Phiếu bài tập số 10 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 30: Vị trí tương đối của hai đường tròn - Dương Bảo Yến (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 10 - HÌNH HỌC 9 – TIẾT 30: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1. Cho đường tròn O bán kính OA và đường tròn đường kínhOA .
 a) Hãy xác định vị trí của hai đường tròn O và đường tròn đường kính OA .
 b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C . Chứng minh AC CD . 
Bài 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau đây
 a) R 6cm; R’ 4cm 
 b) R 5cm; R’ 3cm 
Dạng 2: Các bài toán với hai đường tròn tiếp xúc nhau
Bài 3. Cho O tiếp xúc ngoài với O’ tại A . Qua A kẻ một cát tuyến bất kì cắt O ) tại C và O’ 
tại D . Chứng minh OC//O’D .
Bài 4. Cho O tiếp xúc trong với O’ tại A . Qua A kẻ một cát tuyến bất kì cắt O tại B và O’ tại 
 C . Chứng minh rằng OB//O’C .
Bài 5. Cho O1,9cm tiếp xúc với (O2,4cm ) tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC(B O1 ; C O2 ) . 
Chứng minh rằng:
 a) O1O2 tiếp xúc với đường trong đường kính BC .
 b) BC tiếp xúc với đường tròn đường kính O1O2 .
 c) Tính độ dài BC .
Bài 6. Cho hai đường tròn O; R và O; R’ tiếp xúc ngoài, tiếp tuyến chung ngoài AB ( A thuộc 
 O , B thuộc O’ ). Đường tròn I;r tiếp xúc với AB và hai đường tròn O và O’ . 
 1 1 1
Chứng minh rằng AB 2 R.R ' , từ đó suy ra .
 r R R '
Dạng 3: Các bài toán với hai đường tròn cắt nhau
Bài 7. Cho đường tròn O; R và đường thẳng d không giao nhau. Gọi M là một điểm tùy ý trên d . 
Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn O tại A và B . Chứng minh rằng đường thẳng AB 
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 8. Cho O1 cắt O2 tại A và B . Kẻ các đường kính AC của O1 và AD của O2 . Chứng 
minh rằng:
 a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
 b) CD 2.O1O2 . Bài 9. Cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại A và B . Gọi I là trung điểm của O1O2 . Qua 
 A vẽ đường thẳng vuông góc với IA , cắt O1 tại C và O2 tại D (khác A ). Chứng minh rằng 
 CA AD .
Bài 10. Cho hai đường tròn O và O’ cắt nhau tại A và B . Qua A kẻ cát tuyến CAD và EAF (
 C, D thuộc O ) sao cho AB là phân giác của C· AF . Chứng minh CD EF .
 ĐÁP ÁN
Bài 1. 
 D
a) Gọi O’ là tâm đường tròn đường kính OA thì đoạn nối tâm 
 C
 OO’ OA – OA’, tức là d R R ' .
 O
Vậy đường tròn O’ tiếp xúc trong với O . A O'
b) Vì tam giác ACO có cạnh AO là đường kính của O’ ngoại tiếp 
nên nó vuông tại C hay OC vuông góc với dây AD . 
Vậy AC CD .
Bài 2.
a) Vì R – R’ 6 – 4 2cm d nên hai đường tròn tiếp xúc trong.
b) Vì R – R’ 5 3 8cm d do đó R – R’ d R R’. 
Vậy hai đường tròn cắt nhau.
Bài 3. C
Do O tiếp xúc ngoài với O’ nên tiếp điểm A nằm 
 µ ¶
trên OO’ hay A1 đối đỉnh với A2 (1) O 1 O'
 A 2
 ¶ µ
Lại có A2 C (2) (vì có OC OA)
 D
 ¶ µ
 A2 D (3) (vì có O’A O’D ) 
 µ µ
Từ (1),(2),(3) suy ra C D B
Vậy OC//O’D (có cặp góc so le trong bằng nhau). C
Bài 4.
 O
Do đường tròn O tiếp xúc trong với đường tròn O’ tại A O'
 A nên A nằm trên OO’ . 
Do đó µA là góc chung của hai tam giác O’AC và OAB . Cµ µA (doO'A O'C) 
Vì  Bµ Cµ
 µ µ
 B A (doOA OB)  
Vậy OB//O’C (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Bài 5. 
a) Gọi I là trung điểm của O1O2 thì I là tâm của đường tròn đường kính O1O2 nên O1I IO2
Vì O1 tiếp xúc ngoài với O2 nên O1,A, O2 thẳng hàng.
