Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol

I - phần mở đầu
 I .1 - lí do chọn đề tài
	I.1.1 Cơ sở lí luận:
 Môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của trương THCS:Góp phần hình thành những con người có trình độ học vấn phổ thông cơ sở,đó là những con người biết rèn luyện để có tính độc lập,có tư duy sáng tạo,phẩm chất đạo đức để đáp ứng yêu cầu hiện nay.
 Để thực hiện thành công nhiệm vụ đó phải rèn cho học sinh phương pháp học tập cũng như phương pháp giảng dạy giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói riêng.
 Chương trình toán rất rộng,các em được lĩnh hội nhiều kiến thức,các kiến thức đó lại có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.Do vậy khi học các em cần nắm vững kiến thức cơ bản từ đó vận dụng chúng vào giải các loại toán cụ thể.
Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt có nhiều tài liệu sách báo đã nói tới.Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức mà điều cần thiết là phải nắm được phương pháp một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức một cách dễ hiểu nhất.
 Yêu cầu của dạng toán sự tương giao của đường thẳng và parabol là học sinh phải nắm được cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b và đồ thị hàm số 
y = ax2 (aạ0), biết cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn đã học ở lớp 8 và lớp 9.
	I.1. 2 . Lí do thực tiễn:
Trong tinh thần đỗi mới phương pháp dạy học đối với môn toán,việc hình thành tư duy lôgíc, phát huy tính tích cực độc lập của học sinh là hết sức quan trọng, việc học tập các phương pháp giải toán , hình thành kĩ năng kĩ xảo vận dụng các kiến thức toán học vào giải các dạng toán cụ thể là hết sức cần thiết.
 Khi nghiên cứu việc học toán và giải toán của học sinh THCS có nhiều vấn đề cần bàn, ở đây khi đi nghiên cứu thực tế và trao đổi với các đồng nghiệp dạy toán ở THCS mà đặc biệt là giáo viên dạy toán 9 chúng tôi thấy loại toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường thẳng,đường thẳng và parabol vẫn thường được đề cập tới trong các đề thi vào THPT và các em thường gặp khó khăn: do không vẽ được đồ thị, hoặc chưa nắm được nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn, điểm chung (nếu có) của hai đường thẳng, đường thẳng và parabol chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
 I.2. Mục đích nghiên cứu
 Ngay từ khi là học sinh phổ thông các em cần thấy được vai trò to lớn của toán học, giúp học sinh hoạt đọng hiệu quả trong mọi lĩnh vực nhờ kiến thức và phương pháp toán học.Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị đặt ra cho các em nhiều thách thức không nhỏ khi giải các dạng toán này.
 Với ý nghĩa đó tôi muốn phân tích bài toán chỉ ra bản chất của vấn đề giúp học sinh hiểu và từ đó giải được các bài toán dạng này để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường THCS.
 I.3. Thời gian, địa điểm :
	 Tôi tiến hành chuyên đề này trong năm học 2008 - 2009 và áp dụng vào 2 lớp 9A và 9B của trường THCS Bình Khê 
	I.4 : Đóng góp mới về mặt lý luận và về mặt thực tiễn 
	Thông qua chuyên đề phát huy được tính tính cực của học sinh trong học tập ; Học sinh biết khai thác lý thuyết , khai thác giả thiết bài toán , xây dựng cách giải một bài toán có sáng tạo ; phát triển những bài toán mới gây hứng thú cho học sinh 
II - phần nội dung
 II.1 Chương 1 : tổng quan 
	- Các bài toán về viết phương trình đường thẳng , phương trình đường cong .
	- Các bài toán điểm thuộc đường thẳng . điểm thuộc đường cong , trung điểm đoạn thẳng 
	- Các bài toán về giao điểm của đường thẳng , đường cong , họ đường thẳng , họ đường cong 
	- Phương trình tiếp tuyến , phương trình cát tuyến , hệ số góc .
 II . 2 Chương 2 : Nội dung vấn đề nghiên cứu 
	II.2.1 : Vị trí tương đối của hai , ba đường thẳng trong cùng một mặt phẳng toạ độ
Trước hết ta cần nhớ lại những kiến thức cơ bản về sự tương giao của hai đường thẳng:
Cho (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và một điểm A(xA;yA) ta sẽ có:
A
A
 Muốn tìm toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) ta tìm nghiệm của hệ phương trình:
Vì vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị chính là nghiệm của hệ phương trình trên.
