Phiếu bài tập số 6 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 29: Luyện tập - Mạc Thị Huyền (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 6- HH9 - TIẾT 29 - LUYỆN TẬP – GV Mạc Thị Huyền
Bạn thiết kế hay, phù họp với nhận thức học sinh, dạng bài đa dạng. hình vẽ đẹp
1. Dạng toán nhận biết tiếp tuyến của đường tròn, vận dụng tính chất
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ đường tròn tâm D đường kính BC cắt AC và 
AB lần lượt tại E và F . Gọi H là giao điểm của BE và CF . Chứng minh rằng:
 a) Bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.
 b) DE là tiếp tuyến của đường tròn trong câu a.
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , hai tiếp tuyến Ax, By . Trên 
Ax, By lấy theo thứ tự hai điểm C và D . Biết AC BD CD . Chứng minh rằng:
 · 0
 a) COD 90
 b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD , còn 
đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường tròn O 
Bài 3: Cho đường tròn (O;5cm) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai 
tiếp tuyến MA và MB với đường tròn ( A và B là tiếp điểm). Từ điểm C trên cung 
nhỏ »AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MA, MB lần lượt tại P và Q . Cho biết 
AM  BM .
a) Tứ giác MAOB là hình gì ? Vì sao?
b) Tính chu vi tam giác MPQ .
c) Tính góc P· OQ .
Bài 4: Cho đường tròn (O;5cm) , đường kính AB , tiếp tuyến Bx . Gọi C là một điểm 
nằm trên đường tròn, sao cho B· AC 300 , tia AC cắt Bx ở E . 
a) Chứng minh BC2 AC.CE
b) Tính độ dài đoạn BE . 
Bài 5: Cho đường tròn O; R . Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB , 
AC và cát tuyến AMN với đường tròn ( B,C, M , N thuộc O ). Gọi I là trung điểm 
của dây MN .
a) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, I,O,C cùng thuộc một đường tròn.
b) Tìm điều kiện của điểm A để ABOC là hình vuông.
Bài 6: Cho đường tròn O;6cm . Một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho các tiếp 
tuyến AB, AC với đường tròn vuông góc với nhau ( B,C là tiếp điểm). Trêm hai cạnh AB, AC của góc A , lấy các điểm D, E sao cho AD 4cm, AE 3cm . Chứng minh rằng 
DE là tiếp tuyến của đường tròn O . 
2. Dạng toán đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác
Bài 7: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn O vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường 
tròn ( B,C là tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt O tại hai điểm I, K ( I nằm giữa A và 
O). Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp VABC và K là tâm đường tròn bàng 
tiếp VABC .
Bài 8: Cho tam giác ABC có BC AC , trung tuyến CD . Đường tròn nội tiếp các tam 
giác ACD và BCD tiếp xúc với CD lần lượt tại E và F .
Chứng minh : 2EF AC BC
Bài 9: Cho tam giác ABC có AB 14 cm, BC 10 cm, CA 12 cm. Tính khoảng cách giữa 
tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A và B . 
Từ điểm M bất kì trên d và nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MC, MD (C, D là 
các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên d thì đường trong ngoại tiếp tam giác MCD 
luôn đi qua hai điểm cố định.
b) Xác định vị trí của M trên d để tam giác MCD là tam giác đều. HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU SỐ 6
1. Dạng toán nhận biết tiếp tuyến của đường tròn, vận dụng tính chất
Bài 1: (Hình H1) Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ 
đường tròn tâm D đường kính BC cắt AC và AB lần 
lượt tại E và F . Gọi H là giao điểm của BE và CF . 
Chứng minh rằng:
 a) D là tâm đường tròn đường kính BC nên 
BD DE DC
Do đó tam giác SEC vuông ở E suy ra ·AEB 900
Tương tự ·AFC 900
Gọi O là trung điểm của AH , ta có OE,OF lần lượt là 
trung tuyến thuộc cạnh huyền AH của hai tam giác 
vuông AEH và AFH nên OA OH OE OF .
Vậy bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc đường tròn O . 
 b) Vì H là giao điểm của hai đường cao BE và CF của tam giác ABC, AD là 
đường trung tuyến thuộc cạnh đáy BC nên AD  BC , do đó ba điểm A, H, D thẳng 
hàng.
 Tam giác BDE cân tại D vì có DB DE nên E· BD B· ED
 Tam giác EOH cân tại O vì có OE OH nên E· HO O· EH
 Mà B· HD O· HE O· EH B· HD , mặt khác B· HD E· BD 900 B· ED O· EH 900
hay O· ED 900 OE  DE
 DEvuông góc với bán kính OE tại E nên DE là 
tiếp tuyến của đường tròn O . 
