Phiếu bài tập số 8 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 10, Bài 6: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 8 
TIẾT 10 – BÀI 6- HH9: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Dạng 1: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để giải tam giác vuông
 
Bài 1. Giải tam giác vuông ABC biết µA 90 và
 a) BC 15cm ; AC 10cm .
 b) AC 12cm ; AB 7cm .
Bài 2. Giải tam giác vuông ABC vuông ở A , biết:
 a) BC 50cm ; Bµ 50 .
 b) AC 21cm ; Cµ 41 .
 c) AB 25cm ; Bµ 32 .
Dạng 2: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, có AC 15cm , Bµ 50 . Hãy tính độ dài:
 a) AB; BC . 
 b) Phân giác CD .
Bài 4. Cho tam giác ABC có góc Bµ 60 , Cµ 50 , AC 35cm . tính diện tích tam giác ABC
Bài 5. Cho tam giác ABC có Bµ 70 ; Cµ 35 , đường cao AH 5cm . Tính các cạnh của tam giác 
ABC .
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH , biết µA 48 , AH 13cm , tính chu vi tam giác
Bài 7. Tam giác ABC vuông ở A , đường cao AH . Biết HB 12,5cm , HC 32cm và Bµ 65 . Tính 
AB, AC.
Bài 8. Cho tứ giác ABCD có µA Dµ 90 ; Cµ 40 ; AB 2cm ; AD 3cm . Tính diện tích tứ giác 
ABCD . 
Dạng 3: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài toán chứng minh.
Bài 9. Cho tam giác ABC , hai đường cao BH,CK . Chứng minh rằng nếu AB AC thì BH CK
Bài 10. Cho tam giac ABC vuông ở A, đường cao AH . Đặt BC a , AC b và AB c .
 2 2
 a) Chứng minh AH a.sinB.c osB ; BH a.c os B ; CH a.sin B.
 2 2
 b) Từ đó suy ra AB BC.BH và AH BH.HC Dạng 4: Bài toán ứng dụng thực tế
Bài 11. Lúc 2h20’(trời có nắng) một bạn học sinh đã tính được góc tạo bởi các tia nắng mặt trời với 
mặt đất xấp xỉ bằng 47 và tại thời điểm đó người ta đo được bóng của cột cờ trên mặt đất dài3 8,6m
. Em hãy cho biết chiều cao của cột cờ ?
Bài 12. Vì kèo của mái nhà có dạng tam giác cân (hình vẽ) Đáy BC 4,2m , chiều cao AH 1,7m .
 a) Hãy tính độ dốc của mái nhà?
 b) Cho biết độ dài của các thanh đỡ HD, HE ? 
Bài 13. Một khúc sông rộng khoảng 240m . Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy phải chèo 
khoảng 300m mới tới bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò đi một góc bằng bao nhiêu?
Bài 14. Một đài quan sát hải đăng cao 150m so với mặt nước biển, nhìn một chiếc tàu ở xa với góc 
 10 . Hỏi khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng là bao nhiêu mét? HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU SỐ 8 
TIẾT 10 – BÀI 6- HH9: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Dạng 1: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để giải tam giác vuông
Bài 1. 
