Thiết kế bài dạy môn học Hình học 9 - Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai căn bậc hai

Chñ ®Ò I
 rót gän biÓu thøc
Cã chøa c¨n thøc bËc hai
CĂN BẬC HAI
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
	x là căn bậc hai của số không âm a x2 = a. Kí hiệu: .
2.Điều kiện xác định của biểu thức 
	Biểu thức xác định .
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
4.Các phép biến đổi căn thức
	+) 
	+) 
	+) 
	+) 
	+) 
	+) 
	+) 
	với 
BµI TËP
Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) 
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) 
20) .
Bµi 2: Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc A;
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6.
C©u I(2,5®): HN Cho biÓu thøc A = , víi x ≥ 0 vµ x ≠ 4.
1/ Rót gän biÓu thøc A.
2/ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 25.
3/ T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = -1/3.
C©u I: (1,5®) C Tho Cho biÓu thøc A = 
	1/ Rót gän biÓu thøc A.
2/ T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.
C©u III: HCM
Thu gän c¸c biÓu thøc sau:
 A = 
 B = 
Bµi 1: (2,0®) KH (Kh«ng dïng m¸y tÝnh cÇm tay)
a. Cho biÕt A = 5 + vµ B = 5 - h·y so s¸nh tæng A + B vµ tÝch A.B.
Bài 2:Cho biểu thức: Hà Tĩnh
 với x >0 
 1.Rút gọn biểu thức P
 2.Tìm giá trị của x để P = 0
Bài 1: (1,5 điểm) BÌNH ĐỊNH
Cho 
a. Rút gọn P
b. Chứng minh P <1/3 với và x#1
Bài 1 (2.0 điểm ) QUẢNG NAM
	1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa 
	a) 	b)	
	2. Trục căn thức ở mẫu
	a) 	b)	
Bµi 2 (2,0 ®iÓm) nam ®Þnh
T×m x biÕt : 
Rót gän biÓu thøc : M = 
T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc: A = 
C©u I: (3,0®). NghÖ An Cho biÓu thøc A = 
Nªu ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc A.
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A khi x = 9/4.
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A <1.
Bµi 1. (2,0 ®iÓm) QUẢNG NINH
Rót gän c¸c biÓu thøc sau :
 a) 
 b) 
Tính HẢI PHÒNG 
Bài 2: (2,0 điểm) KIÊN GIANG
Cho biểu thức : 
Với những điều kiện được xác định của x hãy rút gọn A .
Tìm tất cả các giá trị của x để A nhỏ hơn 1 .
Bài 1: (1,5 điểm) AN GIANG 
 1/.Không dùng máy tính, hãy tính giá trị biểu thức sau :
 2/.Hãy rút gọn biểu thức:
 , điều kiện x > 0 và x 1
Bài 1 (2,5 điểm) THÁI BÌNH 
Cho biểu thức , với x≥0; x ≠ 4
Rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị của biểu thức A khi x=25.
Tìm giá trị của x để .
Bài 1. (2,0 điểm) THÁI BÌNH
	1. Rút gọn các biểu thức sau:	a) 
	b) với x>0; y>0; x¹y
Câu 6: VĨNH PHÚC
 Rút gọn biểu thức: 
Bài 1. ( 3 điểm ) ĐÀ NẲNG
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
PHÚ YÊN Trục căn ở mẫu : 
Bµi 1: (1,5 ®iÓm) hƯng yªn
	a) Rót gän biÓu thøc: A = 
Bài 1 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ
 Cho biểu thức A = với x > 3
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x sao cho A có giá trị bằng 7.
Bài 3 (1,5 điểm). QUẢNG TRỊ
 Rút gọn biểu thức: P = với a > 0, a.
Câu 1 (2,0 điểm) QUẢNG TRỊ
Rút gọn (không dùng máy tính cầm tay) các biểu thức:
a) .
b) 
1) Rót gän biÓu thøc: H¶i d Ư¬ng
 víi x > 0 vµ x 1
Câu 2:(2.0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc
 a) Rút gọn biểu thức: A = với x 0 và x 4.
