Phiếu bài tập số 8 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 46: Cung chứa góc (Có đáp án)

 HỌC KÌ II – TUẦN 5 – TIẾT 46 – CUNG CHỨA GÓC (Phiếu số 8)
 Dạng 1: Quỹ tích là cung chứa góc 
 Bài 1: Cho nửa đường tròn(O;R) đường kính AB . Vẽ dây MN R (điểm M ở trên cung A»N ). 
Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Hỏi khi dây MN di động thì điểm I di động trên đường nào ?
 Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây AC quay quanh A . Trên nửa mặt phẳng 
bờ AC không chứa B ta vẽ hình vuông ACDE . Hỏi:
 a) Điểm D di động trên đường nào?
 b) Điểm E di động trên đường nào?
 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC ra phía 
ngoài tam giác. Qua A vẽ cát tuyến MAN ( Mthuộc nửa đường tròn đường kính AB , N thuộc nửa 
đường tròn đường kính AC ).
 a) Tứ giác BMNC là hình gì?
 b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi cát tuyến MAN quay quanh A .
 Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn
 Bài 1: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) . Một dây DE song song với BC cắt AC ở F. 
Tiếp tuyến tại B cắt DE ở I . Chứng minh A,I,B,F cùng thuộc một đường tròn.
 Bài 2: Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA,SB và cát tuyến SCD với 
đường tròn. Gọi I là trung điểm CD . Chứng minh 5 điểm A,I,O,B,S cùng thuộc một đường tròn.
 Bài tập về nhà:
 Bài 1:Trên đường tròn (O;R) lấy hai điểm B ;C cố định sao cho số đo cung BC là 1280 . Lấy 
điểm A di động trên cung lớn BC . Gọi M là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC . Chứng 
minh M nằm trên một đường tròn cố định.
 Bài 2: Cho tam giác ABC có góc B , góc C nhọn. AH là đường cao, AM là đường trung 
tuyến, biết rằng B· AH M· AC . Gọi E là trung điểm AB .
 a) Chứng minh A,M,H,E cùng thuộc một đường tròn.
 b) Chứng minh B· AC 900.
 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có Aµ 900. Đường tròn (O;AB) cắt đường thẳng BC tại 
E . Đường tròn (C;CB) cắt đường thẳng AB tại K . Chứng minh:
 a) DE DK . b) A,D,C,K,E cùng thuộc một đường tròn. HƯỚNG DẪN GIẢI
 Dạng 1: Quỹ tích là cung chứa góc 
 )
 Bài 1.Cho nửa đường tròn(O;R) đường kính AB . Vẽ dây MN R (điểm M ở trên cung AN ). 
Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Hỏi khi dây MN di động thì điểm I di động trên đường nào ?
 Hướng dẫn:
 N
 M
 I
 A O B
 Phần thuận:
 )
 MN R nên OMN đều sđMN 600
 1 ) ) 1
 Ta có: A· IB sđAB sđMN 1800 600 1200
 2 2 
 I thuộc cung chứa góc 1200 dựng trên đoạn AB nằm cùng phía với nửa (O;R) .
 Phần đảo:
 Lấy điểm I' bất kì thuộc cung chứa góc 1200 dựng trên đoạn AB nằm cùng phía với nửa đường 
tròn (O;R) .
 Gọi M' và N' lần lượt là giao của các tia BI' và AI' với (O;R) .
 1 ) )
 Ta có: A· I'B (sđM ' N ' sđAB)
 2
 )
 sđM ' N ' 600 hay M· 'ON ' 600 .
 Suy ra OM ' N ' đều, hay M ' N ' R .
 Kết luận: Quỹ tích các điểm I là cung chứa góc 1200 dựng trên đoạn AB nằm cùng phía với 
nửa đường tròn (O;R) .
 Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây AC quay quanh A. Trên nửa mặt phẳng 
bờ AC không chứa B ta vẽ hình vuông ACDE . Hỏi
 a) Điểm D di động trên đường nào? b) Điểm E di động trên đường nào?
 Hướng dẫn:
 D
 I
 E
 C
 2
 1
 A O B
 a) A· CB 900 BC  AC . 
 Mà DC  AC D, C, B thẳng hàng.
 Có A· DB 450 nên điểm D thuộc cung chứa góc 450 dựng trên đoạn AB nằm cùng phía với 
 O . 
 b) Kẻ tiếp tuyến với O tại A, cắt DE tại I. 
 µ µ ·
 A1 A2 (cùng phụ với IAC )
 EIA CBA AI AB I cố định.
  A· EI 900 nên E thuộc nửa đường tròn đường kính AI khác phía với (O).