 a) * Tính AB
 Xét ABC vuông tại A ta có:
 2 2 2
 * BC AB AC (Pyt ago) B
 Thay BC 15cm ; AC 10cm , ta được: 
 152 AB2 102
 15cm
 AB2 225 100 125
 AB 125(cm)
 µ µ
 * Tính B;C 10cm
 C
 AC 10 2 A
 SinBµ 
 BC 15 3
 Bµ 420
 Cµ 900 420 480
 b) Xét ABC vuông tại A ta có: B
 2 2 2
 BC AB AC (Pyt ago) 
 Thay AC 12cm ; AB 7cm ta được: 
 2 2 2
 BC 7 12 7cm
 BC2 49 144 193
 12cm
 BC 193(cm) A C
 * Tính Bµ ;Cµ
 AC 12
 tanBµ 
 AB 7
 Bµ 60
 Cµ 90 60 30 Bài 2
 a) Xét ABC vuông tại A: 
 0 0 0 0
 Ta có Bµ 50 Cµ 90 50 40 
 AB BC.sin C BC.sin 400 50.0,6428 32,14cm
 0
 AC BC.cosC BC.cos 40 50.0,7660 38,3cm
 b) Xét ABC vuông tại A: 
 0 
 Ta có Cµ 41 Bµ 90 41 49 B
 AB AC.tanC 21.tan 41 21.0,8693 18,26
 AC 21 21
 BC 27,83(cm)
 sin B sin 49 0,7547
 21cm
 A C
 ABC
 c) Xét vuông tại A: B
 Bµ 320 Cµ 90 32 58 
 AC AB tanB 25.tan 32 25.0,6429 15,62
 AB 25 25
 d) BC 29,48(cm)
 sin C sin 58 0,8480 25cm
 A C Dạng 2: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác.
 Bài 3. B
 a) Xét ABC vuông tại A: 
 Theo hệ thức lượng về cạnh và góc của tam giác 
 vuông, ta có:
 D
 AB AC.cotB 15.cot 50 15.0,8391 12,59(cm) 
 AC 15 15
 BC 19,58(cm) 15cm
 sinB sin 50 0,766
 A C
 Vậy AB 12,59cm, BC 19,58cm .
 b) Xét ABC vuông tại A:
 0 0 0 0
 Bµ 50 Cµ 90 50 40
 1 1 0 0
 CD là tia phân giác của ·ACB , nên ta có : ·ACD ·ACB .40 20 
 2 2
 Xét ACD vuông tại A ,theo hệ thức lượng về cạnh và góc, ta có:
AC CD.cos·ACD CD.cos200
 AC 15 
 CD 15,96cm
 cos200 0,9397
Bài 4. 
 AH (H AC)
 Kẻ đường cao B
 0
 Xét AHC vuông tại H , có Cµ 50 , AC 35cm
 0
 AH AC sin C 35.sin 50 35.0,766 26,81(cm)
 H
 0
 CH AC.cosC 35.cos50 35.0,8192 22,5(cm)
 0
 Xét AHB vuông tại H ta có: Bµ 60
 AH
 tan B 
 BH 35cm C
 AH 26,81 26,81
 BH 15,48(cm)
 tan B tan 600 3 A
 BC BH CH 15,48 22,5 37,98(cm) 1 1
 S AH.BC .26,81.37,98 509,1219(cm2)
 ABC 2 2
 2
 Vậy diện tích tam giác ABC là 591,83cm
Bài 5. 
 Xét AHB vuông tại H 
 Có: AH AB.sin B 
 AH 5 5
 nên AB 5,32(cm).
 sin B sin 70 0,9397
 Tam giác AHC vuông ở H .
 AH AC.sin C 
 AH 5 5
nên AC 8,72(cm)
 sin C sin 35 0,5736
Ta lại có:
 0
 BH AH.cot B AH.cot 70 5.0,3640 1,82 (cm)
 0
 CH AH.cot C AH.cot 35 5.1,4281 7,14 (cm)
Vậy BC BH CH 1,82 7,14 8,96 (cm).
Bài 6. 
 ABC A
 Xét cân tại , A
 0 0
 0 180 48 0
 Có µA 48 Bµ Cµ 66
 2
 Do ABC cân tại A AB AC mà AH là đường cao 
 AH đồng thời là đường trung tuyến 
 BH CH BC 2.CH 13cm
 0
 Xét AHC vuông tại H , có Cµ 66 , AH 13cm : 
 AH 13
 AC 14,23(cm) B H
 0
 sin C sin 66 C
 0
 CH AH.Cot C 13cot 66 5,79(cm)
 AB 14,23cm
 BC 2.5,79 11,58cm Chu vi tam giác ABC là: 
 AB AC BC 2. AC BC 2.14,23 11,58 40,04(cm)
Bài 7. 
