Phiếu bài tập số 4 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 49: Luyện tập Tứ giác nội tiếp (Trên Cơ bản) - Nguyễn Văn Thảo (Có đáp án)

 HỌC KÌ II – HÌNH HỌC - TUẦN 7 – TIẾT49 – LUYỆN TẬP TỨ GIÁC NỘI TIẾP 
 (Trên cơ bản) 
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn đgl tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Định lí
 + Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 .
 + Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường 
 tròn.
3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
 + Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.
 + Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
 + Tứ giác ABCD có hai đỉnh C và D sao cho ·ACB ·ADB thì tứ giác ABCD nội tiếp được.
 + Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Chú ý: + Trong các tứ giác đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường 
 tròn.
 + Tr­êng hîp ph¶i chøng minh 5 ®iÓm trë lªn cïng n»m trªn mét ®­êng trßn, ta chän 3 ®iÓm 
 nµo ®ã cè ®Þnh, chän ®iÓm thø 4 råi chøng minh cho 4 ®iÓm nµy n»m trªn mét ®­êng trßn. Sau 
 ®ã l¹i chøng minh 3 ®iÓm cè ®Þnh trªn cïng víi ®iÓm thø n¨m n»m trªn mét ®­êng trßn vµ cø 
 tiÕp tôc nh­ thÕ cho ®Õn ®iÓm cuèi cïng. 
B. BÀI TẬP 
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC , AK là đường cao. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AC 
tại D, H là giao điểm của đường thẳng BD và đường thẳng AK . Kẻ tiếp tuyến AM của đường tròn 
 O với M là tiếp điểm.
a/ Chứng minh tứ giác DCKH là tứ giác nội tiếp.
b/ Chứng minh rằng AD.AC=AH.AK=AM2 .
c/ Giả sử tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng đi qua M và vuông góc 
với đường thẳng AO. Chứng minh rằng BC= 2AM .
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại 
D, cắt đường tròn O tại M và cắt tiếp tuyến của O kẻ từ B tại E. Gọi F là giao điểm của BM 
và AC. Chứng minh: 1) MC 2 MA.MD. 
2) Tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
 AB + AC
3) AM > .
 2
Bài 3: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với 
đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; 
đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao 
điểm của AO và BC.
a) Chứng minh: AE.AD = AH.AO = AB2 và chứng minh: tứ giác ODEH nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh: HE vuông góc với BF.
 HC 2 DE
c) Chứng minh: 1.
 AF2 EF2 AE
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O; R . Các đường cao BD và CE của tam giác 
cắt nhau tại H .
 1) Chứng minh rằng BCDE là một tứ giác nội tiếp.
 2) Chứng minh OA  DE. 
 3) Cho điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn O; R . Chứng minh đường tròn ngoại 
tiếp tam giác AED có bán kính không đổi.
Bài 5: Cho tam giác ABC có đường phân giác BN. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại 
H. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng bốn điểm A, O, H, C nằm trên 
một đường tròn.
 C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của 
H qua trung điểm M của BC. 
a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
b) Đường thẳng DH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là I. Chứng minh rằng năm điểm 
A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều BCD, ACE và ABF. Chứng 
minh rằng:
 a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác đều nói trên cùng đi qua một điểm.
 b) Ba đường thẳng AD, BE, CF cùng đi qua một điểm.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Vẽ 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và BC lần lượt tại
M và N . Chứng minh rằng:
 a) MN / /CD. b) Tứ giác ABNM nội tiếp. HƯỚNG DẪN GIẢI :
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC , AK là đường cao. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AC 
tại D, H là giao điểm của đường thẳng BD và đường thẳng AK . Kẻ tiếp tuyến AM của đường tròn 
 O với M là tiếp điểm.
a/ Chứng minh tứ giác DCKH là tứ giác nội tiếp.
b/ Chứng minh rằng AD.AC=AH.AK=AM2 .
c/ Giả sử tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng đi qua M và vuông góc 
với đường thẳng AO. Chứng minh rằng BC= 2AM .
 A
 D
 M
 I
Hướng dẫn: H J
a/ AK là đường cao của ABC nên A· KC 90o .
 B C
 K O
Trong hình tròn O , B· DC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên B· DC 90o .
Suy ra H· KC H· DC A· KC B· DC 180o
Vậy tứ giác DCKH là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng các góc đối bằng 180o).
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại 
D, cắt đường tròn O tại M và cắt tiếp tuyến của O kẻ từ B tại E. Gọi F là giao điểm của BM 
và AC. Chứng minh:
 1) MC 2 MA.MD. 
 2) Tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
 AB + AC
 3) AM > .
 2 A
 I
 O
 C
 D
 F
 B M
 N
 E
 Hướng dẫn:
 2) . Xét đường tròn (O)
 Có B· AM E· BM ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn B¼M )
 Mà B· AM M· AC (cmt) E· BM M· AC hay E· BF E· AF 
 Tứ giác ABEF có : E· BF E· AF hai đỉnh A, B cùng nhìn cạnh EF dưới hai góc bằng 
 nhau nên tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.