Bµi 2(2,0 ®iÓm): Hµ Giang Cho biÓu thøc : M = 
 a, Rót gän biÓu thøc M.
 b, TÝnh gi¸ trÞ cña M khi a = 
Bài 3: (2điểm) BÌNH THUẬN
Rút gọn các biểu thức:
 1/ 
 2/ 
Câu 1: (2đ)
Rút gọn biểu thức Long An
a/
Câu2: (2đ) Long An
Cho biểu thức (với a>0)
a/Rút gọn P.
b/Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
C©u 3: (2 ®iÓm) B¾c Ninh
Cho biÓu thøc: A = 
a/ Rót gän biÓu thøc A.
b/ T×m x ®Ó A < 2.
c/ T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn.
B C©u III: (1,0 ®iÓm) B¾c giang
 Rót gän:Víi 
Bài 2: (2,0 điểm) ĐĂK LĂK
	1/ Rút gọn biểu thức 
	2/ Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức B.
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên .
Bµi 1 (2,0 ®iÓm): Qu¶ng B×nh Cho biÓu thøc:
	N=; víi n 0, n 1.
Rót gän biÓu thøc N.
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña n ®Ó biÓu thøc N nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bài 3: (1,0 di m) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
	 Rút g n bi u th c .
µi 3: Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc B;
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.
Bµi 4: Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc C;
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1.
Bµi 5: Rót gän biÓu thøc :
a) ;
b) ;
c) ;
d) 
Bµi 6: Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc M;
So s¸nh M víi 1.
Bµi 7: Cho c¸c biÓu thøc vµ 
Rót gän biÓu thøc P vµ Q;
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q.
Bµi 8: Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc P
So s¸nh P víi 5.
Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc chØ nhËn ®óng mét gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 9: Cho biÓu thøc 
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P;
T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó lµ sè tù nhiªn;
TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2.
Bµi 10: Cho biÓu thøc : 
Rót gän biÓu thøc P;
T×m x ®Ó .
Chñ ®Ò II 
 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
I..Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠0)
	-Đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0.
	-Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị.
	+Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
	+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b.
	-Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành một góc , mà .
	-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA + b.
II.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
	Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) ⟺ yA = f(xA).
	Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4).
	 Giải:
	Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22 ⟺ a = 1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
	Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ;
 (d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ 0.
	-Hai đường thẳng song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2.
	-Hai đường thẳng trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2.
	-Hai đường thẳng cắt nhau khi a1 ≠ a2.
	+Nếu b1 = b2 thì chúng cắt nhau tại b1 trên trục tung.
	+Nếu a1.a2 = -1 thì chúng vuông góc với nhau.
IV.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
	Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)
	Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm.
	Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.
V.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
	Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).
	Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
VI.Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0)
	-Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0.
	Nếu a 0.
	-Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:
	+) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ.
	+) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ.
	-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA2.
VII.Vị trí của đường thẳng và parabol
	-Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2:
+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am2).
	-Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2:
	+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.
	+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x = 
	+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm.
 VIII.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
	Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
 cx2= ax + b (V)
	Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2 để tìm tung độ giao điểm.
	Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).
 IV.Tìm điều kiện để (d) và (P).
	a) (d) và (P) cắt nhau ⟺ phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
	b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau ⟺ phương trình (V) có nghiệm kép.
	c) (d) và (P) không giao nhau ⟺ phương trình (V) vô nghiệm .
X.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.
 1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x0;y0)
	Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a.
	Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b.
 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2).
	Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:
ax1+b=y1ax2+ b=y2
 Giải hệ phương trình tìm a,b.
 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = cx2 (c≠0).
	+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình :
y0 = ax0 + b 	(3.1)
	+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c≠0) nên:
	Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép
 ⟺ Δ=0	(3.2)
 	+) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b.
XI.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
	+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m.
	+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0.
XII.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số. 
1.Ứng dụng vào phương trình.
2.Ứng dụng vào bài toán cực trị.
bµi tËp vÒ hµm sè.
C©u IV: (1,5®) C tho Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P).
1. T×m a, biÕt r»ng (P) c¾t ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = -x - t¹i ®iÓm A cã hoµnh ®é b»ng 3. VÏ ®å thÞ (P) øng víi a võa t×m ®îc.
2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm thø hai B (B kh¸c A) cña (P) vµ (d).
