Phiếu bài tập số 5 môn Hình học Lớp 9 - Tuần 5, Tiết 9: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 5 – HH9 - Tiết 9 - MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GểC
 TRONG TAM GIÁC VUễNG
1. Dạng toỏn giải tam giỏc vuụng
Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A biết Bà 500 , AC 5cm . Tớnh AB. .
Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại . A . cú AB 30cm , ãACB 300 . Giải tam giỏc 
vuụng ABC.
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB 20 ; AC 13.. Giải tam giỏc vuụng ABC
.
Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH . Biết AH 4; BH 3. Tớnh 
 tan B và số đo gúc C.
 AC 4
Bài 5: Cho tam giỏc . ABC . vuụng tại A , biết và BC = 10. Tớnh Bà ; AB; AC.
 AB 3
Bài 6: Tớnh chiều cao của một cột thỏp, biết rằng lỳc mặt trời ở độ cao 50 (nghĩa là 
tia sỏng của mặt trời tạo với phương nằm ngang của mặt đất một gúc bằng 50 ) thỡ 
búng của nú trờn mặt đất dài 96m.
2. Dạng toỏn tớnh cạnh và gúc quy về tam giỏc vuụng
Bài 7: Cho tam giỏc ABC cõn tại A ; AB AC 17; BC 16 . Tớnh đường cao AH.và àA ; Bà 
của tam giỏc ABC .
Bài 8: Cho tam giỏc ABC cú Bà 600 , cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc của AB và AC lờn BC 
theo thứ tự bằng 12 và 18. Tớnh cỏc gúc và đường cao của tam giỏc ABC .
 4
Bài 9: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH , biết AC 16 cm và sin Cã AH . 
 5
Tớnh độ dài cỏc cạnh BC , AB . [TS10 Thỏi Nguyờn, 2018-2019]
Bài 10: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH , biết AB 5 cm và BC 13 cm . 
Từ H kẻ HK vuụng gúc với AB (K AB) . Tớnh AC , BH và cos HBK .
3. Bài toỏn tổng hợp
 à 0
Bài 11: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú B 30 ; AB 6cm .
a) Giải tam giỏc vuụng ABC . b) Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM của tam giỏc ABC . Tớnh diện tớch tam giỏc 
 AHM .
Bài 12: Cho tam giỏc ABC , biết AB 21;AC 28; BC 35.
a) Chứng minh rằng tam giỏc ABC vuụng
b) Tớnh sinB;sinC; Bà;Cà và đường cao AH của tam giỏc ABC
Bài 13: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH , AB cm; BC 6cm.. 
1) Giải tam giỏc vuụng ABC
2) Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cạnh AB và AC :
 a) Tớnh độ dài AH và chứng minh: EF AH .
 b) Tớnh: EAEB AFFC 
Bài 14: Cho tam giỏc đều ABC cú cạnh bằng a . Hai điểm M , N lần lượt di động 
 AM AN
trờn hai đoạn thẳng AB , AC sao cho 1. Đặt AM x và AN y . Chứng 
 MB NC
minh MN a x y .[TS10 Bỡnh Định, 2018-2019] HƯỚNG DẪN GIẢI
1. Dạng toỏn giải tam giỏc vuụng A
Bài 1: 
 5cm
Ta cú tam giỏc ABC vuụng tại A nờn
 AC 5 50
 AC AB.tan B AB 4,2 (cm) B C
 tan B tan 500 
Bài 2: 
 A
Ta cú tam giỏc ABC vuụng tại A nờn
 ãABC 900 Cà 900 300 600 30
 0
 0 30
 AC AB.cot C 30.cot 30 30 3cm. B C
 AB 30
 BC 60 (cm)
 sin C sin 300
Bài 3:
 A
Ta cú tam giỏc ABC vuụng tại A nờn
 13 20
 BC AB2 AC2 202 132 23,85
 AC 13
 tan B 0,65 Bà 330
 AB 20 C B
Cà 900 Bà 570
 A
Bài 4: 
Ta cú tam giỏc ABC vuụng tại A nờn 4
 4 à 0 ’ à 0
 tanB = . B . 53 8 =>C 36 52’ C B
 3 3 H
Bài 5: 
 ABC
Ta cú tam giỏc vuụng tại A nờn A
 4
+ tan B Bà 53007'
 3
+ Theo hệ thức về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng
 C
 B 10
 A
 A 5cm
 5cm
 50
 B C
 50
 C
 B C
 F H
 B
 A E AB BC cos B 10.cos53007' 6
 0 '
 AC BC.sin B 10.sin 53 07 8 A
Bài 6: 
Gọi AB là chiều cao của thỏp
CA : hướng của tia nắng mặt trời chiếu xuống
CB : búng của thỏp trờn mặt đất (dài 96m). 50 96 cm
 C B
Trong tam giỏc ABC, Bà 900 . 
