Phiếu bài tập số 2 môn Đại số Lớp 9 - Tuần 7, Tiết 49: Đồ thị hàm số y = ax² (a # 0) (Có đáp án)

 ĐẠI SỐ 9 – TIẾT 49
 ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = AX2 ( A 0 ) (TRÊN CƠ BẢN)
Bài 1: Cho hàm số y f x ax2
a) Hãy xác định hàm số biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A 2;4 .
b) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho .
c) Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16.
d) Tìm m sao cho B m;m3 thuộc Parabol.
e) Tìm các điểm trên Parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.
Bài 2: 
 1
a) Vẽ đồ thị hàm số y x. x 
 3
b) Vẽ đồ thị hàm số y 2x. x 
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y x 6 và parabol P : y x2 .
a) Tìm tọa độ các giao điểm của d và P .
b) Gọi A, B là hai giao điểm của d và P . Tính diện tích tam giác OAB . 
Bài 4:
a) Xác định điểm M thuộc đường Parabol P : y x2 sao cho độ dài đoạn IM là nhỏ nhất, 
 trong đó I 0;1 .
b) Giả sử điểm A chạy trên Parabol P : y x2 . Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn OA .
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A và B chạy trên parabol P : y x2 sao 
cho A, B O 0;0 và OA  OB . Giả sử I là trung điểm của đoạn AB . 
a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB .
b) Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định.
c) Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P : y x2 , trên P lấy hai điểm 
 A 1;1 , B 3;9 .
a) Tính diện tích tam giác OAB .
b) Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của P sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. Bài 7: Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình 
Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân 
cổng là 2 5 m (Bỏ qua độ dày của cổng).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi Parabol P : y ax2 với a 0 là hình biểu diễn cổng mà 
 xe tải muốn đi qua. Chứng minh a 1.
b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao? ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Bài 1: Cho hàm số y f x ax2
a) Hãy xác định hàm số biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A 2;4 .
b) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho .
c) Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16.
d) Tìm m sao cho B m;m3 thuộc Parabol.
e) Tìm các điểmy trên Parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.
Lời giải:
 9
a) Ta có A P 4 a.22 a 1
 y=x2
b) Đồ thị Parabol có đỉnh là gốc tọa độ 
 O 0;0 quay bề lồi xuống dưới, có trục 
đối xứng là Oy đi qua các điểm 
 M 1;1 , N 1;1 , E 3;9 , F 3;9 
 1
c) Gọi C là điểm thuộc P có tung độ bằng 16. 
 -3 -1 O 1 3 x
 2
Ta có: yC 16 x C 16 xC 4 . Vậy C 4;16 hoặc C 4;16 .
d) Thay tọa độ điểm B vào P ta được: m3 m2 m3 m2 0 m2 m 1 0 m 0 
hoặc m 1.
e) Gọi D là điểm thuộc P cách đều hai trục tọa độ. Ta có: 
 2 2
 d D,Ox yD xD ;d D,Oy xD . Theo giả thiết ta có: xD xD xD 0 (loại) hoặc 
 xD 1. Vậy D 1;1 hoặc D 1;1 .
Bài 2: 
 1
a) Vẽ đồ thị hàm số y x. x 
 3
b) Vẽ đồ thị hàm số y 2x. x 
Lời giải: 1
 a) Với x 0 ⇒ y x2 
 3
 1
 Với x 0 ⇒ y x2
 3
 b) Với x 0 ⇒ y 2x2 
 Với x 0 ⇒ y 2x2
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y x 6 và parabol P : y x2 .
a) Tìm tọa độ các giao điểm của d và P .
b) Gọi A, B là hai giao điểm của d và P . Tính diện tích tam giác OAB . 
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x2 x 6 x2 x 6 0
 x 2  x 3.Ta có y 2 4; y 3 9 .
Vậy tọa độ giao điểm của P và d là B 2;4 và A 3;9 .
b) Gọi A', B ' lần lượt là hình chiếu của A, B xuống trục hoành.
Ta có S OAB SAA'B'B S OAA' S OBB'
Ta có A' B ' xB' xA' xB' xA' 5; AA' yA 9; BB ' yB 4 AA' BB ' 9 4 65 1 27
 S .A' B ' .5 (đvdt), S A' A.A'O (đvdt) 
 AA'BB' 2 2 2 OAA' 2 2
 65 27 
 S OAB SAA'B'B S OAA' S OBB' 4 15 (đvdt). 
 2 2 
Bài 4:
a) Xác định điểm M thuộc đường Parabol P : y x2 sao cho độ dài đoạn IM là nhỏ nhất, 
trong đó I 0;1 .
b) Giả sử điểm A chạy trên Parabol P : y x2 . Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn OA .
Lời giải
a) Giả sử điểm M thuộc đường Parabol P : y x2 suy ra M m;m2 . Khi đó 
 2
 2
 2 2 2 4 2 2 1 3 3
 IM m m 1 m m 1. Vậy IM m . Ta thấy IM nhỏ nhất bằng 
 2 4 2
 3 2 2 1 
 khi m hay M ; .