Bµi 2: (2,25®) hue
a) Cho hµm sè y = ax + b. T×m a, b biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè ®· cho song song víi ®êng th¼ng y = -3x + 5 vµ ®i qua ®iÓm A thuéc Parabol (P): y = x2 cã hoµng ®é b»ng -2.
b) Kh«ng cÇn gi¶i, chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh ()x2 - 2x - = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ tÝnh tæng c¸c b×nh ph¬ng hai nghiÖm ®ã.
C©u II: HCM
a) VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè y = vµ ®uêng th¼ng (d): y = x + 4 trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é.
b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) b»ng phÐp tÝnh.
Baøi 2: (2,50 ñieåm) KH
Cho Parabol (P) : y = x2 vaø ñöôøng thaúng (d): y = mx – 2 (m laø tham soá, m ≠ 0 )
Veõ ñoà thò (P) treân maët phaúng Oxy.
Khi m = 3, tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (p) vaø (d).
Goïi A(xA; yA), B(xB; yB) laø hai giao ñieåm phaân bieät cuûa (P) vaø (d). tìm caùc giaù trò cuûa m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1
Bàì 1: Hà Tĩnh
Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + 3 đi qua điểm M(-2;2). Tìm hệ số a
Baøi 2: (2,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc
Cho haøm soá y = ax + b. tìm a, b bieát ñoà thò haøm soá ñaã cho ñi qua hai ñieåm A(-2; 5) vaø B(1; -4).
Cho haøm soá y = (2m – 1)x + m + 2
tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå haøm soá luoân nghòch bieán.
Tìm giaù trò m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng 
Bài 2 (3.0 điểm ) QUẢNG NAM
	Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính
Tính diện tích tam giác OAB
Bµi 3. (1,5 ®iÓm) QUẢNG NINH
 Cho hµm sè : y = (2m – 1)x + m + 1 víi m lµ tham sè vµ m # . H·y x¸c ®Þnh m trong mçi trêng h¬p sau :
§å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm M ( -1;1 )
§å thÞ hµm sè c¾t trôc tung, trôc hoµnh lÇn lît t¹i A , B sao cho tam gi¸c OAB c©n.
HẢI PHÒNG  ... > DABC c©n t¹i A.
2. Theo gi¶ thiÕt MI ^ BC => ÐMIB = 900; MK ^ AB => ÐMKB = 900.
=> ÐMIB + ÐMKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp 
* ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t­¬ng tù tø gi¸c BIMK )
3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ÐKMI + ÐKBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ÐHMI + ÐHCI = 1800. mµ ÐKBI = ÐHCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => ÐKMI = ÐHMI (1).
Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ÐB1 = ÐI1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ÐH1 = ÐC1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ ÐB1 = ÐC1 ( = 1/2 s® ) => ÐI1 = ÐH1 (2).
Tõ (1) vµ (2) => DMKI DMIH => => MI2 = MH.MK
4. Theo trªn ta cã ÐI1 = ÐC1; còng chøng minh t­¬ng tù ta cã ÐI2 = ÐB2 mµ ÐC1 + ÐB2 + ÐBMC = 1800 => ÐI1 + ÐI2 + ÐBMC = 1800 hay ÐPIQ + ÐPMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => ÐQ1 = ÐI1 mµ ÐI1 = ÐC1 => ÐQ1 = ÐC1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI ^BC nªn suy ra IM ^ PQ.
 Bµi 26. Cho ®­êng trßn (O), ®­êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD ^ AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh :
1. 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña ÐCMD. 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp 
4. Chøng minh ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M.
Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña => 
=> ÐCAM = ÐBAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c )
2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD ^ AB => A lµ trung ®iÓm cña => ÐCMA = ÐDMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD.
3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña => OM ^ BC t¹i I => ÐOIC = 900 ; CD ^ AB t¹i H => ÐOHC = 900 => ÐOIC + ÐOHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp
4. KÎ MJ ^ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM ^ BC => OM ^ MJ t¹i J suy ra MJ lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i M.
Bµi 27 Cho ®­êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®­êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH ^ BC, MK ^ CA, MI ^ AB. Chøng minh : 
Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. ÐBAO = Ð BCO. 3. DMIH ~ DMHK. 4. MI.MK = MH2.