Kẻ tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tại A cắt BC tại M thì MA  O1O2 . (1)
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau tại M ta có MA MB MC .
 A nằm trên đường tròn đường kính BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra O1O2 tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
b) Vì I, M lần lượt là trung điểm của O1O2 , BC nên IM là đường trung bình của hình thang 
vuông O1BCO2
 IM / / O1B / /O2C
Do đó IM  BC (3)
 B M
 O B O C O O
Lại có IM 1 2 1 2 (4) 
 2 2 C
Từ (3) và (4) suy ra BC tiếp xúc với đường trong 
đường kính O1O2 .
 O1 I A O2
c) Theo câu b tam giác MO1O2 có O1O2 là đường 
kính của đường tròn ngoại tiếp nên tam giác 
 MO1O2 vuông tại M .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MO1O2 có
 2
 MA O1A.AO2
 MA2 4.9 62
 MA 6(cm)
Vậy BC 2MA 12cm . 
Bài 6. Giả sử R R’ , từ O kẻ đường thẳng song song với AB cắt OA tại A 
 ODA là tam giác vuông AB O’D , OD R – R’ 
Theo định lí Py-ta-go
 DO '2 OO '2 OD2 (R R ')2 (R R ')2 4.RR '
 DO ' 2 RR ' AB 2 RR '
Theo giả thiết đường tròn I;r tiếp xúc với AB và hai 
đường trong O và O’ , gọi C là tiếp điểm của đường tròn 
 I;r với AB , từ chứng minh trên suy ra O O'
 D
 AC 2 Rr và CB 2 rR ' I
 B
 C
Do đó AB AC CB A
 R.R ' Rr rR '
 1 1 1
 r R R '
Bài 7. Vẽ OH  d . Đoạn thẳng OH cố định.
Gọi các giao điểm của AB với OH và OM lần lượt là N và K .
Ta có AB  OM (tính chất dây chung);O· AM 90O (vì điểm A nằm trên đường tròn đường kính 
OM).
 OKN ∽ OKN(gg)
 OK ON
Suy ra OK.OM ON.OH (1)
 OH OM
Mặt khác OK.OM OA2 R2 (2)
 A
Từ (1) và (2) suy ra ON.OH R2 
 R2
 ON (không đổi) O1 O2
 OH
 I
Suy ra N là một điểm cố định.
Vậy AB luôn đi qua một điểm cố định là điểm N . C
 B D
Bài 8. 
a) Vẽ dây chung cắt đoạn nối tâm O1O2 tại I thì O1O2 là trung trực của đoạn AB nên AI IB .
Lại có AO1 O1C (vì bán kính của (O1)) Nên O1I là đường trung bình của tam giác ACB .
Suy ra CB / / O1I do đó CB // O1O2 (1)
Lại có AO2 O2D (vì bán kính của (O2 ))
Nên O1O2 là đường trung bình của tam giác ACD
Suy ra CD //O1O2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra CB nằm trên CD hay C, B, D là ba điểm thẳng hàng (vì C ở ngoài O1O2 chỉ 
kẻ được một đường thẳng song song với O1O2 )
b) Theo tính chất của đường trung bình thì CD 2 O1O2 .
Bài 9.
Kẻ O1H  CD,O2K  CD thì O1H // IA //O2K
 C
 O1H vuông góc với dây CA của (O1) nên 
 H
 CA
 CH HA A
 2
 D
Lại có O1I IO2 (GT) D
 O1 O2
Từ (1) và (2) suy ra O1H, IA,O2K là ba đường thẳng I
song song cách đều nên AH AK hay CA AD .
Bài 10.
Từ O kẻ các đường thẳng OH
  CA,OI  EA,OQ / /CD
Từ O’ kẻ O ' J  AF,O ' K  AD,O ' P / / EF
 AB  OO ' I·OO ' B· AF và K· OO ' B· AC D
 E A
Theo giả thiết B· AC B· AF nên I·OO ' K· O 'O
 POO ' và QO 'O là tam giác vuông có 
 C F
 O'
 I·OO ' K· O 'O
 O
 OO’ chung
 POO ' = (ch-gn)
 QO 'O B
 O’P OQ (hai cạnh tương ứng)
Có OH  AC,O ' K  AD CD 2HK và OHKQ là hình chữ nhật
 OQ HK .
Tương tự EF 2IJ và PO’ IJ .
Mà O’P OQ (cmt) CD EF .