Phiếu bài tập số 8 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 30: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 8 –HH9 - Tiết 30 – Vị trí tương đối của hai đường tròn
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn O bán kính OA và đường tròn đuờng kínhOA .
a) Hãy xác đinh vị trí của hai dường tròn O và dường tròn dưìmg kínhOA .
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ởC . Chứng minh rằng AC CD .
Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau đây :
a) R 6cm; R’ 4cm .
b) R 5cm : R’ 3cm .
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm A 1;1 và B 3;0 . Vẽ các đường tròn 
 A;r và B;r’ . Khi r 3 và r’ 1, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Bài 4. Cho ABC Bµ,Cµ 900 , đường cao AH . Từ H kẻ HK vuông góc với AB tại K, HI 
vuông góc với AC tại I . Xác định vị trí tương đốì của đường tròn ngoại tiếp BHK và 
đường tròn ngoại tiếp CHI .
Dạng 2: Chứng minh các tính chất và hệ thức hình học
Bài 5: Cho hai đường tròn O; R và (O '; R) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
 BC, B O ,C O ' . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC lại I . 
Chứng minh rằng :
a) S· IO ' 90 ; b) BC 2 RR ' .
Bài 6: Cho hai đường tròn O và O ' cắt nhau tại A và B , trong đó O ' nằm trên đường 
tròn O . Kẻ đường kính O 'C của dường tròn O .
a) Chứng minh rằng CA, CB là hai liếp tuyến của (O’).
b) Đường vuông góc với AO’ tại O ' cắt CB tại I . Đường vuông góc với AC tại C cắt 
Bài 7. Cho hai đường tròn O1; R1 và (O2 ; R2 ) (với R1 R2 ) tiếp xúc ngoài tại A ; Kẻ các tiếp 
tuyến chung ngoài BC và DE (với B, D O1 ;C, E O2 ). Chứng minh rằng : 
 BC DE BD CE 
Bài 8. Cho hai đường tròn O1 , O2 ngoài nhau, vẽ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD 
(với A, D thuộc O1 ; B,C thuộc O2 ). Nối AC cắt O1 tại M ; cắt O2 tại N ( M A, N C
). Chứng minh rằng : AM NC 
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng Bài 9: Trong hình dưới cho hai đường tròn đồng tâm O . Cho biết BC là đường kính của 
đường tròn lớn và có độ dài bằng 8. Dây CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ vàB· CD 30 
. Hãy tính bán kính của đường tròn nhỏ.
Bài 10: Cho hai đường tròn O; R và O '; R cắt nhau tại M , N . Biết 
 OO ' 24cm, MN 10cm . Tính R .
Bài 11: Cho hai đường tròn (O; R) và (O '; R ') tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài 
 MN với M thuộc O , N thuộc O ' . Biết R 9cm.R ' 4cm . Tính độ dài đoạn MN .
Bài 12: Cho hai đường tròn O;3cm và (O ';4cm) cắt nhau tại A và B . Qua A kẻ một cát 
tuyến cắt O tại M M A , cắt O ' tại N N A . NếuOO ' 5cm , hãy tính giá trị lớn nhất 
của MN .
 Hướng dẫn giải
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn O bán kính OA và đường tròn đuờng kínhOA .
c) Hãy xác đinh vị trí của hai dường tròn O và dường tròn dưìmg kínhOA .
d) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ởC . Chứng minh rằng AC CD .
 Giải
a) Gọi O’ là tâm dường tròn đường kính OA thì đoạn nối tâm 
 OO’ OA OA‘ tức là 
 d R R’ . Vậy dường tròn O’ tiếp xúc trong với O .
b) Vì tam giác ACO có cạnh AO là đường kính của (O’) ngoại tiếp nên nó 
vuông tại C hay OC vuông góc với dây AD . Vậy AC CD .
Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau đây :
c) R 6cm; R’ 4cm .
d) R 5cm : R’ 3cm .
 Giải
a) Vì R R ' 6cm 4cm 2cm d nên hai đường tròn tiếp xúc trong b) Vì R R ' 5cm 3cm 8cm d do dó R R’ d R R’ . Vây hai đường tròn cắt nhau.
