Phiếu bài tập số 9 môn Hình học Lớp 9 - Tiết 4: Luyện tập Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - Đào Thị Ngọc Quỳnh (Có đáp án)

 PHIẾU SỐ 9 – HÌNH HỌC 9 TIẾT 4 – LUYỆN TẬP MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ 
 ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 TỔ 3 – GV ĐÀO THỊ NGỌC QUỲNH
1. Kiến thức cơ bản
Hệ thức lượng A
-Định lí 1: b2 a.b’; c2 a.c’
 b
 c
-Định lí 2: h2 b’.c’
 h
-Định lí 3: a.h b.c
 1 1 1 c' b'
 C
-Định lí 4: 2 2 2 B
 h b c H a
-ĐỊnh lí Pytago: b2 c2 a2
2.Bài tập
2.1. Dạng bài tập chứng minh hệ thức
Bài 1:Cho VABC vuông tại A , chứng minh đầy đủ các hệ thức lượng cơ bản:
 a) b2 = a.b’; c2 = a.c’
 B
 b) h2 = b’.c’
 2 2 2 c'
 c) b + c = a H
 a
 c h
 b'
 A b C
Bài 2:Cho VABC vuông tại A , chứng minh đầy đủ các hệ thức lượng cơ bản: 
 a) a.h = b.c A
 1 1 1
 b) 
 h2 b2 c2 c
 b h
 b' c' B
 C
 a
Bài 3: Cho hình vuông ABCD và điểm I nằm giữa A và B . Tia DI cắt BC ở E . Đường thẳng 
kẻ qua D vuông góc với DE cắt BC ở F . a) VDIF là tam giác gì ? Vì sao?
 1 1 1
 b) Chứng minh rằng 
 DI2 DE2 DC2
Bài 4: Cho VABC với các đỉnh A, B,C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là a, b, c.
 a) Tính diện tích VABC theo c
 b) Chứng minh: a2 b2 c2 4 3S
2.2.Dạng 2: Tính toán
Bài 1:Hãy tính x, y trong các trường hợp sau: 
 14
 6 8
 x y
 x y
 16
 Hình a Hình b
 y
 x x
 2 6 2 8
 Hình c Hình d
Bài 2: Cho VABC vuông tại A , đường cao AH . Với AH 16; BH 25 . Tính AB, AC, BC,CH
Bài 3:Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh 
huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền.
Bài 4: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh 
nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Bài 5:Cho VABC vuông tại A có AB 6cm, AC 8cm . Các đường phân giác trong và ngoài của 
góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N . Tính các đoạn thẳng AM và AN Bài 6*:Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB 6cm , cạnh bên AD 4cm và hai 
đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC,CB và đường chéo DB
 B
3.Hướng dẫn giải bài tập
 c'
3.1: Dạng bài chứng minh hệ thức H
Bài 1: Hướng dẫn : a
 c h
a) Xét VABC và VHAC có: b'
 - B· AC ·AHC 90o
 - Chung ·ACH
 AC HC b b' A b C
 VABC : VHAC hay 
 BC AC a b
 b2 a.b'
Tương tự: c2 a.c'
b) Xét VHBA và VHAC có: 
 - B· HA ·AHC 90o
 - ·ABH H· AC (cùng phụ B· CA )
 AH HB h c'
 VHBA : VHAC hay h2 b'.c '
 HC HA b' h
c) b2 c2 a.b' a.c ' a(b' c ') a.a a 2
Bài 2: Hướng dẫn :
 A
a) a.h = 2.SABC = b.c
 1 1 1 1 c ' b' c
b) 2 2 
 b c a.b' a.c ' a.b'.c ' a.c '.b' b h
 b' c ' a 1 1 b' c' B
 2 C
 a.b'.c ' a.b'.c ' b'.c ' h a
Bài 3: Hướng dẫn : a) VAID =VCFD (g.c.g) nên DI DF . Vậy VDIF là tam giác vuông cân ở D
 b) VEDF vuông ở D , có DC  EF nên theo hệ thức lượng ta có: E
 1 1 1 1 1 1
 2 2 2 , mà DE DI nên 2 2 2
 DF DE DC DI DE DC I
 B
 A
 D C
Bài 4: F
a)Ta giả sử góc A là góc lớn nhât của VABC => B,C là các góc nhọn.
