Phiếu bài tập số 5 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 21: Luyện tập đường kính và dây của đường tròn (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 5 - HÌNH HỌC 9 – TIẾT 21:
 LUYỆN TẬP ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1. Cho đường tròn tâm O , hai dây AB và CD vuông góc với nhau ở M. Biết 
 AB 18cm, CD 14 cm, MC 4cm. Hãy tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây AB 
và CD.
Bài 2. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA 3cm. Dây BC của đường tròn vuông 
góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC. 
Bài 3. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA 11 cm. Điểm M thuộc bán kính OA và 
cách O khoảng 7 cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng 
 MC và MD.
Bài 4. Cho AB là dây của đường tròn O;R và ·AOB 120o. Tính độ dài AB theo R. 
Bài 5. Cho đường tròn O;R và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại 
 I. Giả sử IA 2 cm, IB 4 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây và bán kính 
đường tròn O . 
Bài 6. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB, dây CD cắt AB tại M . Biết 
 MC 4cm, MD 12 cm, B· MD 30o. Hãy tính:
a) Khoảng cách từ O đến CD .
b) Bán kính của đường tròn tâm O .
Bài 7. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB 13 cm. Dây CD có độ dài 12 cm vuông 
góc với AB tại H. 
a) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB. 
b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CMHN. 
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB và một dây CD . Kẻ AE và BF vuông 
góc với CD lần lượt tại E; F. Chứng minh CE DF. 
Bài 2. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB. Kẻ hai dây AC, BD song song. Chứng 
minh AC BD.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O , đường kính AD 2R. Gọi I là trung điểm của OD. Qua 
 I kẻ dây BC  AD. a) Chứng minh ABC là tam giác đều.
b) Tính độ dài các cạnh của ABC theo R. 
Bài 4. Cho đường tròn tâm O , dây AB 24 cm, dây AC 20 cm( B· AC 90o và điểm O 
nằm trong B· AC ). Gọi M là trung điểm của AC . Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm. 
a) Chứng minh ABC cân tại C.
b) Tính bán kính của đường tròn tâm O .
Bài 5. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi 
 H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD . Chứng minh rằng 
CH DK. 
Dạng 3: Bài tập tổng hợp
Bài 1. Cho ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn O đường kính AD. 
a) Chứng minh BHCD là hình bình hành.
b) Kẻ đường kính OI vuông góc với BC tại I . Chứng minh I, H, D thẳng hàng.
c) Chứng minh AH 2OI. 
Bài 2. Cho ABC (AB AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H . Lấy 
 I là trung điểm của BC. 
a) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I . Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
b) Xác định tâm O của đường tròn qua các điểm A, B, K, C. 
c) Chứng minh OI / /AH. 
d) Chứng minh BE.BA CD.CA BC2. 
Bài 3. Cho điểm A nằm trên đường tròn tâm O, đường kính BC (AB AC). Vẽ dây 
 AD  BC tại H . Chứng minh :
a) Tam giác ABC vuông tại A. 
b) H là trung điểm AD, AC CD và BC là tia phân giác của A· BD. 
c) A· BC A· DC. 
Bài 4. Cho đường tròn tâm O , đường kính AD 2R. Vẽ cung tròn tâm D bán kính R , 
cung này cắt đường tròn O ở B và C. 
a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo các góc C· BD, C· BO, O· BA. 
c) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. Bài 5. Cho đường tròn O đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại điểm M thuộc 
bán kính OA . Gọi I là một điểm thuộc bán kính OB( I O, I B). Các tia CI, DI
theo thứ tự cắt đường tròn O ở E, F. 
a) Chứng minh ICD là tam giác cân.
b) Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ O đến CE, DF. So sánh các 
độ dài OH và OK. 
c) Chứng minh rằng IEF là tam giác cân. 
d) Tứ giác CFDE là hình gì? Vì sao? ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1.
 A
 D H M C
 O K
 B
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O trên CD, AB. 
 CD AB
Ta chứng minh được HC HD 7(cm); KA KB 9(cm).
 2 2
 HM HC MC 7 4 3(cm). 
Chứng minh được tứ giác OHMK là hình chữ nhật OK HM 3 cm . 
 OKB vuông tại K OB2 OK2 KB2 32 92 90. (định lý Pitago)
 OB 3 10(cm) OC 3 10(cm). 
 OHC vuông tại H OC2 OH2 HC2 OH2 OC2 HC2 90 49 41.
 OH 41(cm). 
Bài 2.
 B
 O A
 M
 C
Gọi M là trung điểm của OA OA  BC tại M. 
 OA
OA OB 3cm; OM MA 1,5(cm). 
 2
 BC
Ta chứng minh được MB MC . 
 2
 9 27
 OMB vuông tại M có: OB2 OM2 MB2 MB2 OB2 OM2 9 .
 4 4 3 3
 MB (cm). 
 2
Bài 3. 
 C
 M
 A O
 H
 D
Giả sử MC MD. Kẻ OH  CD tại H. 
 CD
Ta có HC HD 9(cm); OD 11cm. 
 2
 OHD vuông tại H OH2 OD2 HD2 112 92 40. 
 OHM vuông tại H MH2 OM2 MH2 49 40 9 MH 3cm.
Do đó: MD MH HD 3 9 12(cm). 
 MC CD MD 18 12 6(cm). 
Bài 4. 
 O
 R 60O
 A H B
Từ O kẻ OH  AB tại H . 
 AB A· OB
Ta chứng minh được HA HB , A· OH B· OH 30o.
