 3: Hỡnh trụ, hỡnh cầu, hỡnh nún
Bài 6: Một hỡnh trụ cú bỏn kớnh đấy 5cm. Một mặt phẳng đi qua trục OO’ , phần mặt 
phẳng giới hạn bởi hỡnh trụ là một hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằng diện tớch hỡnh trũn 
đỏy hỡnh trụ. Tớnh diện tớch xung quanh, diện tớch toàn phần và thể tớch hỡnh trụ.
Bài 7: Cho tam giỏc đờu ABC cạnh 6cm, đường cao AH . Quay tam giỏc ABC và cỏc 
đường trũn nội tiếp, đường trũn ngoại tiếp tam giỏc đú nửa vũng quanh AH , ta được 
một hỡnh nún và hai hỡnh cầu.
a) Tớnh diện tớch toàn phần của mỗi hỡnh.
b) Tớnh thể tớch của mỗi hỡnh.
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng, tỉ số lượng giỏc Bài 1: (Hỡnh H1) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Kẻ 
HE  AB, HF  AC
 a) Tứ giỏc AEHF là hỡnh 
chữ nhật vỡ cú ba gúc vuụng, do 
đú EF AH .
 Tam giỏc ABC vuụng tại A, 
AH  BC , ta cú:
 AH 2 BH.HC 13,5.6 81
 AH 9 cm 
 EF 9 cm 
 b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng ta cú:
 AH 2 AE.AB 
 AE.AB AF.AC
 2 
 AH AF.AC 
 c) Tứ giỏc AEHF là hỡnh chữ nhật nờn AE HF,AF HE .
 AEF HFE c g c 
 à ả ả à ả à à
 Ta cú E1 H1 . Mà H1 C ( cựng phụ với H2 ) nờn C E1 . Mặt khỏc 
à à 0 
C B 90 à à
  B A1
à à 0
E1 A1 90  
Suy ra tam giỏc AIB cõn tại I nờn IB=IA.
Tương tự IA=IC, Suy ra IB=IC. Vậy I là trung điểm của BC
 SABC
d) Ta cú SABC 2SAEHF 4SAEF 4 Mặt khỏc
 SAEF
 2
 SABC BC 
 ABC : AFE g g 4
 SAEF EF 
 BC 1
 2 EF BC
 EF 2 1
Mà AH=FE nờn AH BC AH AI
 2
Vỡ AH AI nờn AH=AI khi và chỉ khi H trựng với I. Khi đú tam giỏc ABC là tam giỏc 
vuụng cõn.
Bài 2: (Hỡnh H2) Cho hỡnh thang cõn ABCD ( BC P AD ). Biết AB=5a, BC=3a, AD=13a, 
 tan A tan D
AB  BD . Tớnh 
 cot A cot D
Tam giỏc ABD vuụng tại B, ta cú:
BD2 AD2 AB2 144a2 BD 12a
ABCD là hỡnh thang cõn nờn AC BC 12a, AB CD 5a .
 CAD BDA c.c.c à CD 900
 BD 12a 12
tan A 
 AB 5a 5
 AC 12a 12
tanD 
 CD 5a 5
 AB 5a 5
cot A 
 BD 12a 12
 CD 5a 5
cotD 
 AC 12a 12
 12 12
 tanA+tanD
Vậy 5 5 5,76
 5 5
 cot A cot D 
 12 12
Dạng 2: Đường trũn
Bài 3: (Hỡnh H3) Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Gọi I là một điểm tựy ý trờn cạnh AB. Qua I 
kẻ IN  CD, IM  AC .
 a) Ta cú: IãMC IãNC IãBC 900 . Ba điểm M, N, B cựng thuộc đường trũn đường 
kớnh IC.
 Tứ giỏc BINC là hỡnh chữ nhật nờn điểm C thuộc đường trũn đường kớnh IC. Vậy 
bốn điểm B, M, N, C cựng thuộc đường trũn đường kớnh IC hay tứ giỏc BMNC nội tiếp. b) Ta cú: Mã AB Mã IN ( cựng phụ với gúc MIA)
 Mã BA Mã NI ( hai gúc nội tiếp cựng chắn cung 
MI)
 Do đú MNI : MBA g.g ta cú:
 MN MI
 MN.MA MB.MI
 MB MA
 MA.MN MB.MI .
 c) AN là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc BMNC khi và chỉ khi 
AN  NB N AN2 NB2 AB2 .
Đặt AI x 0 x 5 IB 5 x .