Ta cũng cần nhớ lại vị trí tương đối của hai đường thẳng:
cho hai đường thẳng y = ax + b (a) (d) và đường thẳng y=
 Phương trình hoành độ giao điểm chung của (đ) và là:(1)
(d) // phương trình (1) nghiệm a = a, và b b,
(d) trùng phương trình(1) có vô số nghiêm a = a, và b b,
(d) cắt phương trình(1) có một nghiệm a a,
 Dạng1 : Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.
Ví dụ1: 
Cho hai hàm số y = x + 3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d,)
a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.
Nhận xét:
gặp dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá trị của x;y
Giải:
 a) Vẽ đồ thị hai hàm số: 
 b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
 x + 3 = 2x + 1
 x = 2 suy ra y = 5
Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị là : ( 2; 5)
Dạng 2 : Tìm toạ độ giao điểm của 3 đường đồng quy 
Ví dụ 2:
 Cho 3 đường thẳng lần lượt có phương trình:
(D1) y = x + 1
(D2) y = -x + 3
(D3) y = (m2- 1)x + m2 - 5 (với m 
Xác định m để 3 đường thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy.
Nhận xét: 
3 đường thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy tại một điểm nào đó chẳng hạn điểm A(x;y) thì rõ ràng (x;y) là một nghiệm của 3 phương trình trên hay (x;y) là nghiệm của và là nghiệm của (D3)
Giải:
Hoành độ giao điểm B của (D1) ,(D2) là:
 -x + 3 = x + 1 x = 1 thay vào y = x + 1suy ra y = 2
 Để 3 đường thẳng đồng quy thì (D3) phải đi qua điểm B nên ta thay x = 1; y = 2 vào phương trình (D3) ta có: 
2 = (m2 - 1)1 + m2 – 5 m2 = 4m = 2; m = -2.
Vậy với m = 2; m = - 2 thì 3 đường thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy.
Dạng 3 : Tìm toạ độ giao điểm của họ đường thẳng 
VD 3 : Cho đường thẳng :
(m – 2)x + (m – 1)y = 1 (m là tham số) (D)
Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m 
Nhận xét : 
Do với mọi m đường thẳng luôn đi qua một điểm cố địnhnên bất cứ đường thẳng nào trong chúng đều đI qua điểm cố định đó do vậy chỉ cần chọn hai đường thẳng cụ thể trong họ. Nên ta có thể lấy 2 giá trị m tuỳ ý thay vào phương trình đường thẳng ta có hai phương trình đường thẳng cụ thể giải hệ tìm nghiệm có toạ độ giao điểm cần tìm . nhưng toạ độ đó có thoả mãn với mọi m không thì ta phải thay vào phương trình tham số nếu triệt tiêu m (hay nói cách khác họ đường thẳng luôn đin qua điểm cố định đó) thì toạ độ giao điểm tìm được thoả mãn với mọi m 
Cách 2 là ta giả sử toạ độ giao điểm là xo;yo thì toạ độ giao điểm phải thoả mãn phương trình . Thay toạ độ vào ta có phương trình bậc nhất ẩn m . mà với mọi m phương trình đều thoả mãn nên các hệ số của phương trình bậc nhất đó đều bằng không . Ta giải hệ tìm được toạ độ của họ đường thẳng 
Giải 
Cách 1 :
Với m = 1 ta có : -x = 1 (d1)
Với m = 2 ta có : y = 1 (d2)
 Giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ 
Vậy giao điểm của hai đường thẳng là (-1;1) 
Thay x = -1 ; y = 1 vào phương trình tham số ta có : 
2 – m + m – 1 = 1 hay 1 = 1 thoả mãn với mọi m 
Vậy đường thẳng (D) luôn đI qua điểm (-1;1) với mợi m
Cách 2 : 
điều kiện cần và đủ để đường thẳng 
(m – 2)x + (m – 1)y = 1 (D) đi qua điểm cố định N(xo;yo) là :
(m – 2)xo + (m – 1)yo = 1 Với m
 mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0 Với m
m(xo + yo ) – (2 xo + yo +1) = 0 Với m
điều này chứng tỏ x , y phải thoả mãn đồng thời :
Vậy đường thẳng (D) luôn đi qua điểm cố định (-1;1)
 Dạng 4 : Tìm toạ độ giao điểm của hai họ đường thẳng
Ví dụ : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét họ đường thẳng ( dm ) : mx + ( m+1 ) y= 2+3m và họ đường thẳng (d’m) : (m+1)x – my = 1-m chứng minh với mọi giá trị của m họ ( dm )và (d’m) luôn cắt nhau tại 1 điểm cố định 
Nhận xét : 
 Cách 1 : Ta có thể chứng minh họ ( dm ) luôn qua điểm cố định rồi chỉ ra toạ độ điểm đó thoả mãn phương trình (d’m) với mọi m 
Cách 2 : Do họ ( dm )và (d’m) luôn đi qua điểm cố định với mọi m , nên bất cứ đường thẳng nào trong 2 họ đều đI qua điểm cố định đó , do vậy chọn 2 đường cụ thể của 2 họ giảI hệ tìm toạ độ giao của chúng , sau đó chứng minh toạ độ đó luôn thuộc 2 họ ( dm )và (d’m) với mọi m 
Bài giải
Cách 1 : Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (dm) : mx + (m +1) y = 2 + 3m 
đi qua M ( xo,yo ) là mxo +( m +1)yo = 2 + 3m với mọi m 
 mxo + myo + yo – 2 – 3m = 0 
m ( xo + yo- 3 ) + (yo-2) = 0 với mọi m 
xo + yo- 3 = 0 và yo- 2 = 0 
yo = 2 , xo = 1 . 