 2 2
 3 R 3
 AH AO.sin 60o R. AB 2AH R 3. 
 2 2
Bài 5. C
 K O
 I
 A B
 H
 D
Gọi OH, OK là khoảng cách từ O đến dây AB, CD. 
Chứng minh được OH OK. 
 AB IA IB 6cm HA HB 3cm HI 1cm. 
Tứ giác OHIK là hình vuông nên OH OK 1cm. 
 OHB vuông tại H OB2 OH2 HB2 1 9 10 OB 10(cm). 
Vậy R 10 cm. 
Bài 6.
 C
 4cm O
 A M 30° B
 I
 D
Kẻ OI  CD tại I. Ta chứng minh được I là trung điểm của CD. 
CD MC MD 16cm IC ID 8cm IM 4cm.
 4 3
 OIM vuông tại I OI IM.tan30o (cm). 
 3
 16 208 4 39
 OID vuông tại I OD2 OI2 ID2 64 OD (cm). 
 3 3 3
Bài 7.
 C
 N
 M
 A B
 H O
 D a) AB  CD tại H .
 CD
Ta chứng minh được H là trung điểm của CD HC HD 6cm.
 2
 AB
OA OB OD 6,5(cm). 
 2
 169 25 5
Xét tam giác vuông OHD có: OH2 OD2 HD2 36 OH (cm). 
 4 4 2
 AH OA OH 6,5 2,5 4(cm). 
 HB 13 4 9(cm). 
b) Xét tam giác vuông AHC có: AC2 HA2 HC2 16 36 52 AC 2 13(cm).
 AH.CH 4.6 12 13
Mà AH.CH MH.AC MH (cm). 
 AC 2 13 13
 18 13
Chứng minh tương tự có HN (cm). 
 13
 216
Từ đó tính được S (cm2 ). 
 CMHN 13
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Bài 1.
 E C
 M
 D F
 A O B
Từ O kẻ OM  CD tại M. 
Ta chứng minh được AEFB là hình thang có OM là đường trung bình.
 MF ME 
Mà MD MC DF CE.
Bài 2.
 C
 H
 O
 A B
 K
 D Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AC, BD lần lượt tại H, K. 
Ta chứng minh được AOH BOK(g.c.g) AH BK AC BD. 
Bài 3.
 B
 A O I D
 C
a) Theo tính chất đường kính và dây cung thì I là trung điểm của BC . 
Tứ giác BOCD là hình thoi nên BD OB R. 
Mặt khác 
 1
 ABD có OA OB OD ABD vuông tại B có BD AD B· AD 30o. 
 2
 ABC có AI  BC và IB IC ABC cân tại A. Nên AI là đường phân giác của µA
Từ đó suy ra B· AC 2B· AI 60o. 
 ABC cân có một góc bằng 60o nên ABC đều.
 3 1 3R 2 R 3
b) Xét ABD vuông tại B có: BI2 AI.ID R. R BI . 
 2 2 4 2
Vậy BC 2BI R 3. 
Bài 4.
 A
 H
 K M
 O
 B C
a) Vẽ MH  AB tại H; CH  AB tại K MH là đường trung bình của CAK .
 1
 AM 10cm; AH 6cm AK 12cm AK AB.
 2
Từ đó chứng minh được ABC cân tại C.
b) Ta có CK 2MH 16cm. 
Đặt OC x OK 16 - x. Từ đó tính được CO 12,5cm. Bài 5.
 C
 H
 A I B
 M O
 N
 K
 D
Kẻ OM  CD, OM cắt AK tại N.
Theo tính chất đường kính vuông góc với dây, ta có: MC MD. (1)
Tam giác AKB có AO OB, ON / /BK nên MH MK. (2)
Từ (1) và (2) suy ra MC MH MD MK CH DK. 
Dạng 3: Bài tập tổng hợp
Bài 1.
 A
 H O
 B I C
 D
a) Ta có BD / /CH vì cùng vuông góc với AB. 
 BH / /CD vì cùng vuông góc với AC.
b) Ta có I là trung điểm của BC.
Nên I là trung điểm của HD.
c) Ta có OI là đường trung bình của AHD AH 2OI. 
Bài 2.
 A
 D
 E
 H O
 B C
 I
 K
a) BHCK có I là trung điểm hai đường chéo nên BHCK là hình bình hành.
b) Có ABK vuông tại B, ACK vuông tại C nên A, B, K, C nằm trên đường tròn 
đường kính AK. c) Ta có OI là đường trung bình của AHK OI / /AH.
d) Gọi AH cắt BC tại M. Ta có BE.BA BM.BC và CA.CD CM.BC. 
Ta chứng minh được BE.BA CD.CA BC2. 
Bài 3.
 A
 B C
 H O
 D
a) Vì OA OB OC ABC vuông tại A. 
b) Theo tính chất đường kính vuông góc với dây, ta có H là trung điểm của AD.
Xét ACD có CH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ACD cân tại C .
Do đó CA CD. 
Chứng minh tương tự ABD cân tại B BC là tia phân giác của A· BD .
c) A· BC C· BD mà C· DH C· BD A· BC C· DH. 
Bài 4.
 B
 O
 A D
 C
a) Tứ giác OBDC có bốn cạnh đều bằng R nên OBDC là hình thoi.
b) OBD có ba cạnh bằng nhau nên OBD đều O· BD 60o. 
 BC là đường chéo của hình thoi nên là đường phân giác của O· BD 
suy ra C· BD C· BO 30o. 
 ABD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên A· BD 90o. 
Nên O· BA 30o.
c) ABC có A· BC 60o