Bài 2: (Hình H2) Cho nửa đường tròn tâm O đường 
kính AB , hai tiếp tuyến Ax, By . Trên Ax, By lấy theo 
thứ tự hai điểm C và D . Biết AC BD CD . 
 a) Ta có tứ giác ABCD là hình thang.
 Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt CD 
 1 1
tại I , ta có IO AC BD CD , do đó tam giác 
 2 2
COD vuông tại C , hay C· OD 900 · · · · · ·
 b) Tam giác IOC cân tại I nên IOC ICO mà IOC ACO nên OCI ACO .
 Kẻ OH  CD , ta có
 OHC OAC ( cạnh huyền – góc nhọn) nên OH OA .
 Đường thẳng CD vuông góc với bán kính OH tại H nên CD là tiếp tuyến của 
đường tròn O . 
Bài 3: (Hình H5) Cho đường tròn (O;5cm) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua 
M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn ( A và B là tiếp điểm). Từ điểm C trên 
cung nhỏ »AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MA, MB lần lượt tại P và Q . Cho biết 
AM  BM .
a) Theo giả thiết: MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn O tại A và B nên 
 0 0
OA  AM , OB  BM , do đó µA 90 , Bµ 90 .
Mà AM  BM nên M¶ 900 .
Tứ giác AMBO có µA Bµ M¶ 900 nên là hình chữ 
nhật. Hình chữ nhật này có OA OB nên là hình 
vuông.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến của O cắt nhau, 
ta có: MA MB, PA PC, QB QC
Chu vi tam giác MPQ bằng:
 MP PQ QM MP PC CQ QM
 MP PA MQ QC 
 MA MB
Vì tứ giác AMBO là hình vuông (câu a) nên 
MA MB OA 5cm
Vậy chu vi tam giác MPQ là 5cm 5cm 10cm
Tính chu vi tam giác MPQ .
c) Theo tính chát của hai tiếp tuyến của O cắt nhau, ta có 
OP là phân giác của góc AOC,OQ là phân giác của góc COB , do đó 1
 P· OQ P· OC C· OQ ·AOC C· OB
 2 
 1 1
 ·AOB .900 450
 2 2
Bài 4: (Hình H4)Cho đường tròn (O;5cm) , đường kính 
AB , tiếp tuyến Bx . Gọi C là một điểm nằm trên đường 
tròn, sao cho B· AC 300 , tia AC cắt Bx ở E 
 1
a) Tam giác ABC có trung tuyến CO AB nên 
 2
·ACB 900 BC  AE
Tam giác ABE vuông tại B , có BC  AE nên 
BC2 AC.CE
b) Tam giác ABC vuông tại C , có 
 0 1
µA 30 BC AB 5cm .
 2
C· BE µA 300 ( cùng phụ với góc ABC ) do đó trong tam giác vuông BEC ta có 
BE 2CE .
 2 2 2 2 2 2
BE BC CE 2CE CE 25 3CE 25 , do đó
 5 3 10 3
CE cm BE cm
 3 3
Bài 5: (Hình H3)Cho đường tròn O; R . Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp 
tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn ( B,C, M , N thuộc (O) ). Gọi I là trung 
điểm của dây MN .
a) Vì M , N thuộc (O) mà I là trung điểm của MN 
nên OI  MN ·AIO 900 .
AB và AC là tiếp tuyến của (O) tại B và C nên 
·ABO 900 ·ACO 900 do đó
·AIO ·ABO 900 ·ACO 900 , vậy 5 điểm 
A, B, I,O,C cùng thuộc một đường tròn.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau nên 
AB AC . Vì ·ABO 900 nên ABOC là hình vuông suy ra AB BO .
Vì tam giác ABO vuông tại B (cmt) nên theo định lí Py –ta-go có : AB2 BO2 AO2
Mà AB BO 2R ( do E thuộc (O) ) suy ra AO2 2R2 AO R 2
Vậy để ABOC là hình vuông thì AO R 2 .
Bài 6: (Hình H6) Cho đường tròn O;6cm . Một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho 
các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn vuông góc với nhau ( B,C là tiếp điểm). Trêm hai 
cạnh AB, AC của góc A , lấy các điểm D, E sao cho 
AD 4cm, AE 3cm . Chứng minh rằng DE là tiếp 
tuyến của đường tròn O . 
Dễ tính được DE 5cm . Ta có 
SODE SABOC SADE SOBD SOCE
 =36 6 6 9 15 cm2 
Kẻ OH  DE tại H, ta có:
OH 2SODE : DE 2.15:5 6 cm 
Suy ra H thuộc O , hay DE là tiếp tuyến của 
đường tròn O . 