 2
Dễ thấy AN2 AI 2 IN2 x2 22 , NB2 22 5 x .Do vậy :
AN2 BN2 AB2
 x2 5x 4 0
 x 1
 x 4
Vậy cú hai vị trớ cảu điểm I trờn cạnh AB: AI 1cm, AI 4cm để AN là tiếp tuyến của 
đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc BMNC.
Bài 4: (Hỡnh H4) Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O). Phõn giỏc của gúc A 
cắt BC tại D, cắt đường trũn (O) tại E. Gọi K và M lần lượt là hỡnh chiếu của điểm D trờn 
AB và AC.
a) Tứ giắc AMDK là tứ giỏc nội tiếp vỡ cú Kà Mà 1800
b) Ta cú: AKD AMD(ch cgn) AK AM . Vậy tam giỏc AKM cõn tại A. c) Cỏch 1: Gọi giao điểm của KD với AC là S. 
 ả ả
Ta cú: K1 A2 (hai gúc nội tiếp cựng chắn cung MD)
 KMS : ADA g g 
 KM KS KS
 KM AD.
 AD SA SA
 KS
 sin Bã AC sin KM AD.sin 
Mà SA
d) Dễ thấy AE  KM
 1 1
S KM.AE AE.AD.sin 1 
 AKEM 2 2
Kẻ CJ  AB , ta cú:
 1 1
 S AB.CJ AB.AC.sin 2 
 ABC 2 2
 ADC ABE g.g 
 AD AC
 AD.AE AB.AC 3 
 AB AE
TỪ (1), (2), (3) suy ra SAKEM với SABC .
Bài 5: Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB. Cỏc điểm C và D thuộc cung AB sao 
cho sđ CằD 900 (C thuộc cung AD). Gọi E là giao điểm của AC và BD, K là giao điểm 
của AD và BC.
 1800 sdCằD 1800 900
a) Ta cú: Cã ED 450
 2 2 b) Xột Eã CK Eã DK 900 900 1800
Chứng tỏ rằng ECKD nội tiếp.
c) Gọi I là trung điểm của EK. Ta cú: 
ả à 
D1 A1 
 
ả ả ã
D2 K1 ABD 
 ả ả à ã 0
 D1 D2 A1 ABD 90
Suy ra OD  ID hay OD là tiếp tuyến của 
đường trũn ngoại tiếp của tứ giỏc ECKD.
d) ta cú: Ã KB Cã KD 1350 . Điểm K nhỡn AB cố 
định dưới một gúc bằng 1350 nờn khi K di 
chuyển trờn cung chứa gúc 1350 dựng trờn đoạn thẳng AB. 
Dạng 3: Hỡnh trụ, hỡnh cầu, hỡnh nún
Bài 6: Một hỡnh trụ cú bỏn kớnh đấy 5cm. Một mặt phẳng đi qua trục OO’, phần mặt 
phẳng giới hạn bởi hỡnh trụ là một hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằng diện tớch hỡnh trũn 
đỏy hỡnh trụ. Tớnh diện tớch xung quanh, diện tớch toàn phần và thể tớch hỡnh trụ.
Diện tớch hỡnh chữ nhật AA’B’B là
SAA'B'B AB.AA' 10h
Diện tớch hỡnh trũn đỏy hỡnh trụ là
 2
S O r 25 
Vỡ SAA'B'B S O 10h 25 h 2,5 Diện tớch xung quanh hỡnh trụ là :
 2
Sxq 2 rh 78,5 cm 
Diện tớch toàn phần của hỡnh trụ là 
 2 2
Stp 2 rh 2 r 235,5 cm 
Thể tớch hỡnh trụ 
V r2h 196,25 cm3 
Bài 7: (Hỡnh H7) Cho tam giỏc đờu ABC cạnh 6cm, đường cao AH. Quay tam giỏc ABC 
và cỏc đường trũn nội tiếp, đường trũn ngoại tiếp tam giỏc đú nửa vũng quanh AH, ta 
được một hỡnh nún và hai hỡnh cầu.
Gọi r là bỏn kớnh đường trũn nội tiếp, R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc 
ABC. Ta cú:
AH AC.sin 600 3 3 cm 
r HC.tan300 3 cm 
R 2r 2 3 cm 
a) Diện tớch toàn phần của hỡnh nún là;
 .HC.AC .HC2 .3.5 .32 27 cm2 
Diện tớch mặt cầu nhỏ là: 4 r2 12 cm 
 2
Diện tớch mặt cầu lớn là : 4 R2 4 2 3 48 cm2 
 1 1
b) Thể tớch của hỡnh nún là .HC2 .AH .32.3 3 9 3 cm3 
 3 3
Thể tớch hỡnh cầu nhỏ là : 4 3 cm3 
Thể tớch mặt cầu lớn là: 32 3 cm3