Vậy toạ độ điểm cố định M ( 1; 2 ) 
Thay x = 1 , y = 2 vào (d’m) : (m + 1)x – my = 1- m có m +1 – 2m = 1 – m 
 suy ra 1 = 1 Vậy M (1; 2) thoả mãn phương trình (d’m) với mọi m 
Cách 2 : Xét m = 0 ta có (d1) : y = 2 và ( d’1) : x = 1 ta thấy(d1) và (d’1) cắt nhau tại điểm M ( 1; 2 ) thay x = 1 , y = 2 vào ( dm ) : mx + (m+1)y = 2 + 3m có : m + 2 m + 2 = 2 + 3m suy ra 2 = 2 
Vậy toạ độ diểm M thoả mãn (dm) với mọi m , nên (dm) luôn đi qua điểm M cố định jThay x = 1 , y = 2 vào phương trình (d’m) : (m + 1)x – my = 1- m có : 
m + 1 - 2m = 1 – m suy ra 1 = 1 . Vậy toạ độ điểm M thoả mãn (d’m) với mọi m nên (d’m) luôn đi qua M cố định 
Vậy họ (dm) và (d’m) luôn đi qua điểm M (1;2)
Tương tự như vậy với họ 3 đường thẳng đồng quy 
II.2.2: Vị trí tương đối giữa đường thẳng
(D) y=f(x) và parabol (P) : y = g(x).
Ta cần nhớ lại hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phương trình
f(x) = g(x) (2)
Phương trình(2) là phương trình bậc hai.Ta thấy:
(D) và (P) không có điểm chung phương trình(2) vô nghiệm
D) tiếp xúc (P) 	phương trình(2) có một nghiệm
D) cắt (P) tại hai điểm 	phương trình(2) có hai nghiệm
Sau đây là một số bài toán về sự biện luận giữa đường thẳng và parabol.
Dạng 1: Bài toán chứng minh
 Ví dụ : Chứng minh rằng: Đường thẳng (D): y = 4x - 3 tiếp xúc với parabol (P): y=2x2- 4(2m-1)x + 8m2 - 3
Nhận xét:
Gặp dạng toán này học sinh sẽ lúng túng để tìm phương pháp giải vì học sinh không nắm được đường thẳng (D):y = 4x - 3 tiếp xúc với parabol (P):
 y=2x2- 4(2m-1)x + 8m2-3 tại một điểm thì điểm đó là nghiệm của hai phương trình vậy phương trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ đó ta có cách giải sau:
Giải:
Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phương trình:
2x2- 4(2m - 1)x + 8m2- 3 = 4x - 32x2- 8mx + 8m2 = 0 x2+ 4mx + 4m2 = 0
Ta có: với mọi giá trị của m nên Đường thẳng (D): 
y = 4x - 3 tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2- 4(2m-1)x + 8m2 - 3
 Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện
Ví dụ 1: 
Cho đường thẳng (D): y=x + 2m và parabol(P): y = -x2 – x + 3m
a)Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với parabol(P).
b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt parabol(P) tại hai điểm phân biệt A và B.Tìm toạ độ giao điểm A và B khi m = 3
 Nhận xét:
Tương tự như ví dụ trên ta sẽ lập phương trình hoành độ và đi xét sự có nghiệm của phương trình bậc hai:
Nếu có một nghiệm thì (D) và (P) có một điểm chung 
Nếu có hai nghiệm thì (D) và (P) có hai điểm chung.
