Toán 9 - Bất đẳng thức trong hình học phẳng

Các bài toán bất đắng thức trong hình học phẳng thường được giải theo các phương pháp sau :
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 
Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 (lớp 8)
Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng : MB + MC < AB + AC
Từ đó suy ra MA + MB +MC < AB + AC + BC.
LỜI GIẢI: 
BM cắt cạnh AC tại D
BD < AB + AD
MB + MD < AB + AD 	(1)
Xét có : 
MC < MD + DC	(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD
MB + MC < AB + AC
Chứng minh tương tự ta có : MA + MC < AB + BC
	 và  : MA + MB < AC + BC
Do đó : 	2(MA + MB + MC) < 2(AB + AC + BC)
	 MA + MB + MC < AB + AC + BC
Chú ý: Từ lời giải bài toán ta cũng có điều sau:
M là điểm nằm trong tam giác ABC thì MB + MC AB + AC.
Bài 2 (lớp 8)
Cho tam giác ABC có ; AM là trung tuyến. D là điểm trên đoạn thẳng AM. 
Chứng minh rằng DB < DC.
LỜI GIẢI 
Xét có AC > AB
Xét và có :
BM = MC (gt) ;
AM ( cạnh chung) ;
AB < AC 
Suy ra .
Xét và có :
BM = MC (gt) ;
DM (cạnh chung) ;
Suy ra DB < DC
Bài 3 (lớp 8)
Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc AC. 
Chứng minh rằng SABC ; SABC 
 b) Cho tứ giác ABCD.
 Chứng minh rằng SABCD 
LỜI GIẢI
Gọi BH là đường cao của . 
Ta có .
SABC .
M là điểm thuộc . Do đó :
SABC 
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; BH và DK là hai đường cao của và .
 và 
Suy ra BH + DK BO + OD = BD
Do đó : SABCD = SABC + SDAC = 
 = 
Bài 4 (lớp 9)
Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao.
Chứng minh rằng DE < BC.
LỜI GIẢI
 bốn điểm B, E , D , C cùng thuộc
 đường tròn đường kính BC. 
DE là dây cung khác đường kính của 
đường tròn đường kính BC
(đường kính là đây cung lớn nhất của đường tròn)
 DE < BC
Bài 5 (lớp 9)
Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD). Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Gọi H và K lần lượt là hai hình chiếu vuông góc của O trên hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
 MH > MK.
LỜI GIẢI
Cách 1 : 
AB > CD OH < OK
(định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) 
 có theo định lí Pitago ta có 
OH2+ MH2 = OM2
 có theo định lí Pitago ta có 
OK2+ MK2 = OK2
Do đó OH2+ MH2 = OK2+ MK2
 OH < OK nên OH2 < OK2
	Suy ra MH2 > MK2	
Suy ra MH > MK
Cách 2 :
Vẽ đường tròn (O;OM). Các tia MA; MC
 lần lượt cắt (O;OM) tại E; F. ()
Xét (O;OA) có AB > CD 
 OH < OK
 ( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có OH < OK 
 ME > MF. 
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có và 
Suy ra (định lí đường kính và dây cung)
Từ đó suy ra MH > MK.
Cách 3 :
Vẽ đường tròn đường kính OM. Tâm I là trung điểm OM.
Vẽ , ()
 , (gt) IE // OH
Mà I là trung điểm OM.
Do đó IE là đường trung bình của 
Tương tự 
Xét (O;OA) có AB > CD OH < OK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) do đó IE < IF.
Xét (I;IM) có IE MK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm).
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, từ đó lập luận để dẫn đến điều vô lí ( vô lí có thể là trái với giả thiết hoặc dẫn đến điều mâu thuẫn hoặc trái với kiến thức đã học). Vậy điều giả sử sai.
Kết luận bất đẳng thức chứng minh là đúng. 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 (lớp 8)
Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao. Chứng minh DE < BC. 
LỜI GIẢI
Giả sử . Gọi M là trung điểm BC; vuông tại D có DM là trung tuyến.
.
Chứng minh tương tự ta có: 
Ta có DM + ME = BC
Như vậy . Vô lí !
Do đó là sai DE < BC.
Bài 2 (lớp 8)
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Chứng minh rằng:
 AB + AC > 2.AM
LỜI GIẢI
Giả sử AB + AC 2.AM
Gọi D là điểm đối xứng của A qua M.
M là trung điểm chung của hai đoạn thẳng BC và AD
ABCD là hình bình hành.
AB = DC
 AD = 2.AM
Do đó có DC + AC AD
Điều này vô lí ! 
Vậy AB + AC 2.AM là sai.
AB + AC > 2.AM
Bài 3 (lớp 8)
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Chứng minh rằng :
Nếu AM thì 
Nếu thì AM 
LỜI GIẢI
Giả sử 
Gọi D là điểm đối xứng của A qua M, 
ta có AD = 2AM. M là trung điểm chung
 của hai đoạn thẳng BC và AD 
 ABCD là hình bình hành 
 AB = DC và AB // DC.
AB // DC 
mà .
Do đó suy ra .
Xét và có AB = DC (cạnh chung), .
Do đó BC < AD AM . Trái với giả thiết 
Vậy là sai. Do vậy (đpcm).
Giả sử AM BC < 2AM
Gọi D là điểm đối xứng của A qua M, ta có AD = 2AM. Suy ra BC < AD.
Chứng minh tương tự câu a) ta có 
AB = DC, .
Xét và có AB = DC, BC (cạnh chung), BC < AD.
Do đó 
 < 90o
Trái với giả thiết . Vậy AM là sai.
Do vậy AM (đpcm).
Bài 4 (lớp 9)
Cho đường tròn (O), M là điểm bên trong (O) ( M khác O). Qua M vẽ hai dây AB, CD của (O), AB vuông góc với OM và CD không vuông góc với OM. Chứng minh rằng AB < CD.
LỜI GIẢI
Giả sử AB CD (1)
Vẽ () rõ ràng M H
 OH AB	(2)
(định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
(1) và (2) mâu thuẫn !
Vậy AB CD là sai. Do đó AB < CD.
Bài 5 (lớp 9)
Cho tứ giác ABCD có và tù. Chứng minh rằng AC < BD.
LỜI GIẢI
Giả sử AB CD 
Vẽ đường tròn đường kính BD. 
Vì , 
Do đó A và C ở bên trong đường
 tròn đường kính BD.
Do vậy AB CD là vô lí vì đường kính
 là dây cung lớn nhất của đường tròn.
Ta có : AB CD là sai.
Vậy AC < BD.
Chú ‎ ý : 
Phần lớn các bài toán về bất đẳng thức hình học đều có thể giải bằng cả hai phương pháp nêu trên. 
Thông thường khi giải bài toán bất đẳng thức hình học người ta thường dùng phương pháp kéo theo.