Bài 3: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với 
đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; 
đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao 
điểm của AO và BC.
 a) Chứng minh: AE.AD = AH.AO = AB2 và chứng minh: tứ giác ODEH nội tiếp đường 
tròn.
 b) Chứng minh: HE vuông góc với BF.
 HC 2 DE
 c) Chứng minh: 1
 AF2 EF2 AE D B
 E
 O A
 H F
 C Hướng dẫn: 
a) Chứng minh: AE.AD AH.AO và chứng minh: tứ giác ODEH nội tiếp đường tròn.
Chỉ ra được AE.AD AB2 
Chỉ ra được AH.AO AB2 
 AE.AD AH.AO AB2
Chứng minh được AHE đồng dạng ADO
 E· HA ·ADO
Kết luận được tứ giác ODEH nội tiếp đường tròn
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O; R . Các đường cao BD và CE của tam giác 
cắt nhau tại H .
 1) Chứng minh rằng BCDE là một tứ giác nội tiếp.
 2) Chứng minh OA  DE. 
 3) Cho điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn O; R . Chứng minh đường tròn 
ngoại tiếp tam giác AED có bán kính không đổi.
 A
 D
 E O
 H
 B K C
 M
Hướng dẫn: 
1) Xét tứ giác BCDE ta có 
B· DC = 900 (vì BD  AC) 
B· EC = 900 (vì CE  AB) 
 hai đỉnh D và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông Vậy BCDE là một tứ giác nội tiếp.
2) Ta có MC  AC ( A· CM= 900), BD  AC (giả thiết) 
 MC / /BD hay MC / /BH 
Tương tự ta có MB / /CH tứ giác BHCM là hình bình hành. 
Gọi K là trung điểm của BC , ta có K là trung điểm của HM 
 OK là đường trung bình của AHM AH 2OK (không đổi).
Xét tứ giác AEHD ta có A· DH + A· EH = 1800 tứ giác AEHD nội tiếp.
Ta có AH là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD nên AH cũng 
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED. Vì AH không đổi nên 
đường tròn ngoại tiếp tam giác AED có bán kính không đổi.
Bài 5: Cho tam giác ABC có đường phân giác BN. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại 
H. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng bốn điểm A, O, H, C nằm trên 
một đường tròn.
 Hướng dẫn
 A
 A
 N K
 M K I I
 M
 O N
 O
 B
 C ' B C H
 H' H H
 H2a H2b
Ta phân biệt hai trường hợp 
 - H và O nằm cùng phía với AC ( H2a )
 - H và O nằm khác phía với AC ( H2b )
 • Cách 1
 AH cắt BN ở I. Kẻ AH ' vuông góc với đường phân giác CM và cắt CM ở K. Dể thấy IK là đường 
 trung bình của tam giác AHH ' . Từ đó, ta có I·KO bằng ( hoặc bù ) O· CH . Tứ giác AKOI nội tiếp 
 ( Kˆ Iˆ 900 ) nên I·KO = O· AI . Từ đó suy ra ĐPCM.
 • Cách 2
 Nối OA và OH. Dễ thấy BN là đường trung trực của tam giác ABH 
 B· HO B· AO , nhưng B· AO O· AC . Do đó B· HO O· AC , ta suy ra ĐPCM.
 • Cách 3
 Tam giác ABI vuông nên I·BA B· AI 900 hayI·BA B· AO O· AI 900 Bˆ Aˆ Cˆ
 Suy ra O· AI 900 hayO· AI nên O· AI bằng (hoặc) O· CH
 2 2 2
 Suy ra ĐPCM
 • Cách 4
 Bˆ Bˆ
 ·AHC 900 (H 2a) hoặc ·AHC 900 
 2 2
 Bˆ
 ·AOC 900 ( vì O là tâm đường tròn nội tiếp ) 
 2
 Do đó ·AHC bằng ( hoặc ) ·AOC 
 Suy ra ĐPCM.
 D. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của 
H qua trung điểm M của BC. 
 a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn 
 đó.
 b) Đường thẳng DH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là I. Chứng minh rằng năm điểm 
 A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
 HD: a) BHCD là hình bình hành ·ACD ·ABD 900 . O là trung điểm của AD.
 b) ·AIH ·AFH ·AEH 900 .
Bài 2: Cho tam giác ABC. Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều BCD, ACE và ABF. Chứng 
minh rằng:
 a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác đều nói trên cùng đi qua một điểm.
 b) Ba đường thẳng AD, BE, CF cùng đi qua một điểm.
 HD: a) Gọi O là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (ABF) và (ACE) 
 ·AOB ·AOC ·BOC 1200 BODC nội tiếp đường tròn (BCD) cũng đi qua O.
 b) ·AOB ·BOD 1800 A, O, D thẳng hàng. Tương tự B, O, E thẳng hàng; C, O, F thẳng hàng 
 Ba đường thẳng AD, BE, CF đồng qui.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Vẽ 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và BC lần lượt tại
M và N . Chứng minh rằng:
 a) MN / /CD. b) Tứ giác ABNM nội tiếp. HD: a) ·BIN ·BDC MN // CD b) ·BAM ·BNM 1800 .