2. Dạng toán đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác
Bài 7:(Hình H7) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn O vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với 
đường tròn ( B,C là tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt O tại hai điểm I, K ( I nằm giữa 
A và O). Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp VABC và K là tâm đường tròn 
bàng tiếp VABC .
 • Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp VABC
 Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau tại A ta có AO là phân giác của góc CAB 
 và AB AC. 
 0
 Vì AB là tiếp tuyến tại B nên ·ABI I·BO 90 1 Vì AB AC và OB OC nên OA là trung trực của BC suy ra 
 0
 OA  BC H B· HI 90 .
 0
 Xét tam giác BIH vuông tại H , ta có H· BI B· IO 90 2 
 Mà tam giác BOI cân tại O , nên I·BO B· IO 3 . 
 Từ (1), (2), (3) suy ra ·ABI H· BI , do đó BI là phân giác của tam giác ABC .
 Vì BI và AO là hai phân giác trong của tam giác ABC và BI cắt AO tại I nên I là tâm 
 đường tròn nội tiếp VABC .
 • Chứng minh K là tâm đường tròn bàng 
 tiếp VABC .
Tia AO cắt O tại I và K nên IK là đường kính 
của (O) BK  BI mà BI là phân giác của tam 
giác ABC nên BK là phân giác của góc kề bù 
với ABC , hay BK là phân giác ngoài của tam 
giác ABC . 
Mà AK là phân giác trong của tam giác ABC và 
BK  AK K
Vậy K là tâm đường tròn bàng tiếp VABC
Bài 8: Cho tam giác ABC có BC AC , trung tuyến CD . Đường tròn nội tiếp các tam 
giác ACD và BCD tiếp xúc với CD lần lượt tại E và F .
Chứng minh : 2EF AC BC
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD : H, E, I lần lượt là tiếp điểm của 
đường tròn (O) với BD,CD và CB , ta có:
 BH BI, DH DE,CE CI
 DH DB BH DB BI
 DE DC EC DC CI Do đó 
 DH DE DB DC BI IC 
 DB DC BC
 2DE DB DC BC 1 
Gọi K là tâm tâm đường tròn nội tiếp tam 
giác ACD : F là tiếp điểm của đường tròn O 
với CD , ta có 2DF DA DC AC 2 .
Do DA DB và BC AC nên từ (1) và (2) ta 
có 2DE 2DF hay DE DF tức điểm F 
nằm giữa D và E , vì vậy:
2DE 2DF BD DC DC DA DC AC AC BC
Bài 9: (Hình H9) Cho tam giác ABC có AB 14 cm, BC 10 cm, CA 12 cm. Tính khoảng 
cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác.
Gọi O là tâm đường tròn nội 
tiếp. G là trọn tâm của tam giác.
BG cắt AC tại M , ta có: 
GM : GB 1: 2 (1)
BO cắt AC tại I, ta có:
IA AB 14 7
IC BC 10 5
 IA 7 7AC 7.12
 IA 7
 IC 5 12 12
AO là phân giác trong tam giác 
ABI nên
OI IA 7 1
 (2)
OB AB 14 2
Từ (1) và (2) suy ra 
OI GM 1 
 OG / /IM .
OB GB 2 
Trong tam giác BIM , do 
OG / /IM nên OG BG 2
IM BM 3
 2 2 2 2
 OG IM IA IM 7 6 cm 
 3 3 3 3
Bài 10: (Hình H10) Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai 
điểm A và B . Từ điểm M bất kì trên d và nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến 
MC, MD (C, D là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên d thì đường trong ngoại tiếp tam giác MCD 
luôn đi qua hai điểm cố định.
b) Xác định vị trí của M trên d để tam giác MCD là tam giác đều.
Giải:
a) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với d và cắt d tại N O· NM 900 .
Vì MC và MD là tiếp tuyến với đường tròn tại C và 
D nên
OC  CM , OD  DM
 M· CO M· DO 900
Do đó M· NO M· CO M· DO 900 suy ra M ,C,O, N, 
D đều thuộc đường tròn đường kính MO , nên 
đường tròn đường kính MO là đường tròn ngoại 
tiếp tam giác MCD .
Do O và d cố định nên N cố định. Vậy đường tròn 
ngoại tiếp tam giác MCD luôn đi qua hai điểm cố định là O và N .
b) Vì MC và MD là tiếp tuyến với đường tròn tại C và D nên CM MD và MO là phân 
giác của góc CMD , do đó tam giác CMD cân tại M .
Để CMD đều C· MD 600 C· MO 300
 0 MO
Suy ra R CO MO.sin 30 (do tam giác MOC vuông tại C )
 2
 MO 2R .
Vậy CMD là tam giác đều M là giao điểm của O;2R và đường thẳng d .