Lêi gi¶i: 
(HS tù gi¶i)
Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => ÐBAO = Ð BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO).
Theo gi¶ thiÕt MH ^ BC => ÐMHC = 900; MK ^ CA => ÐMKC = 900
=> ÐMHC + ÐMKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => ÐHCM = ÐHKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). 
Chøng minh t­¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => ÐMHI = ÐMBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). 
Mµ ÐHCM = ÐMBI ( = 1/2 s® ) => ÐHKM = ÐMHI (1). Chøng minh t­¬ng tù ta còng cã 
ÐKHM = ÐHIM (2). Tõ (1) vµ (2) => D HIM ~ D KHM.
Theo trªn D HIM ~ D KHM => => MI.MK = MH2
Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC.
Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh.
E, F n»m trªn ®­êng trßn (O).
Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n.
Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.
Lêi gi¶i: 
1. Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng .
2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => ÐBAC + ÐB’HC’ = 1800 mµ ÐBHC = ÐB’HC’ (®èi ®Ønh) => ÐBAC + ÐBHC = 1800. Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => ÐBHC = ÐBFC => ÐBFC + ÐBAC = 1800 
=> Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O).
* H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => DBHC = DBEC (c.c.c) => ÐBHC = ÐBEC => Ð BEC + ÐBAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) .
3. Ta cã H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BC ^ HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE ^ HE (2)
Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3)
Theo trªn E Î(O) => ÐCBE = ÐCAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4).
Theo trªn F Î(O) vµ ÐFEA =900 => AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => ÐACF = 900 => ÐBCF = ÐCAE ( v× cïng phô ÐACB) (5).
Tõ (4) vµ (5) => ÐBCF = ÐCBE (6).
Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n.
4. Theo trªn AF lµ ®­êng kÝnh cña (O) => O lµ trung ®iÓm cña AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iÓm cña HF => OI lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH.
Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iÓm cña BC => OI ^ BC ( Quan hÖ ®­êng kÝnh vµ d©y cung) => ÐOIG = ÐHAG (v× so le trong); l¹i cã ÐOGI = Ð HGA (®èi ®Ønh) => DOGI ~ DHGA => mµ OI = AH => mµ AI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.
Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cña ®­êng trßn (O; R) (BC 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®­êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H.
Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC.
Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’.
Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’.
Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Lêi gi¶i: (HD)
1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => ÐAEF = ÐACB (cïng bï ÐBFE)
 ÐAEF = ÐABC (cïng bï ÐCEF) => D AEF ~ D ABC.
2. VÏ ®­êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iÓm cña HK => OK lµ ®­êng trung b×nh cña DAHK => AH = 2OA’
3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã :
D AEF ~ D ABC => (1) trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC; R’ lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp D AEF; AA’ lµ trung tuyÕn cña DABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña DAEF.
Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DAEF 
Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 
VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 
4. Gäi B’, C’lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’^AC ; OC’^AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn l­ît lµ c¸c ®­êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB.
 	 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB =( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB )
2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3)
Theo (2) => OA’ = R . mµ lµ tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF vµ ABC nªn = . T­¬ng tù ta cã : OB’ = R .; OC’ = R . Thay vµo (3) ta ®­îc 
2SABC = R () ó 2SABC = R(EF + FD + DE) 
* R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC.
 Ta cã SABC = AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt khi A lµ ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC.
Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®­êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA.
Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH.
Gi¶ sö ÐB > ÐC. Chøng minh ÐOAH = ÐB - ÐC.
Cho ÐBAC = 600 vµ ÐOAH = 200. TÝnh:
ÐB vµ ÐC cña tam gi¸c ABC.
b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R
Lêi gi¶i: (HD)
1. AM lµ ph©n gi¸c cña ÐBAC => ÐBAM = ÐCAM => => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM ^ BC; Theo gi¶ thiÕt AH ^ BC => OM // AH => ÐHAM = ÐOMA ( so le). Mµ ÐOMA = ÐOAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => ÐHAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH.
2. VÏ d©y BD ^ OA => => ÐABD = ÐACB.
 Ta cã ÐOAH = Ð DBC ( gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => ÐOAH = ÐABC - ÐABD => ÐOAH = ÐABC - ÐACB hay ÐOAH = ÐB - ÐC.