Suy ra chân đường cao hạ từ A đến BC là điểm H thuộc cạnh BC . A
Ta có BC BH HC c
 b
Áp dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông AHB, AHC ta có: h
 2 2 2 b' c' B
 AB AH HB C
 AC 2 AH 2 HC 2 a
Trừ 2 đẳng thức trên ta có:
 c2 b2
 c2 – b2 HB2 – HC 2 HB HC HB HC a. HB – HC HB – HC = 
 a
ta cũng có:
 a2 c2 b2
 HB HC a BH . Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHB
 2a
 a2 c2 b2 a2 c2 b2 a2 c2 b2
 AH 2 c2 ( )2 (c )(c )
 2a 2a 2a
 (a c)2 b2 b2 (a c)2 (a b c)(a c b)(b a c)(b a c)
 . 2
 2a 2a 4a
Đặt 2 p a b c thì:
 16 p( p a)( p b)( p c) p( p a)( p b)( p c)
 AH 2 AH 2
 4a2 a 1
Từ đó tính được: S BC.AH p( p a)( p b)( p c)
 2
 1
b)Từ câu a ta có: S BC.AH p( p a)( p b)( p c) , áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
 2
 6
 p q p b p c p6
 ( p a)( p b)( p c) 
 3 27
 3(a2 b2 c2 )
Suy ra: S a2 b2 c2 4 3S
 12 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
3.2: Dạng bài tính toán
Bài 1: Hướng dẫn:
a) Áp dụng định lí Py-ta-go: b2 c2 a2 x y 2 62 82 100 102 x y 10
 b2 64
Áp dụng hệ thức lượng: b2 a.b' b' y 6,4
 a 10
 c2 36
Tương tự: c2 a.c' c' x 3,6
 a 10
 b2 142
b) Áp dụng hệ thức lượng: b2 a.b' b' y 12,25 , suy ra: x = 16 – y = 3,75
 a 16
c) Ta có: a = 2 + 6 = 8 
Áp dụng hệ thức lượng: b2 a.b' b y a.b' 8.6 48 4 3
Tương tự: c2 a.c' c x a.c' 8.2 16 4
d) Áp dụng hệ thức lượng: h2 b'.c' x h b'.c' 2.8 4
Bài 2: Hướng dẫn:
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AB AH2 BH2 162 252 881 29,68
 AH2 162
Áp dụng hệ thức lượng: h2 b'.c' CH 10,24
 BH 25
BC = CH + BH = 10,24 + 25 = 35,24
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AC BC2 AB2 35,242 881 18,99
Bài 3: Hướng dẫn : Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: 
 A
 BC AB2 AC2 52 72 74 8,60
Áp dụng hệ thức lượng: 
 5 7
 AC2 72 49
 b2 a.b' CH 5,70
 BC 74 74
 C
Áp dụng hệ thức lượng: B H
 AB2 52 25
 c2 a.c' BH 2,91
 BC 74 74
 25 49 35
Áp dụng hệ thức lượng: h2 b'.c' AH BH.CH . 4,07
 74 74 74
Bài 4:
 Hướng dẫn :
Gọi b, c là 2 cạnh của tam giác vuông. Ta có các hệ thức sau: c
b' + c’ = 5 (1) b h
 b'.c' 22 (2)
Giả sử b’ <c’. Từ (1) và (2) suy ra b’ = 1; c’ = 4 b'
Cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông đã cho là cạnh b (có hình c'
chiếu trên cạnh huyền là b’)
Ta có : b2 5.b' 5.1 5 b 5
Bài 5: 
 Hướng dẫn :
 N
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: BC AB2 AC2 10cm
 AM CM AM AB
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: hay 
 AB CB CM CB A
 M
 AM AB AM 6
Suy ra: AM 3cm
 AM CM AB CB 8 16
 C
Xét VBMN , do BM , BN lần lượt là đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh B
 B của VABC nên BM  BN
Vậy VBMN vuông tại B
 BA2
Áp dụng hệ thức lượng ta có: BA2 AM.AN AN 12cm
 AM
Bài 6: Hướng dẫn: Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H .
 AD2 DH.DB HD 4
Trong VABD vuông có: 
 AB2 BH.DB HB 9
 DC HD 4 4 8
Dễ thấy VHDC ~VHBA (g.g) nên DC .AB cm C
 AB HB 9 9 3 D
 10
Kẻ đường cao CK của VABC , dễ thấy KB AB – DC 
 3 H
 244 2 61
Từ đó BC2 KB2 KC2 KB2 AD2 BC cm 
 9 3 B
 A K
Tam giác VABD vuông có: DB AB2 AD2 52 2 13 cm