Phiếu bài tập môn Hình học Lớp 9 - Tuần 16, Tiết 68: Ôn tập cuối năm (Có đáp án)

 Tiết: 68 ÔN TẬP CUỐI NĂM
Dạng 1: Ôn tập về các loại góc:
Bài 1: Hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn O;R cắt nhau tại M. Biết OM 2R. Tính 
 số đo góc ở tâm AOB? 
Bài 2: Cho đường tròn O và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây 
 BC ở D và cắt đường tròn O ở E. Chứng minh rằng AB2 AD.AE. 
Bài 3: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn O ta vẽ một tiếp tuyến MT và 
 một cát tuyến MAB của đường tròn đó.
 a) Chứng minh rằng ta luôn có MT 2 MA.MB và tích này không phụ thuộc vào vị trí 
 của cát tuyên MAB. 
 b)Ở hình 1 cho MT 20cm, MB 50cm, Tính bán kính đường tròn.
 T
 B
 O
 M A
 Hình 1
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp tuyến ở 
 D cắt Ac ở P. Chứng mính PD PC. 
Bài 5: Trên đường tròn O;R vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau AB, BC, CD, mỗi dây có độ 
 dài nhỏ hơn R. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường 
 tròn tại B, D cắt nhau tại K. 
 a) Chứng minh B· IC B· KD. 
 b) Chứng minh BC là tia phân giác của góc K· BD. 
Dạng 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp Bài 1: Cho đường tròn O và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB 
 (Hai tiếp điểm lần lượt là A, B ). CHứng minh rằng tứ giác AMBO là tứ giác nội tiếp.
Bài 2: Cho tam giác ABC hai tia phân giác BD và CE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng :
 a) Tứ giác ADHE nội tiếp.
 b) Tứ giác EDCB nội tiếp.
Bài 3: Cho hai đoạn thẳng Ac và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC BE.ED. Chứng minh bốn 
 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Dạng 3: Ôn tập về độ dài cung và diện tích hình tròn, hình quạt tròn
Bài 1: Cho tam giác ABC có Bµ 120 , AC 6cm. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 đó.
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O;R có Cµ 45. 
 a) Tính diện tích hình quạt tròn AOB (ứng với cung nhỏ AB )
 b) Tính diện tích hình viên phân AmB (ứng với cung nhỏ AB ).
Bài 3: Cho tam giác AHB có Hµ 90, µA 30 và BH 4cm. Tia phân giác của góc B cắt 
 AH tại O. Vẽ đường tròn O;OH và đường tròn O;OA 
 a) Chứng minh đường tròn O;OH tiếp xúc với cạnh AB. 
 b) Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên.
Dạng 4: Ôn tập về diện tích xung quanh và thể tích của các hình trụ, nón, cầu
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6cm, chiều cao 9cm. Hãy tính:
 a) Diện tích xung quanh của hình trụ.
 b) Thể tích của hình trụ.
 (Lấy 3,142, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc Bµ 60 và BC 2a (đơn vị dài).Quay tam giác đó 
 một vòng quanh cạnh huyền BC. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo 
 thành.
Bài 3: Với nửa hình cầu bán kính r và một hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao 
 đều bằng h. a) Khi r 12 cm và thể tích hai hình bằng nhau thì giá trị h cm làm tròn đến số thập 
 phân thứ nhất có giá trị là bao nhiêu.
 b) Khi h 12 cm và tổng diện tích mặt cầu và diện tích hình tròn đáy gấp ba lần diện 
 tích toàn phần của hình trụ thì r cm bằng bao nhiêu?
Dạng 5: Một số bài toán tổng hợp
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC . Đường tròn tâmO đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt 
tại các điểm M , N ( M B, N C ). Gọi H là giao điểm của BN và CM ; P là giao điểm của 
AH và BC
 a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn.
 b) Chứng minh BM.BA BP.BC .
 c) Trong trường hợp đặc biệt khi tam giác ABC đều cạnh bằng 2a . Tính chu vi đường tròn 
 ngoại tiếp tứ giác AMHN theo a .
 d) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AE và AF của đường tròn tâm O đường kính BC ( E, F là 
 các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M , N, P lần lượt là các trung 
 điểm của các cạnh AB, BC, CA. 
 a) Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.
 b) Kéo dài AN cắt đường tròn O tại G khác A. Chứng minh ON NG .
 c) PN cắt cung nhỏ BG của đường tròn O tại F. Tính số đo O· FP .