 Ta có: Xét ABC vuông tại A , đường cao AH : A
 AH 2 BH.HC 12,5.32 400 AH 20(cm)
 AC BC.sinB (12,5 32)sin 650
 B 12,5cm H 32cm
 AC 44,5.0,9063 40,33cm
 C
 AB BC.cosB (12,5 32)cos650
 AB 44,5.0,4226 18,81(cm)
Bài 8. (Có thể dùng công thức CH = BH . cotC và công thức tính diện tích hình thang)
 Kẻ BH  DC (H DC) A B
 Xét tứ giác ADBH có 
 µA Dµ Hµ 900
 Tứ giác ADBH là hình chữ nhật
 BH AD 3cm ; . .
 0
 Xét BHC vuông tại H, có Cµ 40 , BH 3cm : 
 C
 BH 3 3 D H
 CH 3,58(cm)
 tan C tan 400 0,8390
 1
 S S S AB.AD BH.HC
 ABCD ABHD BHC 2
 1
 2.3 3.3,58 6 5,37 11,37cm2
 2
 2
 Diện tích tứ giác ABCD là : 11,37cm Bài 9.
 Xét AHB vuông tại H, ta có:
 BH AB.sin A (1)
 Xét AKC vuông tại K, ta có:
 CK AC.sin A (2)
 Từ (1) và (2) suy ra:
 BH AB.sin A AB 
 (Vì sin A 0)
 CK AC.sin A AC 
 AB BH
 Mà AB AC 1 1 BH CK
 AC CK
Bài 10. 
 a) Xét AHB vuông tại H, ta có:
 AH AB.sinB
 BH AB.cosB
 Xét AHC vuông tại H, ta có:
 CH AC.cosC AC.sinB 
 Xét ABC vuông tại A, ta có:
 AB BC.cosB a.cosB
 AC BC.sinB a.sin B
 Do đó:
 AH a.cosB.sinB
 2
 BH a.cosB.cosB a.cos B
 2
 CH a.sinB.sinB a.sin B
b) Từ câu a suy ra:
 2 2 2
 BC.BH a.a.cos B (a.cosB) AB
 2 2 2 2
 BH.CH (a.cos B).(a.sin B) (a.sinB.cosB) AH Bài 11. B
 Coi cột cờ là đoạn thẳng AB, bóng của cột cờ là AC (hình vẽ) 
 Vì cột cờ đặt vuông góc với mặt đất nên : AB  AC
Cùng thời điểm đó góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là 
 0
 47 nên: 휶 = ퟒ 0 
Xét ABC vuông tại A, ta có:
 AB AC.tan C 38,6.tan 470 38,6.1,0724 41,39
Vậy chiều cao của cột cờ là 41,39m
 C
 A
Bài 12.
 + Tính 훼 
 Do ABC cân tại A AB AC mà AH là 
 đường cao AH đồng thời là đường trung 
 tuyến 
 BC 4,2
 BH CH 2,1(m)
 2 2
 Xét AHB vuông tại H, ta có:
 AH 1,7
 tan B 
 BH 2,1
 390
 + Tính DH, HE 
 Xét DBH vuông tại D , ta có:
 DH BH.sin B 2,1.sin 390 1,32(m)
 Xét CEH vuông tại E , ta có:
 EH CH.sinC BH.sin B DH 1,32(m) Bài 13.
 Coi hai bờ sông là hai đường thẳng d1 và d2 
 C LB
 mà d1//d2 . Giả sử chiếc đò xuất phát từ điểm 
 A thuộc bờ d và đến điểm B thuộc bờ d , 
 1 2 240
 300
 khi đó:
 AC 240m , AB 300m .
 A
 Xét ABC vuông tại C , ta có:
 AC 240
 cos cos A 0,8
 AB 300
 0
 Từ đó 37
 Vậy dòng nước đã đẩy chiếc đò đi một góc 
 370
Bài 14.
 Gọi chiều cao của hải đăng là h , khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng là l. 
 Ta có:
 h l.tan 
 h 150 h
 l 851(m)
 tan tan100 l 
 Vậy khoảng cách từ tàu đến chân đài 
 quan sát khoảng 851m .