Giải:
 ... uông góc là a.a’ = -1 để tìm ra giá trị của a sau đó vận dụng kiến thức như dạng hai để giải
Giải:
a)Ta có: 2y + 4x = 5 y = -2x + 2,5 nên phương trình đường thẳng (D) 
 có dạng:
y = - 2x + b (b) theo cách tìm của dạng 2 ta tìm được b = 
Vậy phương trình đường thẳng (D) là: y = -2x + 0,25
b)Ta có: x - 2y + 1 = 0 y = 0,5x + 0,5.
Đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng có phương trình:
x - 2y + 1 = 0 a.0,5 = -1 a = -2 suy ra (D): y = -2x + b
Theo cách làm của dạng 2,ta tìm được b = 1.
Vậy phương trình đường thẳng (D) có phương trình là: y = -2x + 1
c) Ta có: C(3;2) (D) 2 = 3a + b b = 2 - 3a 
Theo cách làm của dạng 2 ta tìm được a = 3 và suy ra b = -7 
Vậy phương trình đường thẳng (D) có phương trình là:y = 3x – 7
 Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm.
Ví dụ: Cho parabol (P): y = x2 - 2x - 3
Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đường thẳng (D): y = - 4x.
Giải:
 Gọi đường thẳng tiếp xúc với (P) là (d).
Do (d) song song với (D) nên d có dạng: y = - 4x + b (b.
Hoành độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
 x2 - 2x – 3 = - 4x + b x2 + 2x – 3 + b = 0 (2)
Ta thấy: (d) tiếp xúc với (P) phương trình (2) có nghiệm kép
Khi đó nếu điểm A(x0;y0) là tiếp điểm của (P) và (d) thì(do Anên ta có hệ phương trình;
Dạng 5 : Phương trình cát tuyến của đường cong
 Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) 
 Đường thẳng (D) Cắt đường cong (C) tại hai điểm phân biệt A và B được gọi là cát tuyến qua A ,B của đường cong ấy.
 Khi đường thẳng (D) cắt đường cong (C) : y = f(x) tại hai điểm A và B có hoành độ thoả mãn phương trình g(x) = 0 thì toạ độ điểm A và B thoả mãn hệ phương trình : 
Phương trình hệ quả của hệ phương trình (*) có dạng :
 y = f(x) + Q(x) . g(x) (3)
Trong đó Q(x) là biểu thức của x với hệ số bất định . Nếu ta chọn được Q(x) sao cho f(x) + Q(x) . g(x) = ux + v ( dạng nhị thức bậc nhất ) thì toạ độ của A và B đều thoả mãn phương trình y = ux + v đó chính là phương trình của cát tuyến cần tìm mà không cần tìm toạ độ của hai điểm A và B 
 Hệ (*) gọi là hệ phương trình đặc trưng của cát tuyến . Phương trình (3) gọi là phương trình hệ quả của hệ phương trình đặc trưng . 
 Phương trình (1) gọi là phương trình tung độ 
 Phương trình (2) gọi là phương trình hoành độ 
Ví dụ 1 : Cho parabol : y = x2 – x – 2 , Một đường thẳng đi qua M( 1;-1) cắt Parabol tại hai điểm A,B. Viết phương trình cát tuyến biết M là trung điểm của AB . 
 Nhận xét :
 Bài toán cho biết M là trung điểm của AB như vậy :
 và đường thẳng luôn đi qua M(1;-1) 
Như vậy ta có phương trình hoành độ chứa tham số của phương trình đường thẳng áp dụng Vi-et ta tìm được m từ đó viết được phương trình đường thẳng cần tìm .
