Phiếu bài tập số 5 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 25: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Đào Thị Ngọc Quỳnh (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 5 – HÌNH HỌC 9 – TIẾT 25 – DẤU HIỆU NHẬN BIẾT 
 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
 TỔ 3 – GV ĐÀO THỊ NGỌC QUỲNH
1. Kiến thức cơ bản
Kiến thức cần nhớ
 A
 a Định lý 1: a là tiếp tuyến của (O), A là tiếp điểm a  OA.
 O Định lý 2: a cắt (O) tại A. Nếu a  OA thì a là tiếp tuyến của (O).
 Định lý 3: AM, AN là tiếp tuyến của (O). M, N là 2 tiếp 
 M điểm. Khi đó: 
 • AM = AN
 • AO là phân giác của M· AN
 O A
 • OA là phân giác của M· ON
 N
 - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
 + Nếu đường thẳng a vuông góc với bán kính OC tại điểm C của đường tròn (O) thì a là tiếp 
 tuyến của (O)
 + Nếu đường tròn (O) có khoảng cách d từ O đến đường thẳng a thỏa mãn d = R thì a là tiếp 
 tuyến của (O)
2. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC 
là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 2: Cho đường tròn (0; 13) và dây AB = 24. Trên các tia OA và OB lần lượt lấy các điểm M và N 
sao cho OM = ON = 33,8. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B; BA) và đường tròn (C; CA) chúng cắt nhau 
tại điểm D khác A. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B)
Bài 4: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp 
tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.
 a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn
 b) Cho bán kính của đường tròn = 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC. Bài 5: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường 
tròn (D, E là tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MD và ME 
theo thứ tự ở P và Q. Biết MD = 4cm, tính chu vi tam giác MPQ
Bài 6: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, 
N là tiếp điểm)
 a) Chứng minh rằng OA  MN
 b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO
 c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA= 5cm
Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Gọi M là điểm 
đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 8: Cho nửa đường tròn đường kính AB, kẻ các tiếp tuyến với đường tròn Ax, By trong cùng một 
nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn. Lấy điểm C bất kì thuộc nửa đường tròn. Tia AC cắt By 
tại E và tia BC cắt Ax tại D. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AD và BE. Chứng minh IK là tiếp 
tuyến của đường tròn
Bài 9: Cho điểm M bất kì trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, qua điểm H cố định trên 
đoạn OB, vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Gọi giao điểm của MA, MB và tiếp tuyến tại M của 
đường tròn(O) với d lần lượt là D, C và I. Gọi E là giao điểm của AC và đường tròn (O). Gọi K là 
giao điểm của OI và ME. Chứng minh rằng IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 10: Cho đường tròn (O;R) có dây AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và C là 
một điểm thuộc đoạn thẳng AB. Tia MC cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là D. Chứng minh rằng MA là 
tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của AB cắt BC ở K. Chứng minh rằng Ab là 
tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACK.
3.Hướng dẫn giải bài tập
Bài 1:
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng 
AC là tiếp tuyến của đường tròn
 A
 Hướng dẫn: 
 2 2 2 2 2 2
Ta thấy: 5 3 4 BC AB AC B C
Suy ra tam giác ABC vuông tại A
Vì A thuộc (B; BA) và AB  AC nên AC là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 2: Cho đường tròn (0; 13) và dây AB = 24. Trên các tia OA và OB lần lượt lấy các điểm M và N 
sao cho OM = ON = 33,8. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) Hướng dẫn: 
 OA OB
Vì OA = OB; OM = ON nên 
 OM ON
 O
Suy ra AB // MN (định lí talet đảo)
Vẽ OH  AB, OH cắt MN tại K thì OK  AB
 H B
 A
Ta có HA = HB = 12
 N
 M K
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AOH, ta tính được OH = 5
 OH OA
∆OAB ~ ∆OMN ⇒ →OK = 13
 OK OM
Do d = R = 13 nên MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B; BA) và đường tròn (C; CA) chúng cắt 
nhau tại điểm D khác A. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B)
 Hướng dẫn:
 A
∆ABC = ∆DBC (c.c.c) Aµ Dµ 
 B C
Do Aµ 900 Dµ 900 
CD vuông góc với bán kính BD tại D nên CD là tiếp tuyến của đường tròn D
(B)
Bài 4: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp 
tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.
