Phiếu bài tập số 1 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 2: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (Có đáp án)

 Tiết 2: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác
Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông.
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. 
 a) Cho biết BH 1cm, CH 4cm. Tính AH, AB và AC. 
 b) Cho AH 5cm, BH 4cm. Tính AB, AC và HC 
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết BH 9cm, CH 16cm. 
a) Tính độ dài các cạnh AB, AC; 
b) Tính chiều cao AH. 
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, đuờng cao AH. Biết AB 4cm, AC 7,5cm, tính HB, HC 
 ? 
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết AH 6cm, BH 4,5cm, tính AB, 
 AC, BC, HC; 
Biết AB 6cm, BH 3cm, tính AH, AC, CH. 
Bài 5:Cho tam gíac vuông ABC vuông A, đường cao AH. Tính diện tích tam
 giác ABC, biết AH 12cm, BH 9cm. 
Bài 6: Cho tam giác ABC, biết BC 7,5cm, CA 4,5cm, AB 6cm. 
 a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Tính đường cao AH của tam giác ABC; 
 b) Tính độ dài các đoạn BH, CH. 
Bài 7: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông là 7 và 24. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. 
Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền.
 5
Bài 8: Cho một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là . Cạnh huyền
 12
là 26cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Bài 9. Cho hình thang ABCD AB PCD , hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết AC 16 cm; 
 BD 12 cm. Tính chiều cao của hình thang.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Biết BH 63cm; 
 CH 112 cm. Tính HD. 
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Bài 11: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AH là đường cao.
 a) Chứng minh: AB2 CH 2 AC 2 BH 2
 b) Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC chứng minh rằng:
 BC 2
 + AB2 AC 2 2AM 2
 2
 + AC 2 AB2 2BC.HM
Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của B, D trên 
đường chéo AC. Gọi M và N lần lượt là các hình chiếu của C trên đường thẳng AB, AD. Chứng 
minh: a) AK IC. 
 b)Tứ giác BIDK là hình bình hành.
 c) AC 2 AD.AN AB.AM
 Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE và HF lần lượt vuông góc với 
 AB và AC. Chứng minh rằng:
 2
 EB AB 2
 a) b) BC.BE.CF AH
 FC AC 
 Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại A có AH và BK là hai đường cao. Kẻ đường thẳng vuông góc 
 với BC tại B cắt CA tại D. Chứng minh:
 a) BD 2AH
 1 1 1
 b) 
 BK 2 BC 2 4AH 2
 Hướng dẫn: 
 Bài 1: Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông ABC, AH là 
 đường cao ta được:
 AH 2 BH.CH
 AH 2 1.4
 AH 2
 Vậy AH 2cm 
 Ta có BC BH HC 4cm 1cm 5cm 
 Áp dụng hệ thức 
 AB2 BH.BC
 AB2 1.5
 AB 5cm
 Tương tự ta tính được AC 2 2 cm 
 Bài 2: Ta có BC BH HC 9 16 25 cm . 
 Tam giác ABC vuông ở A, AH  BC ( giả thiết). Sử dụng hệ thức về cạnh góc vuông và hình chiếu 
 của nó trên cạnh huyền, ta có:
 AB2 BH.BC 9.25 225, suy ra AB 225 15 cm .
 AC 2 CH.CB 16.25 400, suy ra AC 400 20 cm 
 Chú ý: Sau khi tính được AB ( hoặc AC ) có thể sử dụng định lý Py-ta-go với tam giác 
 vuông ABC để tính AC ( hoặc AB ).
b)Cách 1: Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao thuộc canh 
huyền và hai cạnh hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên 
cạnh huyền, ta có:
 AH 2 BH.HC 9.16 144, suy ra 
 AH 144 12 cm Cách 2: Trong tam giác vuông ABH, theo định lý Py-ta- A
go, ta có:
 AH 2 AB2 – BH 2 152 92 225 81 144 
Suy ra AH 144 12 cm 
 9 16
 C
Cách 3: Theo hệ thức liên hệ giữa hai cạnh góc vuông và B H
đường cao ứng với cạnh huyền, ta có: 
 AH. BC AB. AC 
 AB.AC 15.20
Suy ra AH 12cm Hình 
 BC 25
 Bài 3.
Tam giác ABC vuông ở A, ta có: BC 2 AB2 AC 2 42 7,52 72,25 
Suy ra BC 72,25 8,5cm A
 A
 AH là đường cao thuộc cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, nên: 6
 A
 A
 6 7,5
 AB2 BH.BC, Suy ra 4 6 6
 21
 AB2 42 15
 BH 1 cm 34
 BC 8,5 17
 AC 2 7,52 21
CH 6 cm. B H C
 BC 8,5 34 6
 Hình6 2 6
Bài 4. 21 21 21
 a) Tam giác AHB vuông ở H, ta có: 34 34 34
 A
 AB2 AH 2 HB2 62 4,52 56,25 
 AB 56,25 7,5cm 
 Tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao thuộc cạnh 
 huyền BC, nên: C
 B
 AB BH.BC H
 AB2 7,52 Hình 
 Suy ra BC 12,5cm
 BH 4,5
 Áp dụng định lý Py- ta – go với tam giác vuông ABC, ta 
 có:
 AC 2 BC 2 AB2 12,52 7,52 100, 
 Do đó BC 10 cm 
 CH BC – BH 12,5 4 8,5 cm 
 b)Tam giác AHB vuông ở H, ta có:
 AH 2 AB2 – BH 2 62 – 32 27 , suy ra AH 3 3 cm . 