Bài giải :
 Gọi phương trình cát tuyến cần tìm là : y = ax + b . vì đường thẳng đi qua M(1;-1) nên thay vào ta có : -1 = a + b a = - (1 + b) Vậy phương trình đường thẳng có dạng : y = - (1 + b)x + b Mặt khác ta có hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :
x2 – x – 2 = - ( 1 + b)x + b x2 + bx – (2 + b) = 0 
 Mặt khác Theo Vi – et Ta có x1 + x2 = - b nên b = - 2 Vậy a = 1 phương trình đường thẳng cần tìm là : y = x – 2
 Theo bài toán tổng quát trên ta thấy phương trình đường thẳng đi qua M(1;-1) có dạng y = ax – (1 + a) vậy phương trình hoành độ phải thoả mãn :
 y = f(x) + Q(x) .g(x) = ax – (1 + a) Q(x) .g(x) = ax – 1 – a - x2 + x + 2 
 Q(x) .g(x) = - x2 + (a + 1)x + 1 – a . Vậy phương trình hoành độ của giao điểm 2 cát tuyến có thể là - x2 + (a + 1)x + 1 – a = 0
 Ta thấy nếu ta bỏ bớt giả thiết của bài toán đó là trung điểm M của đoạn AB mà chỉ cần yêu cầu tìm cát tuyến của đường cong y = x2 – x – 2 biết hoành độ giao điểm thoả mãn một phương trình nào đó 
 Ta có bài toán :
 Ví dụ 2 : Viết phương trình đường thẳng (d) , 
 biết rằng (d) cắt parabol (P) : y = x2 – x – 2 tại các điểm có hoành độ thoả mãn phương trình - x2 + (a + 1)x + 1 – a = 0 
 Giải 
Toạ độ giao điểm A , B của (d) và (P) là nghiệm của hệ :
Đặt y = x2 – x – 2 + Q(x)( - x2 + (a + 1)x + 1 – a)
để biểu thức triệt tiêu x2 thì Q(x) = 1 khi đó y = ax – (1 + a) (3)
 Ta thấy phương trình - x2 + (a + 1)x + 1 – a = 0
 Có > 0 với mọi a vậy phương trình (3) là phương trình đường thẳng cần tìm . 
Ví dụ 3 : Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) cắt parabol 
(P) : y = x2 + mx + 5m (m là tham số)
Tại các điểm có hoành độ thoả mãn phương trình 3x2 + 7mx - = 0
(Lời giải tương tự)
 Dạng 5: Xác định parabol.
Ví dụ:Xác định parabol (P):y = ax2+bx+c thoả mãn:
a) (P) tiếp xúc với đường thẳng (D) : y=-5x + 15 và đi qua hai điểm (0 ; -1) và 
(4 ; -5). 
b) (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng 
 (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hoành độ là 1 và 3. 
Giải :
 a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5) 
Do đú parabol (P) là đồ thị của hàm số 
y = ax2 - (1 + 4a)x - 1. 
Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm phương trỡnh : 
ax2 - (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15 
 ax2 - 4(a - 1)x - 16 = 0 (5) 
Đường thẳng (D) tiếp xỳc với parabol (P) Phương trỡnh (5) cú nghiệm kộp 
 ∆’ = 0 4(a - 1)2 - 16a = 0 
 (a + 1)2 = 0 a = -1. 
Do đú : a = -1 ; b = 3 và c = -1. 
Vậy (P) là đồ thị hàm số y = -x2 + 3x - 1. 
b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 nờn (P) đi qua điểm 
(0 ; 2). (P) cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hoành độ là 1 và 3 
 Giao điểm của (P) với đường thẳng (D) là : (1 ; 0) và (3 ; 2). 
Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi 
Do đú a = 1 ; b = -3 và c = 2.
II.2.3 : Một số bài toán đề nghị :
Bài 1 : Cho parabol (P) y = và đường thẳng (d) : y = 
 a) gọi A và B là giao điểm của (P) và (d) tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất 
 b) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất 
Bài 2 : Chứng minh rằng đường thẳng y = - x luôn luôn cắt parabol 
y = x2 – 2(m + 2) x + m2 +3m tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó không phụ thuộc vào m 
	Bài 3 : Cho parabol y = - x2 + 6x – 5 . Gọi (d) là đường thẳng đI qua điểm A(3;2) và có hệ số góc bằng m .
 a) Chứng minh rằng với mọi m , đường thẳng (d) luôn luôn cắt Parabol tại hai điểm B,C phân biệt .
 b) Xác định đường thẳng (d) để BC có độ dài nhỏ nhất 
 Bài 4 : Cho Parabol y = x2 và hai điểm A,B thuộc Parabol với hoành độ tương ứng là -1 và 2 . Tìm điểm M trên cung AB của Parabol sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất .
 II .3 chương 3 : phương pháp nghiên cứu - kết quả nghiên cứu 
 II.3.1 - Phương pháp nghiên cứu:
3.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc tài liệu và sách báo liên quan tới đồ thị hàm số,phương trình bậc nhất một ẩn,phương trình bậc hai một ẩn
3.2 Phương pháp điều tra: Ra câu hỏi cho học sinh.
3.3Phương pháp nghiên cứu: Quan sát học sinh học tập.