 c) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn
 d) Cho bán kính của đường tròn = 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC
 Hướng dẫn:
 a) Gọi H là giao điểm của CO và AB
 A
 Vì OH  AB nên AH = BH (tính chất đường kính dây cung)
 Suy ra CO là trung trực của AB nên AC = AB
 Xét ∆AOC và ∆BOC có: C
 H O
 AC = BC; AO = BO; chung AO
 Vậy ∆AOC = ∆BOC (c.c.c) O· AC O· BC 900 
 B
 Do CB vuông góc với đường kính BO tại B nên CB là tiếp tuyến của đường tròn
 b) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: OH AO2 AH2 152 122 9 cm 
 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ACO ta có:
 AH2 122
 AH2 OH.CH CH 16 cm 
 OH 9 Vậy OC = OH + CH = 9 + 16 = 25 (cm)
Bài 5: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường 
tròn (D, E là tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MD và 
ME theo thứ tự ở P và Q. Biết MD = 4cm, tính chu vi tam giác MPQ
 Hướng dẫn :
 Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau: PI = PD và QI = QE; MD = ME D
 P
Chu vi tam giác MPQ = MP + PQ + MQ 
 = MP + PI + IQ + MQ I
 M O
 = MP + PD + QE + MQ 
 Q
 = MD + ME = 8 (cm) E
Bài 6: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn 
(M, N là tiếp điểm)
 d) Chứng minh rằng OA  MN
 e) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO
 f) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA= 5cm
 Hướng dẫn :
 a) AM = AN, AO là tia phân giác của góc A (tc hai tiếp tuyến cắt nhau tại A)
 Tam giác AMN cân tại A, AO là tia phân giác của góc A nên AO  MN 
b) Gọi H là giao điểm của AM và AO. M C
Ta có MH = NH, CO = ON nên OH là đường trung bình của tam giác MNC
Suy ra HO // MC, do đó MC // AO
 A O
 c) Ta có: AN AO2 ON2 52 32 4 cm H
 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: AO.HN = AN.NO
 AN.NO 3.4 N
 HN 2,4 cm 
 AO 5
 Do đó MN = 4,8 (cm)
Vậy AM = AN = 4cm, MN = 4,8cm
Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Gọi 
M là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn.
 Hướng dẫn:
 C
Gọi trung điểm của OA là I. 
Xét ΔACO có: CI vừa là đường cao, vừa là trung tuyến 
 M A I O B
 ΔACO cân tại C hay CA = CO = R. 
 D Xét ΔMCO có: AM = AO = R và CA = R
 MCO vuông tại C 
 Đường MC cắt (O) tại C và có MC  CO nên MC là tiếp tuyến của (O)
Bài 8: Cho nửa đường tròn đường kính AB, kẻ các tiếp tuyến với đường tròn Ax, By trong cùng một 
nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn. Lấy điểm C bất kì thuộc nửa đường tròn. Tia AC cắt By 
tại E và tia BC cắt Ax tại D. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AD và BE. Chứng minh IK là 
tiếp tuyến của đường tròn
 Hướng dẫn :
Gọi O là tâm đường tròn.
 y
 ∆ACB vuông tại C, suy ra các ∆ACD và ∆BCE vuông tại C. 
 E
 µ µ x
Do I là trung điểm của cạnh huyền AD nên IA = IC ⇒ A1 C1 
 ¶ ¶
∆OAC cân đỉnh O nên A2 C2 D
 µ ¶ µ ¶ 0 ·
⇒ C1 C2 = A1 A2 = 90 = ICO C K
 · 0 I 1
Chứng minh tương tự ta có KCO = 90 2
Suy ra I, C, K thẳng hàng và OC  IK tại C 1
 2
Do đó IK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB tại C A O B
Bài 9: Cho điểm M bất kì trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, qua điểm H cố định trên 
đoạn OB, vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Gọi giao điểm của MA, MB và tiếp tuyến tại M của 
đường tròn(O) với d lần lượt là D, C và I. Gọi E là giao điểm của AC và đường tròn (O). Gọi K là 
giao điểm của OI và ME. Chứng minh rằng IE là tiếp tuyến của đường tròn (O
 Hướng dẫn:
Xét ∆ABD có BM  AD, DH  AB ⇒ C là trực tâm ⇒ AC  DB mà AE  BE ( ·AEB =900)
Suy ra B, E, D thẳng hàng
Tứ giác AMCH nội tiếp vì ·AMC ·AHC =900
⇒ M· AH M· CI (cùng bù với ·ABM ) mà MI là tiếp tuyến ⇒ I·MC M· AH ⇒ I·MC M· CI suy ra ∆MCI cân tại I ⇒ IM = IC (1)
Ta có M· DI D· CM =900 mà I·MC D· CM D
⇒ D· MI M· DI suy ra ∆IMC cân tại I ⇒ IM = ID (2)
Từ (1) và(2) suy ra ID = IC = IM I
∆CDE vuông tại E có IC = ID ⇒ IC = ID = IE M
 K
Từ đó ta có IM = IE, OM = OE, OI chung 
 C E
Suy ra ∆OEI = ∆OMI (c.c.c) 
Suy ra O· EI O· MI ⇒ O· EI 900
 A O H B
Suy ra IE là tiếp tuyến chung của đường tròn (O)
Bài 10: Cho đường tròn (O;R) có dây AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và C là 
một điểm thuộc đoạn thẳng AB. Tia MC cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là D. Chứng minh rằng MA 
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
 x
 Hướng dẫn: M
Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm M, vẽ tia Ax là tiếp tuyến của đường 
 A
tròn ngoại tiếp tam giác ACD ⇒ C· Ax = C· DA B
 C
 ¼ » · ·
Mà AM MB ⇒ BAM = MDA O
⇒ C· AM = C· DA ⇒ C· Ax = C· AM D
Mà AM, Ax nằm cùng nửa mặt phẳng bờ AC nên hai tia AM, Ax trùng nhau.
Vậy AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của AB cắt BC ở K. Chứng minh rằng Ab là 
tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACK
 Hướng dẫn:
Các tam giác cân ABC, KBA có chung góc đáy Bµ nên C· AB ·AKB 
 · ·
Tức là CAB AKC A
 1
Ta có SđC· AB = »AC , từ đó AB là tiếp tuyến của đường tròn O
 2
 B C K