 AH là đường cao thuộc cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, nên: HA2 27
 AH HB. HC , do đó HC 3cm
 BH 9
 BC BH HC 12.9 108, suy ra AC 108 6 3 cm 
Bài 5.
 Tam giác AHB vuông ở H, ta có:
 2 2 2 2 2
 AB AH HB 12 9 225 A
 AB 225 15 cm 
 Tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao 
 thuộc cạnh huyền BC, 
 nên AB2 BC.BH, suy ra: C
 B H
 AB2 225 
 BC 25cm
 BH 9 Hình .
 1 1 2
 SABC BC.AH .25.20 150 cm 
 2 2
Bài 6.
 a) Ta có: 
 2 2
 BC 7.5 56,25 A
 AB2 AC 2 62 4,52 56,25 
 BC 2 AB2 AC 2 
 Vậy ABC vuông ở A. 
 Tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao 
 C
 thuộc cạnh BC nên: B H
 AH.BC AB. AC, 
 AB.AC
 Do đó AH 3,6 cm 
 BC
b) Tam giác ABC vuông tại A, AH  BC, ta có:
 AB2 BH. BC và AC 2 CH.CB suy ra
 AB2 62 24
 BH cm
 BC 7,5 5
 AC 2 4,52
 CH 2,7cm. 
 BC 7,5
Bài 7. Giả sử ABC vuông ở A, có AB = 7 và AC = 24.
 Khi đó theo định lý Py – ta –go ta có: 
 BC BC AB2 AC 2 72 242 25cm
 Kẻ AH  BC, ta có:
 A
 AH.BC AB.AC, suy ra
 AB.AC 7.24 168
 AH cm
 BC 25 25 7 24
 AB2 72
 BH 1.96cm 
 BC 25
 C
 AC 2 242 B H
 CH 23,04cm 
 BC 25
Bài 8. 
 Giả sử tam giác ABC vuông ở A có:
 AB 5
 và BC 26 cm 
 AC 12
 AB 5 AB AC
 Vì nên k(k 0)
 AC 12 5 12
 Suy ra AB 5k, AC 12k 
 A
 Tam giác ABC vuông ở A, ta có:
 AB2 AC 2 BC 2 hay 5k 2 12k 2 262 
 Suy ra 169k 2 676, do đó k 2 4, suy ra k 2 
 Vậy AB 5.2 10 cm , AC 12.2 24 cm 
 Tam giác ABC vuông ở A, AH  BC, B C
 nên: H
 AB2 BH.BC và AC 2 CH.BC, suy ra
 AB2 102 50
 BH cm
 BC 26 13
 AC 2 242 288
 CH cm 
 BC 26 13
 Bài 9: 
 Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC tại 
 E. Ta có tứ giác ABEC là hình bình hình hành
Nên AC BE 16cm. Vì AC vuông góc với BD, AC PBE nên BD vuông góc với BE do đó tam giác BDE là tam giác 
vuông tại B. Áp dụng định lý pi – ta - go cho tam giác BDE vuông tại B ta được:
 DE 2 BD2 BE 2 122 162 400
 DE 20cm 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:
 BH.DE BD.BE
 BD.BE 12.16 48
 BH cm 
 DE 20 5
Bài 10.
Tam giác ABC vuông tại có AH là đường cao, khi đó 
 A ,
 AB2 BH.BC
 AC 2 CH.BC 
 AB2 BH 63 9
 AC 2 CH 112 16
Vì AD là tia phân giác của góc BAC . Nên theo tính chất tia phân giác của một góc, ta có:
 2 2
 AB BD AB BD 
 AC BC AC BC 
 BD 3 BD CD BD CD 175
Vậy 25
 DC 4 3 4 3 4 7
 BD 3.25 75cm 
 CD 4.25 100cm 
Do đó HD 12cm 
Bài 11.
 a) Tam giác ABH vuông tại H nên AB2 AH 2 HB2 (định lí pi – ta - go)
Tam giác AHC vuông tại C nên AC 2 AH 2 HC 2
Ta có AC 2 BH 2 AH 2 HC 2 BH 2 AB2 CH 2
 b) Tam giác ABC vuông tại A trung tuyến AM nên BC 2AM VT AB2 AC 2 BC 2
 2 2 2
 BC 2 BC BC 2
 VP 2AM 2. BC 
 2 2 2 
 VT VP nên ta có điều phải chứng minh.
 Sử dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác AHM ta có điều phải chứng minh.
Bài 12. a) Tam giác ADK bằng tam giác CBI nên AK IC và DK BI Tứ giác BIDK là hình bình 
 hành vì DK//BI(cùng vuông góc với AC) và DK=BI.
 b)
 AB AI
 ABI : ACM AB.AM AC.AI
 AC AM
Bài 13. 
 a) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu lên cạnh huyền và cạnh huyền trong tam 
 giác vuông HBA và HCA. 
 b) Tương tự a) áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền 
 trong tam giác ABC. 
Bài 14
a) Chứng minh AH là đường trung bình của tam giác BCD. 
b) Sử dụng hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông trong tam giác vuông BCD và áp dụng 
câu a).