 Bài 3.Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC ra phía 
ngoài tam giác. Qua A vẽ cát tuyến MAN ( Mthuộc nửa đường tròn đường kính AB , N thuộc nửa 
đường tròn đường kính AC ).
 a) Tứ giác BMNC là hình gì?
 b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi cát tuyến MAN quay quanh A .
 Hướng dẫn N
 A
 I
 M
 B O C
 a) Tứ giác BMNC là hình thang.
 b) Gọi O là trung điểm BC . Ta có OI là đường trung bình của hình thang BMNC nên 
OI / /BM / /NC O· IA 900 .
 Do B , C cố định nên O cố định; A cố định.
 Vậy I thuộc đường tròn đường kính OA. 
 Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn
 Bài 1: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) . Một dây DE song song với BC cắt AC ở F. 
Tiếp tuyến tại B cắt DE ở I . Chứng minh A,I,B,F cùng thuộc một đường tròn.
 Hướng dẫn:
 A
 I F E
 D
 O
 B C
  A· BI A· CB (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung); 
  A· CB A· FI (đồng vị; DE // BC )
 Suy ra A· BI A· FI A· CB (không đổi)
 Suy ra A,I,B,F thuộc cung chứa góc A· CB dựng trên đoạn AI. Hay bốn điểm A,I,B,F cùng 
thuộc một đường tròn.
 Bài 2: Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA,SB và cát tuyến SCD với 
đường tròn. Gọi I là trung điểm CD . Chứng minh 5 điểm A,I,O,B,S cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn: 
 A
 S O
 C
 I
 D
 B
  SA, SB là các tiếp tuyến với (O) nên ta có: S·AO S·BO 900.
 Suy ra A, B cùng thuộc đường tròn đường kính SO (1)
  IC ID OI  CD S· IO 900 (tính chất đường kính và dây của đường tròn)
 Suy ra I thuộc đường tròn đường kính SO (2)
 Từ (1) và (2) suy ra A,I,O,B,S cùng thuộc một đường tròn.
 Bài tập về nhà:
 Bài 1: Trên đường tròn (O;R) lấy hai điểm B ;C cố định sao cho số đo cung BC là 1280 . Lấy 
điểm A di động trên cung lớn BC . Gọi M là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC . Chứng 
minh M nằm trên một đường tròn cố định.
 Hướng dẫn:
 A
 O
 B C
 y
 x
 M
 1 )
  B· AC sđBC 640
 2
 A· BC B· CA 1160
 x·BC y·CB 1800 (A· BC A· CB) 2440 1
 M· BC M· CB (x·BC y·CB) 1220
 2
 B· MC 1800 (M· BC M· CB) 580
  Vì B , C cố định nên quỹ tích điểm M là cung chứa góc 580 dựng trên đoạn BC .
 Bài 2: Cho tam giác ABC có góc B , góc C nhọn. AH là đường cao, AM là đường trung 
tuyến, biết rằng B· AH M· AC . Gọi E là trung điểm AB.
 a) Chứng minh A,M,H,E cùng thuộc một đường tròn.
 b) Chứng minh B· AC 90o
 Hướng dẫn:
 A
 E
 B C
 H M
 a)  ME là đường trung bình của ABC nên ME // AC , suy ra M· AC A· ME (1)
 1
  AHB có A· HB 900; AE EB AB nên AE = HE.
 2
 Do đó AHE , suy ra E·HA E· AH (2)
  Lại có B· AH M· AC (giả thiết) (3)
 Từ (1), (2), (3) suy ra A· ME A· HE
 Suy ra A,M,H,E cùng thuộc một đường tròn.
 b) A,M,H,E cùng thuộc một đường tròn nên A· EM A· HM 900 ME  AB
 Mà ME // AC AC  AB hay B· AC 900.
 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có Aµ 900. Đường tròn (O;AB) cắt đường thẳng BC tại 
E . Đường tròn (C;CB) cắt đường thẳng AB tại K . Chứng minh:
 a) DE DK .
 b) A,D,C,K,E cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn:
 D C
 A B K
 E
a) Tam giác ABE cân tại A nên A· BE A· EB
Tam giác CBK cân tại C nên C· BK C· KB
Mà A· BE C· BK (đối đỉnh)
 A· EB C· KB
 B· AE B· CK
Lại có D· AB D· CB (tính chất hình bình hành)
Suy ra D· AE K· CD
Từ đó suy ra DAE KCD (c.g.c)
 DE DK (hai cạnh tương ứng)
b) Có: D· KA K· DC; K· DC A· ED D· KA D· EA
Suy ra K,E,A,D cùng thuộc một cung chứa góc dựng trên đoạn AD (1)
 E·AK E· CK , suy ra E,A,K,Ccùng thuộc một cung chứa góc dựng trên đoạn EK (2)
Từ (1) và (2) suy ra A,D,C,K,E cùng thuộc một đường tròn đi qua E,K,A .