 2 2 2 2 
 2 2
b) Giả sử điểm A a;a thuộc P : y x . Gọi I x1; y1 là trung điểm đoạn OA .Suy ra 
 a
 x 
 1 2
 a2
 y 2x2
 1 2 1
 2
 Vậy tập hợp các trung điểm I của đoạn OA là đường Parabol P1 : y 2x .
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A và B chạy trên parabol P : y x2 sao 
cho A, B O 0;0 và OA  OB . Giả sử I là trung điểm của đoạn AB . 
a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB .
b) Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định.
c) Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Lời giải: a) Giả sử A a;a2 và B b;b2 là hai điểm thuộc P . Để A, B O 0;0 và OA  OB ta cần 
 2 2
điều kiện: ab 0 và OA2 OB2 AB2 hay ab 0 và a2 a4 b2 b4 a b a2 b2 . 
Rút gọn hai vế ta được: ab 1. Gọi I x1; y1 là trung điểm đoạn AB . Khi đó: 
 a b
 x1 
 2
 2
 a2 b2 a b 2ab
 y 2x2 1
 1 2 2 1
Vậy tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình y 2x2 1.
Ta cũng có thể tìm điều kiện để OA  OB theo cách sử dụng hệ số góc: Đường thẳng OA có hệ 
 a2 b2
số góc là k a , đường thẳng OB có hệ số góc là k b . Suy ra điều kiện để 
 1 a 2 b
 OA  OB là a.b 1
 x a y a2
b) Phương trình đường thẳng đi qua A và B là AB : hay 
 b a b2 a2
 AB : y a b x ab a b x 1. Từ đây ta dễ dàng suy ra đường thẳng 
 AB : y a b x 1 luôn luôn đi qua điểm cố định 0;1 .
 2 2
c) Vì OA  OB nên ab 1. Độ dài đoạn AB a b a2 b2 hay
 AB a2 b2 2ab a4 b4 2a2b2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có 
 a2 b2 2 a2b2 2 ab , a4 b4 2a 2b2 . Ta có: AB 2 ab 2 2a2b2 2a2b2 2 . Vậy AB 
ngắn nhất bằng 2 khi a2 b2 ,ab 1. Ta có thể chỉ ra cặp điểm đó là: A 1;1 và B 1;1 . 
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P : y x2 , trên P lấy hai điểm 
 A 1;1 , B 3;9 .
c) Tính diện tích tam giác OAB .
d) Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của P sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Lời giải: a) Gọi y ax b là phương trình đường thẳng AB . y
 a. 1 b 1 a 2 9 B
 Ta có K
 y=x2
 a.3 b 9 b 3
 Suy ra phương trình đường thẳng AB là d : y 2x 3. 
 Đường thẳng AB cắt trục Oy tại điểm I 0;3 . 
 Diện tích tam giác OAB là: I
 1 1 1 C(c;c2)
 SOAB SOAI SOBI AH.OI BK.OI . A H
 2 2 A' C' B'
 -3 -1 O 1 3 x
 Ta có AH 1;BK 3,OI 3 . 
 Suy ra SOAB 6 (đvdt).
b) Giả sử C c;c2 thuộc cung nhỏ P với 1 c 3 . 
Diện tích tam giác: SABC SABB' A' SACC ' A' SBCC 'B' . 
Các tứ giác ABB' A', AA'C 'C,CBB'C ' đều là hình thang vuông nên ta có: 
 2 2
 1 9 1 c 9 c 2
 S .4 . c 1 . 3 c 8 2 c 1 8 .
 ABC 2 2 2
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất bằng 8 (đvdt) khi C 1;1 .
Bài 7: Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình 
Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân 
cổng là 2 5 m( Bỏ qua độ dày của cổng).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi Parabol P : y ax2 với a 0 là hình biểu diễn cổng mà 
 xe tải muốn đi qua. Chứng minh a 1.
b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?
Lời giải: 
a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng 
cách giữa hai chân cổng là 4 m nên MA NA 2m . Theo giả thiết ta có OM ON 2 5 , áp 
dụng định lý Pitago ta tính được: OA 4 vậy M 2; 4 , N 2; 4 . Do M 2; 4 thuộc parabol 
nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình: P : y ax2 hay 4 a.22 a 1 và 
 2
 P : y x . y
b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.
 -2 O 2
 x
 T B H
 M
 N -4 A
 y=-x2 3
Xét đường thẳng d : y 
 2
(ứng với chiều cao của xe). Đường 
thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm 
 y x2
có tọa độ thỏa mãn hệ: 3 
 y 
 2
 2 3 3 2 3
 x x ; y 
 2 2 2
 3 3 2 3
 y x ; y 
 2 2 2
 3 2 3 3 2 3 
suy ra tọa độ hai giao điểm là T ; ;H ; HT 3 2 2,4 .
 2 2 2 2 
 Vậy xe tải có thể đi qua cổng.