Bài 3: Cho đường tròn O; R và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không 
 đi qua O ( M nằm giữa A và N ). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với O; R . ( B và C là 
 hai tiếp điểm và C thuộc cung nhỏ MN ). Đường thẳng BC cắt MN và AO lần lượt tại 
 E và F . Gọi I là trung điểm của MN .
 a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn.
 b) Chứng minh EB.EC EM.EN và AI là phân giác của B· IC .
 c) Tia MF cắt O; R tại điểm thứ hai là D . Chứng minh rằng AMF ∽ AON và 
 BC//DN
 d) Giả sửOA 2R. Tính diện tích tam giác ABC theo R . HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Ôn tập về các loại góc:
Bài 1: Hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn O;R cắt nhau tại M. Biết OM 2R. Tính 
 số đo góc ở tâm AOB? 
 Lời giải:
 Áp dụng hệ thức lương trong
 tam giác vuông MAO ta có : A
 AO 1
 CosO Oµ 1 60 
 1 MO 2
 1
 O
 Mà theo tính chất hai tiếp M 2
 tuyến cắt nhau thì 
 1
 Oµ 1 Oµ 2 ·AOB 
 2 B
 · µ
 AOB 2O1 2.60 120. Hình 2
Bài 2: Cho đường tròn O và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây 
 BC ở D và cắt đường tròn O ở E. Chứng minh rằng AB2 AD.AE. 
 Lời giải:
 A
 Ta có AB AC gt »AB »AC. 
 Áp dụng tính chất góc nội tiếp chắn các 
 cung bằng nhau.
 O C
 · · 1 » 1 » 
 ABC AEB sd AC sd AB 
 2 2 D
 Xét ABD và AEB có :
 B E
 µA chung. Hình 3
 ·ABC ·AEB (cmt) AB AC
 ABC # AEB g.g . AB2 AE.AC. 
 AE AB
Bài 3: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn O ta vẽ một tiếp tuyến MT và một 
 cát tuyến MAB của đường tròn đó.
 a) Chứng minh rằng ta luôn có MT 2 MA.MB và tích này không phụ thuộc vào vị trí 
 của cát tuyên MAB. 
 b)Ở hình 1 cho MT 20cm, MB 50cm, Tính bán kính đường tròn.
 Lời giải:
 a) Xét MTB và MAT có 
 M¶ chung.
 M· BT M· TA (cùng chắn cung »AT )
 MTB # MAT g.g 
 MT MB
 MT 2 MA.MB. 
 MA MT
 b) MT 20cm, MB 50cm, Tính bán kính đường tròn.
 Theo phân a) MT 2 MA.MB
 MT 2 202
 MA 8 cm 
 MB 50
 AB MB MA 50 8 42 cm AB 42
 Vậy bán kính đường tròn O là: 21 cm . 
 2 2
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp tuyến ở 
 D cắt AC ở P. Chứng mính PD PC. 
 A
 P
 O
 C
 D
 B
 Hình 4
 Lời giải:
 Ta có : PA, PD là hia tiếp tuyến cửa đường tròn đường kính AB nên 
 PA PD (tính chất hai tiếp tuyến căt nhau) APD cân P· AD P· DA 
 Mà ABD vuông vì co sgocs nội tiếp chắn nửa đường tròn nên
 AD  DC P· DA P· AD 90;D· AP ·ACD 90 
 P· DC P· CD PDC cân ở P PD PC 
 Từ đó suy ra PD PC.
Bài 5: Trên đường tròn O;R vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau AB, BC, CD, mỗi dây có độ 
 dài nhỏ hơn R. Các đường thẳng AB và CD cắt nhua tại I, các tiếp tuyến của đường 
 tròn tại B, D cắt nhau tại K. 
 a) Chứng minh B· IC B· KD. 
 b) Chứng minh BC là tia phân giác của góc K· BD. 