 AB
Ta cú tanB= AB tgB.BC. Hay AB 114,4cm,
 BC
2. Dạng toỏn tớnh cạnh và gúc quy về tam giỏc vuụng
Bài 7: 
 àA ảA A
 1 2
+ Tam giỏc ABC cõn, cú AH  BC BC
 BH CH 8 1 2
 2
+ Xột tam giỏc AHC, vuụng tại H
 17 17
- Ta cú: AH AC2 CH 2 172 82 15
- mặt khỏc:
 CH 8
 sin A B H C
 2 AC 17
 0 '
 A2 A1 28 04
 0 '
 A 2A2 56 08
+ Xột tam giỏc AHB vuụng tại H , ta cú:
 0 0 0 ' 0 '
B 90 A1 90 28 04 61 56
 A
Bài 8: 
+ Xột tam giỏc AHB vuụng tại H 
 1
B 600 A 300 BH AB
 2
 AB 2BH 2.12 24
 60
 B H C AH AB2 BH 2 242 122 20,8
+ Xột tam giỏc AHC, theo hệ thức lượng 
 AH 20,8
 tan C C 49006'
 HC 18
 A 1800 B C 70054'
Bài 9: 
Trong VAHC vuụng tại H ta cú
 HC 4
sin Cã AH HC AC sin Cã AH 16 12,8 cm.
 AC 5
Xột VABC vuụng tại A ta cú
 AC2
 AC2 BC  HC BC 20 cm.
 HC
 Trong VABC ta cú AB BC2 AC2 12 cm.
Vậy AB 12 cm , BC 20 cm .
Bài 10: 
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giỏc ABC vuụng tại A ta cú
 BC2 AB2 AC2 AC BC2 AB2 132 52 12cm.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú đường 
 AB2 25
cao AH ta được BA2 BH  BC hay BH cm
 BC 13
 AB 5
Ta cú: cos Hã BK cos ãABC .
 BC 13
 25 5
Vậy AC 12cm, BH cm và cos Hã BK .
 13 13
3. Bài toỏn tổng hợp A
Bài 11: 
a) Giải tam giỏc vuụng ABC . 6 cm
Tớnh Cà 600
 30
 B
 C H M Theo hệ thức về cạnh và gúc, ta cú:
 AC
 AC AB.tan B 6.tan 300 2 3 (cm) ≈ 3,46 (cm)
 AB
 AB AB 6
cos B BC 4 3 (cm) ≈ 6,93 (cm) 
 BC cos B cos300
b) Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM của tam giỏc ABC . Tớnh diện tớch tam 
giỏc AHM .
Xột tam giỏc AHB , ta cú : 
 AH 1
sin B AH AB.sin B 6. 3(cm)
 AB 2
 HB 3
cos B HB AB.cos B 6. 3 3 (cm) 
 AB 2
 BC
 MB 2 3 (cm) 3,46cm
 2
 HM HB – MB = 3 3 – 2 3 = 3 (cm) 
 AH.HM
Diện tớch tam giỏc AHM : S = = 
 AHM 2
 AH.HB AH.MB AH 3 3 3
 . HB MB . 3 3 2 3 (cm2) ≈ 2,6 cm2
 2 2 2 2 2
Bài 12:
Ta cú: 
 A
 AB2 AC2 212 282 1225
 2 2
 BC 35 1225 21 cm 28 cm
 BC2 AB2 AC2
Suy ra tam giỏc ABC vuụng tại A C
 B H 35 cm
b) Ta cú tam giỏc ABC vuụng tại A nờn
 AC 28
sin B 0,8 B 530
 BC 35
 AB 21
sin C 0,6 C 370
 BC 35
Xột tam giỏc AHB vuụng tại H , ỏp dụng hệ thức về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng 
ta cú: AH AB.sin B 21.sin 530 21.0,8 16,8 (hoặc AH.BC = AB.AC)
Bài 13: 
1) Giải tam giỏc vuụng ABC
 ABC A
Do vuụng tại , nờn ta cú: C
 AB 3 1
+ Cos Bà Bà 600 Do đú: Cà 900 600 300
 BC 6 2
+ AC BC.sin B 6.sin 600 3 3cm.
2) Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cạnh AB và AC :
 F H
a) Tớnh độ dài AH và chứng minh EF AH . 
 3 3 B
 AHB vuụng tại H nờn: AH AB.sin B 3.sin 600 cm. A
 2 E
Tứ giỏc AEHF cú: àA ãAEH ãAFH 900 (gt) Nờn tứ giỏc AEHF là hỡnh chữ nhật
 EF AH 
b) Tớnh: EAEB AFFC 
Ta cú: EAEB HE2 ; AFFC FH 2 Nờn EAEB AFFC HE2 FH 2 EF 2 
 2
 2 3 3 27
Mà EF AH . Do đú: EAEB AFFC AH = 6,75 cm
 2 4
Bài 14: 
 x y
Theo giả thiết ta cú 1 ax xy ay xy a2 ax ay xy
 a x a y
 a2 x2 y2 2ax 2ay 2xy x2 y2 xy (a x y)2 x2 y2 xy. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử x y .
Kẻ MK //BC (K AC) , NL//BC (L AB) .
Khi đú VAMK và . . là cỏc tam giỏc đều (tam giỏc 
cõn và cú gúc bằng 60 ) và tứ giỏc LNKM là hỡnh 
thang cõn. Kẻ NH  MK tại H .
Tam giỏc NHK vuụng tại H , cú NK x y ,
 1
 Hã NK Bã AC 30
 2
 x y (x y) 3
Suy ra HK NK sin30 , NH NK cos30 .
 2 2
Xột tam giỏc vuụng MNH , cú
 x y x y
MH x ,
 2 2
 2 2
 x y (x y) 3 
MN x2 y2 xy (a x y)2 | a x y |.
 2 2 
 x
 1
 x y a x x a x
Cuối cựng, vỡ 1 nờn x y 2a x y a x y 0.
 a x a y y y a y
 1 
 a y
Vậy MN a x y .