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm A 1;1 và B 3;0 . Vẽ các đường tròn 
 A;r và B;r’ . Khi r 3 và r’ 1, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
 Giải
Độ dài đoạn nối tâm:
 d AB (3 1)2 12 17 (1) 
Tổng hai bán kính : r r’ 3 1 4 . (2)
Từ (1) và (2) ta thấy 17 4 nên hai đường tròn không giao nhau ; hai đường tròn A và 
 B nằm ngoài nhau.
Bài 4. Cho ABC Bµ,Cµ 900 , đường cao AH . Từ H kẻ HK vuông góc với AB tại K, HI 
vuông góc với AC tại I . Xác định vị trí tương đốì của đường tròn ngoại tiếp BHK và 
đường tròn ngoại tiếp CHI .
 Giãi
Trường hợp 1 : 
 µ
Xét ABC có B 90 vàC 90. Gọi O1,O2 lần lượt là trung điểm của BH vàCH .
Vì BHK vuông tại K,O1 là trung điếm của cạnh huyền BH nên
 1
 KO O B O H BH R
 1 1 1 2 1
 O1; R1 là đường tròn ngoại liếp BHK . Tương tự. ta có O2 ; R2 là đường tròn ngoại liếp HIC .
Ta có R1 R 2 O1H O2H O1O2 nên O1; R1 tiếp xúc ngoài tai H với O2 : R2 .
Trường hợp 2 : 
Xét ABC có Bµ 90 (hoácC 90) (Các hình vẽ khác ta chứng minh tương tự). Lập luận 
tương tự như trường hợp 1 ta có:
 O1O2 R2 R1 nên (O1; R1) và O2 : R2 tiếp xúc trong tại H .
Dạng 2: Chứng minh các tính chất và hệ thức hình học
Bài 5: Cho hai đường tròn O; R và (O '; R) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
 BC, B O ,C O ' . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC lại I . 
Chứng minh rằng :
a) S· IO ' 90 ; b) BC 2 RR ' .
Giải
a)
 µ µ µ µ
Ta có IB, IA là hai tiếp tuyến của O nên I1 I2 ; IC, IA là hai tiếp tuyến của O ' nên I3 I4 
 ·    
Suy ra : OIO I2 I3 180 : 2 90
b) Ta có IB, IA là hai liếp tuyến của O nên IB IA và IA  OA ; IC, IA là hai tiếp tuyến 
của O’ nên IC IA và IA  O ' A . Suy ra : IA IB IC . Ba điếm O, A,O ' thẳng hàng và IA  OO’ . Áp dụng hệ thức : h2 b'.c’ vào tam giác vuông
 OIO’ , ta có : IA2 OA.O’A IA R.R’ .
Mạt khác : BC IB IC 2IA nên BC 2 RR ' .
Bài 6: Cho hai đường tròn O và O ' cắt nhau tại A và B , trong đó O ' nằm trên đường 
tròn O . Kẻ đường kính O 'C của dường tròn O .
c) Chứng minh rằng CA, CB là hai liếp tuyến của (O’).
d) Đường vuông góc với AO’ tại O ' cắt CB tại I . Đường vuông góc với AC tại C cắt 
đường thẳng O ' B ở K . Chứng minh rằng ba điếm O, I, K thẳng hàng.
a) Tam giác CAO’ có đường trung tuyến AO ứng với cạnh CO’ bằng nửa cạnh CO’ 
nênC· AO’ 90 . Mà A O’ nên CA là liếp tuyến của O’ tại A .
Tương tự ta có CB là tiếp tuyến của (O').
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì :
Từ (3), (4) (5) suy ra O, I, K cùng thuộc đường trung trực của CO’.
Vây ba điếm O, I, K thẳng hàng.
Bài 7. Cho hai đường tròn O1; R1 và (O2 ; R2 ) (với R1 R2 ) tiếp xúc ngoài tại A ; Kẻ các tiếp 
tuyến chung ngoài BC và DE (với B, D O1 ;C, E O2 ). Chứng minh rằng : 
 BC DE BD CE 
Giải
Vẽ tiếp tuyến chung tại A lần lượt cắt BC, DE tại M và N. Vì MA, MB là tiếp tuyến của 
 O1 nên MA = MB.
Vì MA, MC là tiếp tuyến cúa (O2) nên MA = MC => MA = MB = MC.
Chứng minh tương tự ta có : NA = ND = NE.