 Lời giải: I
 B
 A
 K
 C
 O
 D
 Hình 5
 Vì AB BC CD »AB C»D B¶C 
 ÁP dụng tính chất góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn ta có :
 1 
 B· IC sd»AD sd B»C
 2 
  
 1 1 1
 B· KD sd B¼AD sd B¼CD sd B»A s¼dAD sd B¶C sdC»D s¼dAD sd B¶C 
 2 2 2  
 B· IC B· KD.
Dạng 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 1: Cho đường tròn O và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến 
 MA, MB (Hai tiếp điểm lần lượt là A, B ). Chứng minh rằng tứ giác AMBO là tứ giác 
 nội tiếp.
 Lời giải:
 A
 O
 M
 B
 Hình 6
 MA, MB là các tiếp tuyến nên OA  AM ; OB  BM Xét tứ giác AOBM có :
 µA Bµ 90 µA Bµ 180 
 Mà hai góc này ở vị trị đối nhau nên tứ giác AMBO là tứ giác nội tiếp.
Bài 2: Cho tam giác ABC hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng :
 a) Tứ giác ADHE nội tiếp.
 b) Tứ giác EDCB nội tiếp.
 Lời giải
 A
 D
 E
 H
 B C
 Hình 7
 a) Xét tứ giác AEHD có Eµ Dµ 90 Eµ Dµ 180 
 Mà hai góc này ở vị trí đối nhau 
 Nên tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn.
 b) Xét tứ giác BEDC có Eµ Dµ 90 nên hai đỉnh D, E cùng nhìn đoạn BC dưới một 
 góc vuông nên tứ giác BEDC nội tiếp.
 Bài 3: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC BE.ED. Chứng minh 
 bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
 Lời giải:
 Xét AEB và DEC có :
 D
 ·AEB D· EC dd A
 E
 C
 B
 Hình 7 AE ED
 AE.EC BE.ED .
 EB EC
 AEB # DEC c.g.c 
 · ·
 BAE CDE 
 Suy ra hai điểm A, D cùng nhìn đoạn BC dưới một góc không đổi nên 4 điểm A, B, C, 
 D cùng nằm trên một đường tròn.
Dạng 3: Ôn tập về độ dài cung và diện tích hình tròn, hình quạt tròn.
Bài 1: Cho tam giác cân ABC có Bµ 120 , AC 6cm. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam 
 giác đó.
 B
 Lời giải:
 Kẻ BH  AC và ABC là tam giác A
 C
 cân nên H
 180
 µA Cµ 30 .120 O
 2
 Và H là trung điểm của AC 
 Theo tính chất đường kính và dây 
 Hình 8
 của đường tròn thì AH 3cm 
 Ta lại có AOB là tam giác cân có ·ABO 60 nên AOB là tam giác đều
 AB. 3 2AH
 AH AB 2 3 cm 
 2 3
 Mà AOB là tam giác đều nên OB AB 2 3 cm . 
 Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là : C 2 R 4 3 cm 
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O;R có Cµ 45. 
 a) Tính diện tích hình quạt tròn AOB (ứng với cung nhỏ AB )
 b) Tính diện tích hình viên phân AmB (ứng với cung nhỏ AB ).
 Lời giải:
 B
 m
 O
 450
 A C
 Hình 9 Ta có :
 Cµ 45 ·AOB 90 
 a) Diện tích hình quạt tròn AOB là:
 R2.90 R2
 S . 
 360 4
 b) Diện tích tam giác vuông AOB là:
 1 R2
 SAOB OA.OB . 
 2 2
 Diện tích hình viên phân AmB là:
 R2 R2 R2
 S 2 . 
 4 2 4
Bài 3: Cho tam giác AHB có Hµ 90, µA 30 và BH 4cm. Tia phân giác của góc B cắt 
 AH tại O. Vẽ đường tròn O;OH và đường tròn O;OA 
 a. Chứng minh đường tròn O;OH tiếp xúc với cạnh AB. 
 b. Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên.
 Lời giải:
 B
 a) Hạ OK  AB ta có :
 Vì O nằm trên tia phân giác của góc ·ABH nên K
 suy ra OK OH 
 A C
 đường tròn O;OH tiếp xúc với cạnh AB. O H
 b) Tia đối của tia HA cắt đường tròn lớn tại C. 
 Nối B với C . Ta có 
 Vì BO là tia phân giác của góc ·ABH nên 
 Hình 10
 ·ABO 30 AOB cân OA OB.