3. a) Theo gi¶ thiÕt ÐBAC = 600 => ÐB + ÐC = 1200 ; theo trªn ÐB ÐC = ÐOAH => ÐB - ÐC = 200 .
=> 
b) Svp = SqBOC - SBOC = = 
C¸C BµI TO¸N N¢NG CAO
C©u V(0,5®): HN
	 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 
Bµi 5: (1,25®) hue
Mét c¸i phÔu cã h×nh trªn d¹ng h×nh nãn ®Ønh S, b¸n kÝnh ®¸y R = 15cm, chiÒu cao h = 30cm. Mét h×nh trô ®Æc b»ng kim lo¹i cã b¸n kÝnh ®¸y r = 10cm ®Æt võa khÝt trong h×nh nãn cã ®Çy níc (xem h×nh bªn). Ngêi ta nhÊc nhÑ h×nh trô ra khái phÔu. H·y tÝnh thÓ tÝch vµ chiÒu cao cña khèi níc cßn l¹i trong phÔu.
Bài 5: Hà Tĩnh Các số thoả mãn điều kiện 
 chứng minh bất đẳng thức: 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5: (1,0 điểm) BÌNH ĐỊNH
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:
Baøi 5: (1,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc
Vôùi moãi soá k nguyeân döông, ñaët Sk = ( + 1)k + ( - 1)k
Chöùng minh raèng: Sm+n + Sm- n = Sm .Sn vôùi moïi m, n laø soá nguyeân döông vaø m > n.
Bµi 5 (1,5 ®iÓm) nam ®Þnh
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 
Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã: 
Bài 4 :(1điểm) HẢI PHÒNG
Cho 361 số tự nhiên thoả mãn điều kiện
Chứng minh rằng trong 361 số tự nhiên đó, tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.
Bài 5 (0,5 điểm) THÁI BÌNH
	Giải phương trình: 
Bài 5. (0,5 điểm) THÁI BÌNH
	Giải phương trình: .
Bài 5 (1,0 điểm) THANH HÓA
Cho số thực m, n, p thỏa mãn : .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p.
Bài 4. ( 1,5 điểm ) ĐÀ NẲNG
Người ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm3. Sau đó người ta rót nước từ ly ra để chiều cao mực nước chỉ còn lại một nửa. Hãy tính thể tích lượng nước còn lại trong ly.
Câu 5 : PHÚ YÊN ( 1.0 điểm ) Cho D là điểm bất kỳ trên cạnh BC của tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Ta vẽ hai đường tròn tâm O1 , O2 tiếp xúc AB , AC lần lượt tại B , C và đi qua D . Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này . Chứng minh rằng điểm E nằm trên đường tròn (O) 
C©u V : (1 ®iÓm) H¶i d Ư¬ng
	 Cho x, y tháa m·n: . 
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: .
 Câu 5:(1,0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = 
Bµi 5: Hµ Giang (1,0 ®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
 P = 
Bài 5: (1 điểm) BÌNH THUẬN
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có chiều cao h = 12 cm và bán kính đường tròn đáy r = 9 cm.
Câu 5: (1đ) Long An
Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức: 
Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2) 
C©u 7: (0,5 ®iÓm)	B¾c Ninh Cho h×nh thoi ABCD. Gäi R, r lÇn lît lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABD, ABC, a lµ ®é dµi c¹nh cña h×nh thoi. Chøng minh r»ng: 
C©u VI:(0,5 ®iÓm) B¾c giang
Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz - 
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = (x+y)(x+z)
C©u VI:(0,5 ®iÓm) B¾c giang
T×m sè nguyªn x; y tho¶ m·n ®¼ng thøc: x2+ xy +y2 - x2y2 = 0
Bài 5: (1,0 điểm) ĐĂK LĂK
	 Gọi là hai nghiệm của phương trình: 
(m là tham số).
Chứng minh rằng : 
Bài 5: (1,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
	 Cho x, y >0 và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bµi 5: (1, 0 ®iÓm) hƯng yªn
	Cho hai sè a,b kh¸c 0 tho¶ m·n 2a2 + = 4
	T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = ab + 2009.