II.3.2 - Kết quả nghiên cứu
 Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế giảng dạy của bản thân.Phần sự tương giao giữa đường thẳng và parabol còn nhiều bài toán và nhiều dạng nữa nhưng với khả năng của mình tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản mà các em thường gặp phải trong các kỳ thi.
 Với việc làm như đã nêu trên,bản thân tự nghiên cứu và áp dụng.Bước đầu tôi thấy được kết quả như sau:
Trước khi thực hiện chuyên đề này tôi cho hoc sinh lớp 9B là lớp tôi trực tiếp giảng dạy gồm 33 học sinh làm một bài toán giải về sự tương giao của đường thẳng và đường thẳng,đường thẳng và parabol tôi ghi lại kết quả theo dõi như sau:
 Điểm 9,10: 2 học sinh (= 6%)
 Điểm 5,6,7,8: 15 học sinh ( = 45%)
 Điểm dưới trung bình: 16 học sinh (= 49%)
Sau khi thực hiện chuyên đề này tôi thấy kết quả nâng lên rõ rệt:
 Điểm 9, 10: 6 học sinh (= 18%)
 Điểm 5, 6, 7, 8: 23 học sinh (= 70%) 
 Điểm dưới trung bình: 4 học sinh (= 12%) 
Ngoài kết quả mà các em đã đạt được qua khảo sát tôi còn thu được một số kết quả còn quan trọng hơn nhiều đó là: 
 - phần lớn học sinh đã say mê làm dạng toán này
 - Các em không còn lúng túng khi gặp dạng toán về sự tương giao giữa các đồ thị 
 - Các em có niềm tin say mê,hứng thú học toán,từ đó tạo cho các em tính 
độc lập suy nghĩ
 - Phát triễn tư duy lôgíc,óc quan sát,suy luận toán học.
 - Trong quá trình giải bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích suy ngẫm khái quát vấn đề một cách chặt chẽ không ngại khó mà rất tự tin vào khả năng học tập của mình.
 - Nhiều em học giỏi đã tìm ra các cách giải ngắn gọn hơn.
 Tuy nhiên bên cạnh các kết quả đạt được như mong muốn thì vẫn còn một số học sinh yếu,lười học chưa có khả năng tự giải bài toán. Đối với các em yếu đây là một việc khó khăn. Một phần cũng là do khả năng học toán của các em còn nhiều hạn chế,mặt khác dạng toán này cũng khó, đòi hỏi tư duy nhiều ở các em.
III. phần Kết Luậnvà kiến nghị 
	Các bài tập về Hàm số và đồ thị thường là mới lạ đối với học sinh , nhưng khi hướng dẫn học sinh xong chuyên đề (Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol) học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về hàm số và đồ thị sẽ dễ hơn . Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin hơn .
 Bài viết còn nhiều thiếu sót , rất mong được sự ủng hộ và giúp đỡ của các thày cô giáo để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn .
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Bình Khê ngày 20 tháng 5 năm 2009 
 Người viết 
	 Nguyễn Hồng Phương
VI - tài liệu tham khảo và phụ lục
Sách giáo khoa , sách giáo viên , sách bài tập lớp 9 
Toán nâng cao và phát triển đại số 9
Toán học tuổi thơ 2 và toán học tuổi trẻ
Sách giáo khoa giải tích lớp 12
V. Nhận xét của hội đồng khoa học cấp trường, phòng GD& đT
Mục lục
	Trang
I - phần mở đầu
	I .1 Lí do chọn đề tài :................................................................................................................. 1
	I.2. Mục đích nghiên cứu:........................................................................................................... 2
	I.3. Thời gian, địa điểm :.............................................................................................................. 2
	I.4 : Đóng góp mới về mặt lý luận và về mặt thực tiễn ................................ 2
	II - phần nội dung 3
II.1 Chương 1 : tổng quan .................................................................................................... 3
II . 2 Chương 2 : Nội dung vấn đề nghiên cứu.................................... 4
II.2.1 : Vị trí tương đối của hai , ba đường thẳng trong cùng
	 một mặt phẳng toạ độ............................................................................................... 4
II.2.2: Vị trí tương đối giữa đường thẳng(D) y=f(x) và parabol
	 `(P) : y = g(x)........................................................................................................................ 4
II.2.3 : Một số bài toán đề nghị :......................................................................................... 6