 BC DE 2MN . (1)
Gọi giao điểm của BC và DE là K, khi đó K thuộc đường thẳng O1O2 => KB = KD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà O1B O1D R1 nên KO1 là trung trực của đoạn BD O1O2  BD .
Chứng minh tương lự ta được O1O2  CE
=> tứ giác BCED là hình thang (vì BD // CE).
Vì M, N lần lươt là trung điếm của BC và DE nên 2MN = BD + CE (2) (tính chất dường trung 
bình).
Từ (1) và (2) suy ra : BC + DE = BD + CE.
Bài 8. Cho hai đường tròn O1 , O2 ngoài nhau, vẽ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD 
(với A, D thuộc O1 ; B,C thuộc O2 ). Nối AC cắt O1 tại M ; cắt O2 tại N ( M A, N C
). Chứng minh rằng : AM NC 
Giãi
Vẽ đường trung trực d của đoạn AB, d cắt O1O2 tại I. Khi đó IA = IB.
Ta có B và C đối xứng nhau quaO1O2 IB IC IA IC .
Kẻ IH  AC tại H ta có HA = HC (vì IAC cân tại I).
Kc O1K  AC tai K, O2G  AC tạiG O1K / /IH / /O2G .
Xét hình thang ABO2O| (vì O1 A / /O2 B do cùng vuông góc với AB) ta có d / / AO1 / /BO2 và d 
di qua trung điểm của AB nên d đi qua trung điểm của O1O2 hay I là trung điểm của O1O2 .
Xét hình thang O1KO2G có IH / /O1K / /O2G và I là trung điếm của O1O2 nên H là trung điếm 
của KG HK HG HA HK HC HG hay AK GC 2AK 2GC AM CN 
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 9: Trong hình dưới cho hai đường tròn đồng tâm O . Cho biết BC là đường kính của 
đường tròn lớn và có độ dài bằng 8. Dây CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ vàB· CD 30 
. Hãy tính bán kính của đường tròn nhỏ. Giải
Ta có BC 8 nên bán kính đường tròn lớn là OC 4 . Vì CA là tiếp tuyến của đường tròn 
nhỏ nên CD  OM OM OC sin 300 2 .
Bài 10: Cho hai đường tròn O; R và O '; R cắt nhau tại M , N . Biết 
 OO ' 24cm, MN 10cm . Tính R .
Giải
Gọi giao của OO ' và MN là I. Vì OM ON O 'M O ' N R nên tứ giác OMO ' N là hình 
thoi OO '  MN tại I là trung điểm của mỗi đoạn OO ' và MN. Do đó 
 1 1
 IM MN 5cm; IO OO ' 12cm .
 2 2
Áp dụng định lý Py ta go vào MIO ta có R OM IM 2 IO2 52 122 13 cm .
Bài 11: Cho hai đường tròn (O; R) và (O '; R ') tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài 
 MN với M thuộc O , N thuộc O ' . Biết R 9cm.R ' 4cm . Tính độ dài đoạn MN .
Giải
Ta có : OO' = OA + O'A = 9 + 4 = 13 (cm).
Kẻ OH  OM tại H => tứ giác O'NMH là hình chữ nhật
=> MH = ƠN = 4 (cm); MN = O H => OH = OM - MH = 9- 4 = 5 (cm).
Áp dụng định lí Py-ta-go vào AOO H. ta có
 MN O ' H OO '2 OH 2 132 52 12 (cm)
Bài 12: Cho hai đường tròn O;3cm và (O ';4cm) cắt nhau tại A và B . Qua A kẻ một cát 
tuyến cắt O tại M M A , cắt O ' tại N N A . NếuOO ' 5cm , hãy tính giá trị lớn nhất 
của MN .
 Giai
Kẻ OH  AM tại H,OK  AN tại K và OI  O ' K tại I.
=> HM = HA, KA = KN và tứ giác HOIK là hình chữ nhạt => MN = 2HK và HK OI .
Ta có : OI OO’ (đường vuông góc và đường xiên)
 MN 2HK 2OI 2OO ' 10 cm 
Dấu “=” xảy ra OI OO ' I  O ' d / /OO '.
Vây giá trị lớn nhất của MN bằng 10cm khi cát tuyến d song song với OO'.